1、空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.5. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.6. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.【知识网络】 空 间 向 量 的定 义 与 运 算 空 间 向 量 运算 几 何 意 义空 间 向 量 的
2、坐标 表 示 及 运 算 应 用 空 间 向 量 的运 算 解 决 立 几 问 题 证 明 平行 、 垂 直求 空 间 角与 距 离【考点梳理】要点一、空间向量1.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释： 空间的一个平移就是一个向量。 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于 记作 当我们说向量 、 共线（或 / ）时，表aba/abab示
3、、 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线ab（2）共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ） ， / 的充要条件是存在实数b0，使 。3.向量的数量积（1）定义：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即,ab|cos,ab,ab。ab|cos（2）空间向量数量积的性质： ；|,eae ；0b 2|（3）空间向量数量积运算律： ；()()()abab （交换律） ； （分配律） 。()cc4.空间向量基本定理如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，,abp,xyz使 。若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫pxyzc,ac,abcab
4、c做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5.空间直角坐标系：（ 1） 若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长 为 ， 这 个 基 底 叫 单 位 正 交 基 底 ， 用1表 示 ；,ijk（2）在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，分别以 的方O,ijkO,ijk向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角xyz坐标系 ，点 叫原点，向量 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平xyz,ij面，分别称为 平面， 平面， 平面；zx6.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系 中，
5、对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使xyA(,)xyz，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，记OAxiyjzk(,)zO作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标(,)y7.空间向量的直角坐标运算律：（1）若 ， ，则 1(,)xz2(,)Bxz2121(,)ABxyz一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若 ， ，则123(,)a123(,)b，ba，123(,)，)(aR，123bab，123/,()；20a， 213|a2213|bb夹角公式： 2221313cos|ab b（3）两点间的距离公式：若 ， ，则1(,)A
6、xyz2(,)Bxyz22211|AB或 。,2122()()()dxyz要点二、空间向量在立体几何中的应用1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直问题，一般是利用 进行证明；0ab对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。cos|ab要点诠释：平面的法向量的求法：设 n=(x,y,z)，利用 n 与平面内的两个不共线的向 a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得
7、到平面 的一个法向量（如图） 。线线角的求法：设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b，则直线 AB 与 CD 所成的角为。 （注意：线线角的范围0 0,900）|arcos|b线面角的求法：设 n 是平面 的法向量， 是直线 的方向向量，则直线 与平面 所成的角为ABll（如图） 。|arcsiAB二面角的求法：设 n1，n 2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则l就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）1212,arcos|n3.用向量法求距离的公式设 n 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条斜线，则点 B 到平面 的距离为（如图） 。|AB要点诠释： 点 A 到平面 的距离
8、：，其中 ， 是平面 的法向量。|Bndn 直线 与平面 之间的距离：a，其中 ， 是平面 的法向量。|An,aB 两平行平面 之间的距离：,，其中 ， 是平面 的法向量。|Bdn,An【典型例题】类型一、空间向量的运算【例 1】已知 =（2，2，1） ， =（4，5，3） ，求平面 ABC 的单位法向量。ABAC【答案】单位法向量 =（ ， ， ）.0|n12【解析】设 面 ABC的 法 向 量 ， 则 且 ， 即(,)xyznABC， 即 ，解 得 ，0n204532,xz令 ， 则1x(,)单位法向量 =（ ， ， ）.0|n312【总结升华】一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没
9、规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把 的某个坐标设为 1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解。举一反三：【变式】若 (1,5,1)， (2,3,5)ab（1）若 ，求实数 k 的值；/3kb（2）若 ，求实数 k 的值；（3）若 取得最小值，求实数 k 的值。bak【答案】(1) /3，即kab设 (2,53,)(7,416)kk由 ，解得 ； 2753416k1(2) ，ab30kab，(2,53,)(7,416)kk即 ，解得 ；10603(3) kab2222()(5)(5)71638kk当 时， 取得最小值
10、。87类型二：向量法证明平行或垂直【例 2】如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的菱形， , OABCD 4ABC, , 为 的中点， 为 的中点OAB平2MNBC NMABDCO（）证明：直线 ；O平（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。【解析】作 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 轴建立坐标系APCD,xyzx yzNMABDCOP,222(0,)1,(0,),(,0),(),(0,1),0)4OMN(1) ,1,42MD设平面 OCD 的法向量为 ,则()nxyz0,nP即 202yzx取 ,解得2z(0,4)n21
11、,1(,2)0MN OCD平(2)设 与 所成的角为 ,AB2(1,0)(1), 与 所成角的大小为cos,3MABD ABMD3(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值,dO(0,42)n由 , 得 .(1,02)O23n所以点 B 到平面 OCD 的距离为【总结升华】1. 用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示2. 用向量法证垂直问题：(1)证明线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为 0；(2
12、)证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直；(3)证明面面垂直，只需证明两平面的法向量的数量积为 0，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直举一反三：【变式】如图，已知直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC 为等腰直角三角形，BAC 90，且 ABAA 1，D 、E 、F 分别为 B1A、C 1C、BC 的中点求证：(1)DE 平面 ABC；(2)B1F 平面 AEF.【解析】如图建立空间直角坐标系 Axyz，令 ABAA 14，则 A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)(1)
13、取 AB 中点为 N，则 N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)， (2，4，0)， (2，4，0)，DE NC .DENC，DE NC 又 NC 在平面 ABC 内，DE 不在平面 ABC 内，故 DE平面 ABC.(2) (2，2，4)， (2，2，2)，B1F EF (2，2，0)，AF (2)22(2)(4)(2)0，B1F EF 则 ，B 1FEF，B1F EF (2)222(4)00.B1F AF ，即 B1FAF，B1F AF 又AFFEF，B 1F平面 AEF.类型三：异面直线所成的角【例 3】正方体 ABCD-EFGH 的棱长为 a，点 P 在 AC 上，Q 在
14、 BG 上，且 AP=BQ=a, 求直线 PQ 与AD 所成的角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j【答案】90【解析】建立空间直角坐标系如图，则 ，(,0)A(,0)Da,2(0,)Qa2(,Pa , ，(,0)(0,)A PADQP 与 AD 所成的角为 90。【总结升华】建立坐标系后，求出 可由|PQAD及 ， ，求解。cos|QPAD举一反三：【变式】如图，在直四棱柱 中，底面是边长为 的菱形，侧棱长为1BCA12（1） 与 能否垂直？请证明你的判断；1B（2）当 在 上变化时，求异面直线 与 所成角的取值范围。A,321CAB【答案】菱形 中， 于 ，设 ，1ABCD1
15、1BOACBD分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，1,O,xyz设 ，则211(,0)(,)1)BaCba11(,0)(,0)(,2)DaAbDa（1） ，(,DAb ， 与 不能垂直。2101B（2） ， ，1BC,3a(0,2)Ab ，1(0,2),Ab11(,0)AbCB，211|,|a21cos,b ，设 ，2abcos,inb又 ，313ta1,6421cos,bACB242sin1siin421cs ，2cs4156cos,0ACB直线 与 所成角的取值范围是 。1ACB,类型四：直线与平面所成的角【例 4】如图，在棱长为 1 的正方体 中， 是侧棱 上的一点，1ABCDP1C。试确定 ，使直线 与平面 所成角的正切值为 ；CPmP32
