1、上海市 2014 年龙文 1 对 1小学五年级第五讲 三大原理容斥原理容斥原理: 两量重叠问题：AB=A+B-AB三量重叠： ABCABCABC韦恩图例题选讲【例1】 （第六届“中环杯”六年级决赛）某商店调查 两种商品的销售情AB、况。在被调查的家庭中，有 的家庭不用 商品。 的家庭不用 商1347B品， 户家庭既用 商品又用 商品， 的家庭两种商品都不用，该2AB16商店共调查了（ ）家庭。【例 2】 在一个炎热的夏日，10 个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中 6 人买了汽水，6 人买了可乐，4 人买了果汁，有 3 人既买了汽水又买了可乐，1 人既买了汽水又买了果汁，2 人既买了可乐又买了
2、果汁。问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【分析】 (1)设三样都买的学生有 a 人，那么 6+6+4-3-1-2+a=10，解得 a=0，所以没有人三种东西都买了.(2)去冷饮店的学生中除了买一样的外，只有买两样东西的，因为买两样东西的有 3+1+2=6(人)，所以买一样东西的学生有 10-6=4(人).【例 3】 某班有学生 46 人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的 22 人，两种琴都没有的 14 人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是 53。问：只有电子琴的有多少人？【分析】 46 人中除去有电子琴的 22 人，剩下的 24 人不是两种琴都没有，就
3、是只有小提琴，所以只有小提琴的人数为 24-14=10 人，所以两种琴都有的人数为 1035=6 人，所以只有电子琴的人数为 14-6=8 人.【例 4】 （第六届“中环杯”五年级初赛）甲、乙、丙三人浇花，甲浇了 盆，68乙浇了 盆，丙浇了 盆。已知共有花 盆，则三人都浇了的花至少625690有多少盆？【分析】甲，乙共浇 68+62=130（盆） ，而花有 90 盆，所以，甲，乙都浇了130-90=40 盆，丙没有浇 90-56=34 盆，要想甲，乙，丙共浇的花最少，则甲乙共浇的 40 盆中应该包括丙没有浇的 34 盆。所以他们都浇了的至少有 40-34=6盆。【例 5】 有一根长为 180
4、厘米的绳子，从一端开始每隔 3 厘米作一记号，每隔 4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断问绳子共被剪成了多少段?【分析】只需先计算剪了多少刀，再加上 1 即为剪成的段数从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号有 1180，3 的倍数有 1803=60 个，4 的倍数有 804=45 个，而既是 3 的倍数，又是 4 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以这样的数有 1802=15 个注意到 180 厘米处的无法标上记号，所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，所以绳子被剪成 89+1=90 段抽屉原理抽屉原理：抽屉原理一：将 n+1 个元素放到
5、 n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素抽屉原理二：将 nr+1 个元素放到 n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有 r+1 个元素抽屉原理三：将 m 个元素放到 n 个抽屉中去(mn)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有 1个元素例题选讲【例 6】 要把 个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装 个乒乓球，问1 5至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【例 7】 证明：在从 1 开始的前 10 个奇数中任取 6 个，一定有 2 个数的和是 20.【分析】 将 10 个奇数分为五组 (1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任
6、取6 个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为 20.【例 8】 从 1，2，3，2007，2008 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于 4？【分析】 1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，这些数中任何两个数的差都不为 4，这些数是每 8 个连续的数中选取前 4 个连续的数有 20088=251，即 8 人一组，有 251 组， 所以 答案为 2514=1004(个)【例 9】 从 1 至 1993 这 1993 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于 4？【分析】 1，3，6，8，11，13，16，18，
7、21，这些数中任何两个数不连续且差不等于 4，这些数是每 5 个连续的数中选择第 1、3 个数19935=3983. 所以最多可以选 3982+2=798 个数当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21，这些数满足条件，是每 5 个连续的数中选择第 1、4 个数但是此时最多只能选出3982+l=797 个数【例 10】 （第七届“中环杯”六年级初赛）口袋中装有写着 、 、 、 、 、 的123456卡片若干张，每次任意从中取出两张，至少要取多少次才能保证有两次取出的卡片完全相同？【例 11】 证明在任意的 个正整数中，一定可以找到两个数 ， ，使得 或52abab能被 整ab10
8、加乘原理加乘原理这三大数学原理贯穿小学、初中甚至高中的奥数课堂，是学习很多知识的基础，属于奥数必备知识。容斥原理是竞赛中的热点，熟练掌握容斥原理的公式和韦恩图，是解决此类题型的关键。在完成一件事的方法计数时，加乘原理的运用非常广泛，分清楚事情是分类（加法分类，类类独立）还是分步（乘法分步，步步相关）去完成是它的一个难点。抽屉原理和最不利原则往往在竞赛中会一起出现，遇到比较复杂的抽屉原理题目，寻找和构造合适的抽屉是非常重要的。例题选讲【例 12】 （第八届“中环杯”六年级复赛）三位数中各位数之和为 的数共有（ 10）个。【例 13】 （第七届“中环杯”六年级初赛）妈妈要外地出差，临走前交给小李
9、粒糖，10并告诉他每天吃 粒或者 粒，吃完为止.那么，小李有（ ）种不同的方法把糖12吃完.【例 14】 12 个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？【分析】两人相邻的情况有 12 种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩8 个人可选，128=96（种）共有 60 种不同的选法.【例 15】 北京到广州之间有 10 个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州） ，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【分析】京广线上一共有 12 个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配 11 个不同的终点站，所以
10、铁路局要准备 411=44 种不同的车票【例 16】 （ 年第六届“走进美妙的数学花园”六年级决赛）从 这 个自然208 125数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是 的倍数，共有 种不同的取4_法。巩固精炼【练习 1】 甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有 个故事，每个人都从某一10个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了 个故事，乙读了 个故事，丙读了7560个故事，那么甲、乙、丙 人共同读过的故事最少有多少个？523【练习 2】 图书室有 本书，借阅图书者要在图书上签名.已知这 本书中有甲、乙、10 10丙签名的分别有 、 和 本，其中同时有甲、乙签名的有 本，同时有甲、34529丙签名的有 本，同时有乙、丙签名的有 本.问这批图书中至少有多少本没2536有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？【练习 3】 （第六届“中环杯”六年级初赛）有红、黄、蓝、白、黑五种形状大小完全一样的小球若干，每人必须从中选 只小球.要使有两人得到球的颜色完全一样，3至少有（ ）人参加选球.【练习 4】 在 ， ， ， ， 中，至少取多少个数，才能保证其中至少有两个数1710的和等于 ？4【练习 5】 （第七届“中环杯”六年级初赛）从 到 的整数中，十位数字与个位2065数字相同的数共有（ ）个.【练习 6】 将 个足球分给七个班级，每班至少分两个，有多少种不同的分法？17
