1、双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导O2d xy如图建立直角坐标系，其 x 轴上横坐标为 的点与 的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离2d差为波长整数倍 （零除外）的双曲线簇。其中 、 为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为：n0,2d12222dyxO2d xy用直线 去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将 代入双曲线簇的方程，有：ly ly12222ndlnx解得： 24ndlnx上式中，d 的数量级为 ， 为 。故 ，x 的表达式简化为：m41071022dn24lnx其中 的数量级为 ，d 的数量级
2、为 。故 ，x 的表达式简化为：l014104210dllndlx2可见，交点横坐标成一等差数列，公差为 ，这说明：dl（1）条纹是等间距的；（2）相邻两条纹的间距为 。dl至此，证明了条纹间距公式： 。lx杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的？海军航空工程学院 李磊 梁吉峰 选自物理教师2008 年第 11 期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：xL/d，其中 L 为双缝与屏的间距，d 为双缝间距，对单色光而言，其波长 为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此
3、，如图 1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢？首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图 2。设定双缝 S1、S 2 的间距为 d，双缝所在平面与光屏 P 平行。双缝与屏之间的垂直距离为 L，我们在屏上任取一点 P1，设定点 P1 与双缝 S1、S 2 的距离分别为 r1 和r2，O 为双缝 S1、S 2 的中点，双缝 S1、S 2 的连线的中垂线与屏的交点为 P0，设 P1 与 P0 的距离为 x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下 Ld，在这种情况下由双缝 S1、S 2 发出的光到
4、达屏上 P1 点的光程差 r 为S2Mr 2r 1dsin， （1）其中 也是 OP0 与 OP1 所成的角。因为 dL， 很小，所以sintan （2）xL因此 rdsindxL当 rd k 时，屏上表现为明条纹，其中 k0，1，2， （3）xL当 rd （k ） 时，屏上表现为暗条纹，其中是 k0，1，2，。 （3）xL 12我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。当 xk 时，屏上表现为明条纹，其中 k0，1，2，。 （4）Ld当 x（k ） 时，屏上表现为暗条纹，其中 k0，1，2，。 （4）12 Ld我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为x xk1 x k 。 （5
5、）Ld至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第 1 次是在运用公式 rr 2r 1dsin 的时候，此式近似成立的条件是S 1P1S2 很小，因此有S1MS 2P1，S 1MOP 1，因此 P 0OP1S 2S1M，如果要保证S 1P1S2 很小，只要满足 dL 即可，因此 rdsin 是满足的。第 2 次近似是因为 dL， 很小，所以 sintan。下面我们通过表 1 来比较 sin 与 tan 的数值。表 1 1 2 3 4 5 6 7sin 0.017452 0.034899 0.052359 0.069756 0.087155 0.
6、104528 0.121869tan 0.017455 0.034920 0.052407 0.069926 0.087488 0.105104 0.122784 8 9 10 11sin 0.139173 0.156434 0.173648 0.190808tan 0.140540 0.158384 0.176326 0.194380从表 1 中我们可以看出当 6时， 0.6% 。因此当 6时，相对误差就超过了 0.6%，因此我们通常说 sintan 成立的条件是 5，当 5 时，tan sinsinsintan 就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中， 很小所对应的条件应该是 xL，这应该对应
7、于光屏上靠近 P0 的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。而当 x 较大时，也就是光屏上离 P0 较远的点所对应的 角也较大，当 5时，sintan 就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了， （2）式就不能再用了。此时 sin 2xL所以，rdsin k，屏上表现为明条纹，其中 k0，1，2，2drdsin （k ），屏上表现为暗条纹，其中 k0，1，2，。2xL12因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为 x ，屏上表现为明条纹，其中 k0，1，2，2dLx ，屏上表现为暗条纹，其中 k0，1，2，。22)1(kdL则相邻的明条纹中心问距为x 明 x k1 明 一 xk 明 22)1(kdL2kdL邻暗条纹中心间距为x 暗 x k1 暗 一 xk 暗 22)1(kdL22)1(kdL由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。例 1：用氦氖激光器（频率为 4.741014Hz）的红光照射间距为 2mm 的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。解：因为 rdsink，所以k 2.8。dsin dsinc 4.741014210 3sin53.0108考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为 5 条。
