1、 北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 1 -三、导数及其应用1、 （ 2011 丰台二模文 11）若 0,2x，则函数 sincosyx的单调递增区间是 （0 ，） （开闭均可） 2、 （2011 海淀二模文 14）已知函数 ()f、 g分别是二次函数 ()fx和三次函数 ()gx的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:若 (1)f，则 (1)f 1 ； 设函数 ,hxgx则 (),0(1)h的大小关系为 (0).（用“”连接）1、 (2011 朝阳二模理 18)（本小题满分 13 分）设函数 2()ln(
2、)fxa， R.（）若 0a，求 函数 fx在 1,e上的最小值；（）若函数 ()f在 , 2上存在单调递增区间，试求实数 a的取值范围；（）求函数 x的极值点.解：（） )(f的定义域为 (0,). 1 分因为 12x，所以 fx在 1,e上是增函数，当 时， ()f取得最小值 ().所以 fx在 1,e上的最小值为 1. 3 分（）解法一：21()()xafx设2()1gxa， 4 分Ox1()f()gxy北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 2 -依题意，在区间1, 2上存在子区间使得不等式 ()0gx成立
3、. 5 分注意到抛物线2()1gxax开口向上，所以只要 (2)，或1()02g即可6 分由 (2)0，即 8410a，得94，由1g，即，得32，所以94a，所以实数 的取值范围是 9(, )4. 8 分解法二：211()xafx， 4 分依题意得，在区间, 2上存在子区间使不等式 210xa成立.又因为 0x，所以 1()ax. 5 分设1()2g，所 以 2小于函数 ()g在区间, 2的最大值.又因为 x，由 21()0g解得 2x；由 2()x解得 .所以函数 ()g在区间 (, )上递增，在区间 12(,)上递减.所以函数 x在 12，或 x处取得最大值.又 9(2)g， ()3，所
4、以 9a， 4北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 3 -所以实数 a的取值范围是 9(, )4. 8 分（）因为21()xf，令 2(1hxax显然，当 0a 时，在 (,)上 0恒成立，这时 ()0fx，此时，函数()fx没有极值点； 9 分当 时， （）当 0 ，即 2a 时，在 (0,)上 (0hx 恒成立，这时()0fx，此时，函数 ()fx没有极值点； 10 分（）当 0，即 2a时，易知，当2ax时， ()0hx，这时 ()0fx；当20x或2a时， ()，这时 ()f；所以，当 a时，2x是函数
5、()fx的极大值点；2ax是函数 ()fx的极小值点. 12 分综上，当 2a 时，函数 ()fx没有极值点；当 时， x是函数 f的极大值点；2ax是函数 ()fx的极小值点. 2、 （2011 昌平二模理 19）.(本小题满分 14 分)已知函数 32ln)(axxf（ 0）.（）求函数 的单调区间;(）函数 )(xfy的图像在 处的切线的斜率为 ,23若函数31)(2mxg，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围。北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 4 -解：（I） )0(21)( xaxf 2
6、 分当 时 ，0f 即 21 210)(xf即f(x)的单调递增区间为（0， ）,单调递减区间为（ , ) 4 分当 时 ，a 0)(xf即， )(xf 即 x f(x)的单调递增区间为（ 21, ,单调递减区间为（0， 21） 6 分（II） 3)2( f得 a 8 分xxln+3 23)1()(xmxg 9 分14()(2mg10 分1)0(3gx） 上 不 是 单 调 函 数 ， 且，在 区 间 （11 分0)(1g12 分 624 即： 23m 3、 (2011 东城二模理 18) （本小题共 13 分）已知函数 xaxfln)(2( R)（）若 a，求证： f在 1,上是增函数； （
7、）求 )(f在1，e上的最小值（）证明：当 2a时， xxfln2)(，当 ,1(x时， 0)1(，所以 )f在 ),上是增函数 5 分（）解： 0(2(xax，当 1,e， 22,exaa若 ，则当 ,e时， 0)(f，所以 )(xf在 1,上是增函数，又 ，故函数 )(xf在 1,上的最小值为 1若 2ea，则当 e时， 0)(f，北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 5 -所以 )(xf在 1,e上是减函数，又 2a，所以 )(xf在 1,e上的最小值为 2ea若 e，则当 2a时， 0)(xf，此时 )(
8、xf是减函数；当 2ax时， 0)(xf，此时 )(f是增函数又 ()ln2af，所以 xf在 1,e上的最小值为 ln2a综上可知，当 a时， )(xf在 1,e上的最小值为 1；当 2e时， 在 上的最小值为 ln2a当 2ea时， )(xf在 1,上的最小值为 2ea4、 （ 2011 丰台二模理 18）.（本小题共 13 分）已知函数 2()ln()fax（）若 x在 1处取得极值，求 a 的值；（）求函数 ()yf在 2,上的最大值解：（） ln)fxax， 函数的定义域为 (0,) 1 分21()(21)()2()axaxfx 3 分 ()f在 1处取得极值， 即 2)(0a， a
9、 5 分当 1时，在 (,)2内 (fx，在 (1,)内 (0fx， x是函数 y的极小值点 1a 北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 6 -6 分（） 2a， 01a 7 分 2()(21)()()xaxafx x 0,， 10a， ()f在 2上单调递增；在 (,)2上单调递减， 9 分当 10a时， ()fx在 ,a单调递增， 32max()lnff； 10 分当 21a，即 2a时， ()fx在 21,)a单调递增，在 1(,)2a单调递减， max12()ln1ln24ff； 11 分当 2，即 a时
10、， ()fx在 2,a单调递减， 2532max()lnff 12 分综上所述，当 10时，函数 ()yfx在 2,a上的最大值是32lnaa；当 12时，函数 ()yfx在 2,a上的最大值是 1ln24a；当 2a时，函数 ()yfx在 2,a上的最大值是 532ln5、 （ 2011 海淀二模理 18） (本小题共 14 分）北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 7 -已知函数 221()lnfxaxa.()R.（I）当 0时，求曲线 (yf在 e,f处的切线方程（ e2.718） ；（II）求函数 ()f
11、x的单调区间.解：（I）当 0a时， ()lnfx， ()lnfx， 2 分所以 ()fe， 1fe， 4 分所以曲线 )yx在 (,)f处的切线方程为 yxe.5 分（II）函数 f的定义域为 0,21()()ln1(2)lnfxaaxxax，6 分当 0时， 0，在 ,上 )0f，在 ,上 ()0f所以 ()fx在 ,1上单调递增，在 (1,上递减； 8分当 02a时，在 (0,)和 ,)2a上 (0fx，在 1(,)2a上 ()0fx所以 ()fx在 ,1和 ,上单调递增，在 ,上递减；10 分当 2a时，在 (0,)上 (0fx且仅有 (1)0f，所以 ()fx在 ,上单调递增； 12
12、 分当 12a时，在 1(0,)a和 (,)上 (0fx，在 1(,)2a上 (0fx所以 ()fx在 ,和 ,上单调递增，在 ,上递减6、 （2011 顺义二模理 18）. （本小题满分 13 分）设函数 0)(2abxf。（1 ） 若函数 在 1处取得极值 2，求 ba,的值；（2 ） 若函数 )(f在区间 ,内单调递增，求 的取值范围；（3 ） 在（1）的条件下，若 0yxP为函数 bxf2)(图像上任意一点，直线 l与北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 8 -)(xf的图像切于点 P，求直线 l的斜率的
13、取值范围。解（1） 2 )()bxaf由题意得 2)1(0f，即 210)(ba，所以 14ba 3 分（2） )0()2 xaf当 )0fb时 ， ，函数 (xf在区间 1,内不可能单调递增 .4分当 时， 2 )()(bxaxf则当 ,bx时， 0f，函数 )(xf单调递增，故当且仅当1b时，函数 )(xf在区间 1,内单调递增，即 1b时，函数 )(xf在 1,内单调递增。故所求 b的取值范围是 , 8 分（3 ）直线 l在点 P 处的切线斜率202020 )1(84)1(4) xxfk .10 分令 ,20t则 t所以 21)4(8ttk故当 41时， min； 时， 4maxk所以直
14、线 l的斜率的取值范围是 ,21 北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 9 -7、 （ 2011 西城二模理 18）.（本小题满分 14 分）已知函数 ()1)e(0)xafx，其中 e为自然对数的底数.（）当 2时，求曲线 yf在 (1,)f处的切线与坐标轴围成的面积；（）若函数 ()f存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为 5e，求 a的值.解：（）2()exxaf， 3 分当 a时，2()xf，12(1)ef， ()ef，所以曲线 ()yfx在 ,处的切线方程为 e2yx， 5 分切线与 轴
15、、 轴的交点坐标分别为 (2,0)， ,)， 6 分所以，所求面积为 12e. 7 分（）因为函数 ()fx存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程 20a在 (,)内存在两个不等实根， 8 分则 4,0. 9 分所以 a. 10 分设 12,x为函数 ()fx的极大值点和极小值点，则 ， 12a， 11 分因为， 5ef，所以， 125xx， 12 分即 1251212()exax，25ea， 5ea，解得， 5，此时 ()f有两个极值点，所以 a. 8、 （2011 昌平二模文 18） (本小题满分 14 分)设函数 Rbaxaxf 、其 中,4)13)(2北京高考门户网站 电话：01
16、0-62754468 北达教育旗下网站 -北京高考网 电话：010-62754468- 10 -（）若函数 )(xf在 3处取得极小值是 21，求 ba、 的值; （）求函数 的单调递增区间;（）若函数 ()fx在 1,上有且只有一个极值点, 求实数 的取值范围. 解：（I） ax4)(2 .3 分 069)3( af 得 23 .4 分21 解得： b 5 分（II） )(4)()( xaxxf 令 ,0 a或即 .7 分当 21xa时 ， ，即 )(xf的单调递增区间为 ),2),(a和 （ .8 分当 0() f时 ， ，即 的单调递增区间 为 .9 分当 ,xa时 ， ，即 )(xf的单调递增区间为 ),),(和 （ .10 分（）由题意可得： 0)1(ff12 分0)12(a2a 的取值范围 , 9、 （ 2011 东城二模文 18） （本小题共 13 分）已知函数 xaxfln)(2( R)（）若 a，求证： )f在 1,上是增函数； （）求 )(f在 1,上的最小值（）证明：当 2时， xxfln2)(，当 ,(x时， 0)1(，所以 )f在 ),1上是增函数 5 分（）解： 0(2(xax，当 0时， )f，
