1、上海中考网 http:/ E 度社区 http:/2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）本题共有 6 小题，每题均给出了代号为 的四个答案，其中有且仅有一个是正DCBA,确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号
2、字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分.1. 已知 满足 ，则 的值为 （ zyx, xzy532zy2）（A）1. （B） . （C） . （D） .313121【答】B.解 由 得 ，所以 ，故选xzyx52xzy2,35xzy（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.2当 分别取值 ， ， ， ， ， ， ， ， 时，x20716205112056207计算代数式 的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（A）1. （B）1. （C）0. （D）2007.【答】C.解 因为 ，即当 分别取值 ， 为正整221)(n012nxn1(上海中考网 http:/ E 度社区 http:
3、/数）时，计算所得的代数式的值之和为 0；而当 时， .因此，当 分别取值1x02x， ， ， ， ， ， ， ， 时，计算所得各代20716205112567数式的值之和为 0.故选（C）.3. 设 是 的三边长，二次函数 在 时取最小值cba,AB2)(2bacxbay1x，则 是 （ 58）（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.【答】D.解 由题意可得 即 所以 ， ，,582,1)(bacb,32cabc53a4因此 ，所以 是直角三角形. 故选（ D）.22caABC4. 已知锐角 的顶点 到垂心 的距离等于它的外接圆的半径，则 的度数是（ H
4、A）（A）30. （B）45. （C）60. （D）75.【答】C.解 锐角 的垂心在三角形内部，如图，设 的外心为 ，ABCO为 的中点， 的延长线交 于点 ，连 、 ，则 /DCOEE， / ，则 ，所以 30，HEOAH260，所以 60.故选（C）.BB5设 是 内任意一点， 、 、 的重心分别为 、 、 ，KKKDF则 的值为 （ ）ABCDEFS :（A） . （B） . （C） . （D） .91929432【答】A.解 分别延长 、 、 ，与 的三边 、 、 交于点 、KFABBCAM、 ，由于 、 、 分别为 、 、 的重心，易知 、 、NPEKN分别为 、 、 的中点，所以
5、 .CACMNPS 41A ECB DO H上海中考网 http:/ E 度社区 http:/易证 ，且相似比为 ，所以DEFMNP3:2MNPDEFSS 2)3(ABCS419.ABCS91所以 .故选（A）.:DEF 19BC6袋中装有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球，从袋中摸出 15 个球，摸出的球中恰好有 3 个红球的概率是 （ ）（A） . （B） . （C） . （D） .10510352【答】B.解 设摸出的 15 个球中有 个红球、 个黑球、 个白球，则 都是正整数，且xyzzyx,， .因为 ，所以 可取值 2，3，4，5.7,65zyx1zy3当 时，只有一种可能，即
6、；27,6z当 时， ，有 2 种可能， 或 ；3xzy,5y6,zy当 时， ，有 3 种可能， 或 或 ；414z55,zy当 时， ，有 4 种可能， 或 或 或5x0zy7,3y,4zy.,6zy因此，共有 123410 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 2 种，所以所求的概率为 .故选（B）.510二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 设 ， 是 的小数部分， 是 的小数部分，则12xaxbx_1_.ab33解 ，而 ， .12x 31212xa又 ，而 ，3 . ，2)3(xb1ba上海中考网 http:/ E 度社区 http:/ .ab
7、33 ab3)(22 1)(3222 bab2. 对于一切不小于 2 的自然数 ，关于 的一元二次方程 的两nx 0xn个根记作 （ ） ，则nba,)2(12ba)2(13ba=)(2(10707.0346解 由根与系数的关系得 ， ，所以2nban 2nab，)(nba(4)()4(1)n则 ， 111()(2)2()nnn)(2ba)(3ba )2)(07207ba .111103348846 3. 已知直角梯形 的四条边长分别为 ，过 、ABCD,2ADCBAB两点作圆,与 的延长线交于点 ，与 的延长线交于点 ，则 的值为DEFE_4_.解 延长 交 于点 ，设 的中点分别为点 ，O
8、G, NM,则易知 .因为 ，由割线定理，易证 ，NAM10CBGB所以 .42)(2)(2ADNMEFB4 若 和 均为四位数，且均为完全平方数，则整数 的值是6410a a_17_.解 设 ， ，则 ，两式相减得2m21n10,3nm，因为 101 是质数，且 ，所以)(102na 10A B CDE FG MN上海中考网 http:/ E 度社区 http:/，故 .代入 ，整理得10mn102nma2642na，解得 ，或 （舍去）.23742593所以 .n第二试 （A）一、 （本题满分 20 分）设 为正整数，且 ，如果对一切实数 ，二次函数nm, 2t的图象与 轴的两个交点间的距
9、离不小于 ，求 的值.txmtxy3)(2xtnm,解 因为一元二次方程 的两根分别为 和 ，所以二次函03)(2tt 3数 的图象与 轴的两个交点间的距离为 .txtxy)(2 xt由题意， ，即 ，即32mn22()()mttn.2(4)(6)90tt由题意知， ，且上式对一切实数 恒成立，所以42t,0)9()6(,0222 nmnm所以 或 2,4(6)0,n,62n,23.1,6nm二、 （本题满分 25 分）如图，四边形 是梯形，点 是上底边 上一点，ABCDAD的延长线与 的延长线交于点 ，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，CEBAFCM与 交于点 .证明： = .MDNM证
10、明 设 与 交于点 ， / ，EPNAB CDEF MNP2007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 8 页）上海中考网 http:/ E 度社区 http:/ ， ,PNEBCPEN . 又 / ， ， ,MFBFPEM . ,故 PCPNCN又 = ，PNF PMC，PNFPMC ，NF/MC EANF EDM.又ME/BF，FANMED.ANF FANEDMMED，AFN=DME.三、 （本题满分 25 分）已知 是正整数，如果关于 的方程ax的根都是整数，求 的值及方程的整数根.056)38()17(23 xaxax解 观察易知，方程有一个整数根 ，将方程的
11、左边分解因式，得1x)1()(2x因为 是正整数，所以关于 的方程a（1）056)8(2的判别式 ，它一定有两个不同的实数根.41而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 2)8(a设 （其中 为非负整数） ，则 ，即24k 24)18(2ka.4)18)(a显然 与 的奇偶性相同，且 ，而a18 ，所以245624或 或 解得 或 或,k,41856ka,812ka,539ka,261,10a上海中考网 http:/ E 度社区 http:/而 是正整数，所以只可能 或a,539ka.26,1当 时，方程（1）即 ，它的两根分别为 和 .此时原方
12、39072x156程的三个根为 1， 和 .6当 时，方程（1）即 ，它的两根分别为 和 .此时原方2a563228程的三个根为 1， 和 .8第二试 （B）一、 （本题满分 20 分）设 为正整数，且 ，二次函数nm, 2的图象与 轴的两个交点间的距离为 ，二次函数txtxy3)(2x1d的图象与 轴的两个交点间的距离为 .如果 对一切实n2 221d数 恒成立，求 的值.t,解 因为一元二次方程 的两根分别为 和 ，所以03)(2mtxtx mt3；31mtd一元二次方程 的两根分别为 和 ，所以 . 02)(2ntxtx t2nntd2所以， 21d )()3(3m（1）0946)( 2
13、2tt由题意知， ，且（1）式对一切实数 恒成立，所以042m,0)9()6(, 222 nn所以 或2,4()0,m,6,3m.1,6n二、 （本题满分 25 分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、 （本题满分 25 分）设 是正整数，二次函数 ，反比例a axaxy38)7(22007 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 6 页（共 8 页）上海中考网 http:/ E 度社区 http:/函数 ，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点） ，求xy56的值.a解 联立方程组 消去 得 ，,56,38)17(2xyaxayaxax38)17(2 x56
14、即，分解因式得0)38()17(23 axax（1）56显然 是方程（1）的一个根， （1，56）是两个函数的图象的一个交点.x因为 是正整数，所以关于 的方程ax（2）056)8(2的判别式 ，它一定有两个不同的实数根.41而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. )8(2a设 （其中 为非负整数） ，则 ，即241k 24)18(2ka.4)18)(a显然 与 的奇偶性相同，且 ，而a8 ，所以2456124或 或 解得 或 或,k,41856ka,812ka,539ka,261,10a而 是正整数，所以只可能 或,539ka.26,
15、1当 时，方程（2）即 ，它的两根分别为 和 ，此时两个39a072x156上海中考网 http:/ E 度社区 http:/函数的图象还有两个交点 和 .)56,1()1,(当 时，方程（2）即 ，它的两根分别为 和 ，此时两1a032x28个函数的图象还有两个交点 和 .)8,()2,(上海中考网 http:/ E 度社区 http:/第二试 （C）一、 （本题满分 25 分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二、 （本题满分 25 分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、 （本题满分 25 分）设 是正整数，如果二次函数a和反比例函数 的图象有公共整点（横坐标和纵xaxy710)23(2
16、 xay31坐标都是整数的点），求 的值和对应的公共整点.解 联立方程组 消去 得,31,710)2(2xayaxyaxax710)23(2，即 ，分解因式得1 013)710()(2axx（1）)(2x如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于 的一元二次方x程（2）031)2(2axax必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式 应该是一个完全平方数，而 .24)18(036)(4)(22 a所以 应该是一个完全平方数，设 （其中 为非负18a k整数） ，则 ，即 .2)(2k )(18(ka显然 与 的奇偶性相同，且 ，而18，所以8456124或 或 解得 或 或,28ka,4156ka,2ka,539ka,261,10而 是正整数，所以只可能 或a,539ka.26,1
