1、 1椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题(一 ) 定义:1. 命题甲: 动点 到两点 的距离之和 命题乙: 的轨迹是以 A、B 为PBA, );,0(2常 数aPBAP焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知 、 是两个定点，且 ,若动点 满足 则动点 的轨迹是（ D ）1F2 421F421FA.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知 、 是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点 ,如果延长 到 ,使得 ,那么动12PP1Q2PF点 的轨迹是( B )QA.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 椭圆
2、 上一点 到焦点 的距离为 2， 为 的中点， 是椭圆的中心，则 的1925yxM1FN1MFOON值是 4 。5. 选做：F 1 是椭圆 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点 A（1，1 ） ，求 的最小52 |1PF值。解： 26| 221 AFaAP(二 ) 标准方程求参数范围1. 试讨论 k 的取值范围，使方程 表示圆，椭圆，双曲线。 （略）1352kyx2. ( C )轴 上 的 椭 圆 ”的表 示 焦 点 在”是 “方 程 ynymxnm02A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 所在的象限是（ A ）
3、1cossi22yx A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程 所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .2315. 已知方程 表示焦点在 X 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 k1 kyx(三 ) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1 ）两个焦点的坐标分别为（0 ，5）和（0 ，5） ，椭圆上一点 到两焦点的距离之和为 26；P4692xy（2 ）长轴是短轴的 2 倍，且过点（2，6 ） ；1378,1352y或2（3 ）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ,求椭圆方程.)23(),16(2P192yx2. 简单几何性质1
4、 求下列椭圆的标准方程（1） ； （2）过（ 3，0）点，离心率为 。3,8ec 36e104,180422yxy或 19,1722yxy或（3 ）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是 。 129,129yxy或（4 ）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3，则椭圆的标准方程为56,56或（5 ）已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 和 ，过 P 作长轴的3542垂线恰好过椭圆的一个焦点。 1035,10322yxy或3过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点
5、，若)(2ba1Fx，则椭圆的离心率为_ _6021PF3（四）椭圆系共焦点，相同离心率1椭圆 与 的关系为（ A ） 1952yx )90(19522kykxA相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距2、求与椭圆 有相同焦点，且经过点 的椭圆标准方程。42y23，1052yx（五）焦点三角形 4a1. 已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 、 两点。若1F21952yx1FAB，则 8 。2BAA2. 已知 、 为椭圆 的两个焦点，过 且斜率不为 0 的直线交椭圆于 、 两点，则1223的周长是 20 。1ABF3. 已知 的顶点 、 在椭圆 上，顶点
6、 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦C132yxA点在 边上，则 的周长为 。AB4（六）焦点三角形的面积： 1. 已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点， ，求点 到 轴的距离。P142yx1F2021PFx解：设 则 解得 ，所以求点 到 轴的距离为),(yx323|yx3|y2. 设 是椭圆 上的一点， 、 为焦点， ，求 的面积。M16251F2621MF21F解： |24 | 4|)|(|cos21 2122Pb PcP 当 ，S=61F)32(16sin|21F3. 已知点 是椭圆 上的一点， 、 为焦点，若 ，则 的面积为 P925yx12 211PF21F。34. 已知 AB
7、 为经过椭圆 的中心的弦，F(c,0) 为椭圆的右焦点，则AFB 的面积的)0(2ba最大值为 cb 。（七）焦点三角形 |1|2|1. 设椭圆 的两焦点分别为 和 ， 为椭圆上一点，求 的最大值，并求此时492yx1FP21PF点的坐标。P2. 椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上，若 ，则 2 ； 1212 41F21120O 。3. 椭圆 的焦点为 、 ， 为其上一动点，当 为钝角时，点 的横坐标的取值49yx1F2P21PP范围为 。)53,(（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：41. 点 M(x,y)满足 ，求点 M 的轨迹方程。10)3()3(222 yxyx（ ）165y2. 已知动
8、圆 过定点 ，并且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的P)0,(A64)(:2yB P轨迹方程. 1762yx3. 已知圆 ,圆 ，动圆 与 外切，与 内切，求动圆圆心4)3(:2C10)3(:22yxCP1C2的轨迹方程.P解：由题 10|1rrP所以点 的轨迹是：以 ， 为焦点的距离之和为 12 的椭圆。 ，方程为2 6,3ac2736yx4. 已知 ， 是圆 （ 为圆心）上一动点,线段 的垂直平分线交 于)0,1(AB4)21(:yxFFABBF,则动点 的轨迹方程为 P1325. 已知 A(0,-1),B(0,1),ABC 的周长为 6，则ABC 的顶点 C 的轨迹方程是 1432
9、yx。直接法6. 若 的两个顶点坐标分别是 和 ，另两边 、 的斜率的乘积是 ，顶点ABC),0(B)6,(AB9的轨迹方程为 。13682yx相关点法7. 已知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴引垂线段 ，垂足为 ，点 在 上，并92yxPxPMP且 ，求点 M 的轨迹。P128. 已知圆 ，从这个圆上任意一点 P 向 X 轴引垂线段 PP，则线段 PP的中点 M 的轨迹方程是 yx。42yx二、 直线和椭圆的位置关系(一 )判断位置关系1 当 为何值时,直线 和椭圆 (1)相交；(2) 相切；(3)相离。mmxyl: 14692yx解：由 消去 y 得 ，判别式：14692xy 03252)
10、25(76m所以，当 时直线与椭圆相交；当 时直线与椭圆相切；当 时直线与椭5或5圆相离。2 若直线 与椭圆 有两个公共点，则实数 的取值范围为 。2kxy632yxk63或(二 )弦长问题1. 设椭圆 的左右两个焦点分别为 、 ，过右焦点 且与 轴垂直的直)0(1:2bayxC1F22Fx线 与椭圆 C 相交，其中一个交点为 。l )1,2(M（1 ） 求椭圆的方程； 42y（2 ） 设椭圆 C 的一个顶点为 B（0，-b） ，直线 交椭圆 C 于另一点 N，求 的面积。2BB1解：由（1）点 B（0 ， ） ， ，直线 BF2 的方程为：)0,(2F2yx消去 y 得： ，解得24xy43
11、2x34或0所以点 N 的坐标为（ ， ）所以 38)2(211211 NFBFBSS(三 )点差法定理 在椭圆 （ 0）中，若直线 与椭圆相交于 M、N 两点，点 是弦2byaxabl ),(0yxPMN 的中点，弦 MN 所在的直线 的斜率为 ，则 .lMNk20abxy1. 已知一直线与椭圆 相交于 、 两点,弦 的中点坐标为 ，求直线 AB 的方程.36942yxAB)1,(解：设交点 ，则有 ，),(),(21yxBA1212y)2(36941221 yx（2 ） -（ 1）得 0)(9412即 ，又直线 AB 过点（1 ，1）kxy9)(所以直线 AB 的方程为：)(4x2. 直线
12、 l 经过点 A(1，2) ，交椭圆 于两点 P1、P 2，2361y6（1）若 A 是线段 P1P2 的中点，求 l 的方程；（2）求 P1P2 的中点的轨迹解：（1）设 P1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)，则 1632x*016)()(22yyxA(1，2) 是线段 P1P2 的中点，x 1+x2=2，y 1+y2=4， ，即 。0)(436)(21yx9l 的方程为 ，即 2x+9y-20=0)(9x（2）设 P1P2 的中点 M(x，y) ，则 x1+x2=2x，y 1+y2=2y，代入*式，得 ，又直线 l 经过点 A(1，2)， ，k42 21ykx整理，得 4x(x-1
13、)+9y(y-2)=0， P 1P2 的中点的轨迹： 。2()(509(四 ) 定值、定点问题1、已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点,已知点 ， 求证：(1)ykx2:153xyCAB7(,0)3M为定值 .MAB证明：设交点 ),(),(21y由 消去 y 得532xky 0562kxk则有 2211 35,6x),7(),37(1yByA所以94)(371() 22122122 kxkxkM为定值19. 已知椭圆 C 中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，短轴长为 x2(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若直线 ： 与椭圆交于不同的两点 （ 不l0ykmMN、 、是椭圆的左、右顶点）
14、，且以 为直径的圆经过椭圆的右顶点 求证：直线 过定点，并求出定点的MNAlP2P1 yxAO7坐标解: （）设椭圆的长半轴为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，则abc解得 椭圆 C 的标准方程为 4 分22,3,cba2,32143xy（）由方程组 消去 ，得 6 分14xykmy22480kxm由题意 ，整理得： 7 分22834023设 ，则 ， 8 分12,MxyNy、 12283kx1224xk由已知， ， 且椭圆的右顶点为 ， 10 分AA(,0)1120xy即 ，也即 2 21124kxmx，2 2248033kkm整理得 解得 或 ，均满足 11 分2716027k当 时，直线 的
15、方程为 ，过定点 ，不符合题意舍去；mklykx(,0)当 时，直线 的方程为 ，过定点 ， 27l27,故直线 过定点，且定点的坐标为 13 分l (,0)20. 在直角坐标系 中，点 到 F1 、F 2 的距离之和是 4，点 的轨迹 与 轴的负xOyM(3,)(,)MCx半轴交于点 ，不过点 的直线 ： 与轨迹 交于不同的两点 和 AlykxbCPQ(1) 求轨迹 的方程；(2) 当 时，求 与 的关系，并证明直线 过定点C0APQ l解：（1）点 到 ， 的距离之和是 4，(3,)(,)M 的轨迹 是长轴长为 4，焦点在 x 轴上焦距为 的椭圆，其方程为 323214xy分8（2）将 ，
16、代入曲线 的方程，整理得 5 分ykxbC22(14)840kxb因为直线 与曲线 交于不同的两点 和 ， l PQ所以 22264(1)46()0kkbkb设 ，则 ， 7 分12()PxyQ12284x214bxk且 21212121()()kbkb显然，曲线 与 轴的负半轴交于点 ，Cx,0A所以 ， ，由 ，得 1(,)APy2()Qxy0PQ1212()0xy将、 代入上式，整理得 ，10 分2165kb所以 ，即 或 经检验，都符合条件(2)65)0kbk当 时，直线 的方程为 l2ykx显然，此时直线 经过定点 点即直线 经过点 ，与题意不符(,)lA当 时，直线 的方程为 显然
17、，此时直线 经过定点 点，且不过65bkl65()ykxl6(,0)5点 A综上， 与 的关系是： ，且直线 经过定点 点13 分5bl6(,0)5三、最值问题5. 已知 P 为椭圆 上任意一点，M（m ，0） （mR ） ，求 PM 的最小值。214xy目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设 P(x,y)，用距离公式表示出 PM，利用二次函数思想求最小值。解：设 P(x,y)，PM= = =2()xy22()14xx231x= ，x-2,2，结合相应的二次函数图像可得234()13mx9（1） 2，即 m 时，(PM) min=|m-2|.432说明：（1）类似的，亦
18、可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为 b，最远的点是长轴端点，最大值为 a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为 a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为 a+c；6. 在椭圆 求一点 P，是它到直线 l：x+2y+10=0 的距离最小，并求最大最小值。214xy目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问 题的一般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线 l 平行的椭圆的 切线与直线 l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方 程。解法一：设直线 m：x+2y+m=0 与椭圆 214xy相切，则 ，消去 x，得2014xy8y2+4my+m2-4=0,=
19、0,解得 m= .当 m= 时，直线与椭圆的切点 P 与直线 l 的距离最近，最近为 = ，此时点 P 的2 |102|52105坐标是( , )；当 m=- 时，直线与椭圆的切点 P 与直线 l 的距离最远，最远为 = ，此时点 P2 |102|52105的坐标是( , )。解法二：设椭圆上任意一点 P(2cos,sin),0,2 )则 P 到直线 l 的距离为 =|2cosin10|52sin()104510当 = 时，P 到直线 l 的距离最大，最大为 此时点 P 的坐标是( , )；4 21052当 = 时，P 到直线 l 的距离最小，最小为 ，此时点 P 的坐标是( , )。5 说明
20、：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。7. 设 AB 是过椭圆 中心的弦，F 1 是椭圆的上焦点，2195xy（ 1） 若 ABF1 面 积 为 4 ， 求 直 线 AB 的 方 程 ； （ 2） 求 ABF1 面 积 的 最 大 值 。解：（1）设 AB：y =kx，代入椭圆，得 x2=， x1=-x2=，又 ， SABF1=|OF1|x1-x2|=2|x1-x2|=4， |x1-x2|=2，
21、=5， k=， 直 线 AB 的 方 程 为 y=x。（ 2） SABF1=|OF1|x1-x2|=4， 当 k=0 时 ， (SABF1)Max=12。 9. 设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与 AB 相交于点 ，与(0)， ， ， )0(kxyD椭圆相交于 、 两点EF（1）若 ，求 的值；（2）求四边形 面积的最大值6DkAEBF（1）解：依题设得椭圆的方程为 ，214xy直线 的方程分别为 ， 如图，设ABEF， (0)kx，其中 ，且 满足方程 ，故012()()()Dxkxkx， ， ， ， ， 1212x， 2(14)kx 2124由 知 ，得 ；6EF01206()xx02122510(6)774xk由 在 上知 ，得 所以 ，DAB0k01k2k
