1、1专题 3 数列的综合应用题型 1 等差数列、等比数列的综合问题1. 已知 是等差数列,其前 n 项和为 , 是等比数列,且, , .(1)求数列 与 的通项公式;(2)记 , ,证明:.解:(1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,由 ,得 , , ,由条件 , ,得方程组 ,计算得出 ,故 , , .(2)证明:方法一,由(1)得, ; (1); (2);由(2) 得 ,;而 ;故 .方法二:数学归纳法,(3)当 时, , ,故等式成立,2(4)假设当 时等式成立,即 ,则当 时有,.即 ,因此 时等式成立.(3)(4)对任意的 , 成立.2. 数列 的前 项和为 ，已知 ， ，
2、且 ，。（ ）证明： ；（）求 。答案（）证明：由条件，对任意 ,有 ，因而对任意 , ，所以 。两式相减，得 ， ， 。又 ， ，所以 ，故对一切的 ， 。（）解：由（）知， ，所以 ，于是数列 是首项为 ，公比 为 的等比数列；数列 是首项为 ，公比 为 的等比数列。因此 ， 。于是3。从而 。综上所述，题型 2 数列的实际应用3. 某住宅小区计划植树不少于 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 等于_。答案 644解析本题主要考查等比数列的和。第一天是 棵，第二天 棵，所以第 天是 棵。 ，解得。所以 的最小值为 6。4. 某科研单位欲拿出一定的
3、经费奖励科研人员,第 1 名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推得到剩下的一半多一万元,到第 10 名恰好资金分完 ,求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励.解:设第十名到第一名得到的奖金分别是 , , , ,则 , , ,每人所得奖金数组成一个以 2 为首项,公比为 2 的等比数列,此科研单位共拿出 2046 万元资金进行奖励.45. 某企业 2010 年初贷款 a 万元，年利率为 r，按复利计算，从 2010 年末开始，每年末偿还一定金额，计划第 5 年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）万元6. 一学生参加市场营销调查活动,从某商场得到 11 月份新款家电 M
4、 的部分销售资料.资 料显示:11 月 2 日开始,每天的销售量比前一天多 t 台(t 为常数),期间某天由于商 家提高了家电 M 的价格 ,从当天起,每天的销售量比前一天少 2 台.11 月份前 2 天 共售出 8 台,11 月 5 日的销售量为 18 台.(I)若商家在 11 月 1 日至 15 日之间未提价,试求这 15 天家电 M 的总销售量.若 11 月 1 日至 15 日的总销售量为 414 台,试求 11 月份的哪一天,该商场售出家电 M 的台数最多 ?并求这一天售出的台数 .解:(I)根据题意,商家在 11 月 1 日至 15 日之间家电 M 每天的销售量组成公差为 t 的等差
5、数列 , ,解之得因此,这 15 天家电 M 的总销售量为 台.5设从 11 月 1 日起,第 n 天的销售量最多, ,由(I),若商家在 11 月 1 日至 15 日之间未提价,则这 15 天家电 M 的总销售量为 450 台,而 不符合题意,故 ; 若 ,则 ,也不符合题意,故因此,前 n 天每天的销售量组成一个首项为 2,公差为 4 的等差数列,第天开始每天的销售量组成首项为 ,公差为-2 的等差数列.由已知条件,得 ,即解之得 或 (舍去 19),出售家电 M 的台数为 台故在 11 月 12 日,该商场售出家电 M 的台数最多,这一天的销售量为 46 台.题型 3 数列与函数、不等式
6、的综合7. 已知数列 中, ,点( 且 )满足 ,则?答案 时, 代入,为定值.6,数列 是以 1 为首项 ,2 为公比的等比数列.时, ,同样满足通项公式,数列 的通项公式为8. 已知数列 的通项公式为 ,数列 的通项公式为,设 若在数列 中, 对任意恒成立,则实数 k 的取值范围是答案解:若 ,则 ,则前面不会有 的项 ,递增, 递减, ,递减 , 当 时,必有 ,即 ,此时应有 , ,即 ,得 ,即 ,得 ,.7若 ,则 ,同理 ,前面不能有 项,即 ,当 时, 递增, 递减,当 时, .由 ,即 ,得, ,由 ,得 ,得 ,即 .综上得, . 实数 k 的取值范围是 .因此，本题正确答
7、案是: .9. 已知奇函数 是定义在 R 上的增函数,数列 是一个公差为 2 的等差数列,满足 ,则 的值等于答案 4003 解:设 ,则 , , ,且 , 且 .结合奇函数关于原点的对称性可以知道, ,. ,即 . .设数列 通项 . . .通项 . .因此，本题正确答案是:4003.10. 定义函数 ,其中 表示不小于 x 的最小整数,如, .当 , 时,函数 的值域为 ,记集合 中元素的个数为 ,则8答案解:根据题意易知:当 时,因为 ,所以 ,所以 ,所以 , ;当 时,因为 ,所以 ,所以 ,所以, ;当 时,因为 ,所以 ,所以 ,所以, ;当 时,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
8、 ;当 时,因为 ,所以 ,所以 ,所以 , ,由此类推: ,所以 ,即 , , , , ,以上 个式子相加得, ,计算得出 ,所以 ,则 ,因此，本题正确答案是: .11. 已知单调递增的等比数列 满足 ,且 是 的等差中项.(1)求数列 的通项公式;9(2)若 ,求 成立的正整数 的最小值.答案(1) , , , , , 或 , 为递增数列， ; ;(2) ,错位相减得到 , , ;即 .12. 已知数列 是首项为 2 的等差数列 ,其前 n 项和 满足.数列 是以 为首项的等比数列,且 .()求数列 , 的通项公式;()设数列 的前 n 项和为 ,若对任意 不等式恒成立,求 的取值范围.解:()设等差数列 的公差为 d,根据题意得 , ,计算得出, ,由 ,从而公比 ,.10()由() 知 ,又 ,对任意 , 等价于, 对 递增,.即 的取值范围为 .13. 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足， 。（1 ）求 的值；（2）求数列 的通项公式；（3）证明：对一切正整数 ，有 。答案（1）当 时， ，解得或者 （舍去）；（2） ，因为 恒大于零，因此 ，当 时， ，当 ， 也成立。因此数列的通项公式为；
