1、水声 OFDM 信道压缩感知估计研究刘胜兴 *，肖沈阳(厦门大学 海洋与地球学院 , 水声通信与海洋信息技术教育部重点实验室，福建 厦门 361102)摘要：针对传统最小二乘（least square，LS ）算法估计时变水声 OFDM 信道误差较大问题，本研究提出一种基于压缩感知的准确估计方法。首先导出了水声 OFDM 系统接收序列、发送序列及信道传输矩阵之间的关系；在此基础上利用水声信道稀疏特征，探讨了采用正交匹配追踪（orthogonal matching pursuit，OMP）算法估计水声 OFDM 信道的方法；分析了导频插入方式、导频数及径数等对水声 OFDM 信道估计均方误差（m
2、ean square error，MSE）的影响。研究表明：当导频随机插入时，OMP 算法用较少导频即可准确估计水声 OFDM 信道的传输矩阵。当信噪比大于 10 dB 时，OMP 算法的 MSE 小于-24 dB，比传统的 LS 算法小 18 dB。关键词：水声信道；OFDM；正交匹配追踪算法；压缩感知中图分类号：TN 929. 3 文献标志码： A水声通信及网络的快速发展要求物理层提供可靠的高速率通信。单载波调制水声相干通信虽可实现较高通信速率，但其接收机通常需使用复杂的自适应时域信道均衡算法才能确保通信可靠 1-4。OFDM 将信道分成多个相互正交的子信道，通过延长每个 OFDM 符号的
3、周期和加入保护间隔等措施抑制信道多径延迟引发的码间干扰，其接收机使用简单的 FFT 变换和频域均衡即可确保通信可靠。若进一步与信道纠错编码相结合，如 Turbo 码或 LDPC 码等，可将系统的误比特率降至很低水平。近年来，OFDM 成为高速水声通信研究的热点之一 5-8。为确保通信可靠，接收机通常需要估计水声 OFDM 信道。估计方法包括插入导频、盲估计及半盲估计等 3 种。插入导频法需要考虑以下两个重要问题：一是导频插入方式，即在那些子信道中插入导频；二是选择合适的信道估计算法。当导频梳状插入时，传统 LS 算法先估计出导频子信道，然后采用时域或频域插值方法估计出整个水声 OFDM 信道。
4、LS 算法的估计误差与导频数密切相关，当导频数等于或略小于子信道数时，估计误差较小；但当导频数远小于子信道数时，估计误差却很大。然而，为提高信道的带宽利用率及通信速率，水声OFDM 系统的导频数通常远远小于子信道数。为确保该情况下水声 OFDM 信道估计的准确性，本研究引入先进的压缩感知技术。压缩感知的核心是将压缩与采样合并进行，首先采集信号的非自适应线性投影，即测量值， 然后采用一定算法重构原信号 9。对于稀疏信号，压缩感知通过少量测量值即可以很大概率重收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（41276038）资助*通信作者：构原信号，该优点使得其在信道估计、图像压缩、模拟信息转换及生物传
5、感等许多领域有着重要应用前景。近年来，压缩感知开始应用于水声稀疏信道估计。Li 等采用匹配追踪算法对单载波调制水声稀疏信道冲击响应及多普勒频移函数进行了估计研究 10。Kang 等采用匹配追踪算法对水声 LDPC 编码 OFDM 系统的载波频移进行了估计研究 11。Berger 等采用子空间和压缩感知对多载波调制水声信道进行了估计研究，但其假设导频为均匀插入 12。 本文从水声 OFDM 系统模型出发，首先导出了接收序列、发送序列及信道传输矩阵之间的关系，在此基础上利用水声信道稀疏特征，探讨了 OMP 算法估计水声 OFDM 信道的方法。1 系统模型图 1 为水声 OFDM 系统结构示意图。符
6、号发送序列 经 S/P （串/TNss1,0并）转换、IFFT 变换和 P/S（并/ 串）转换生成时域信号，通过插入循环前缀（cyclic prefix，CP ）以抑制不同 OFDM 符号间干扰。若水声 OFDM 系统的符号周期为 T，循环前缀时长为 Tg，则子信道频率间距为 1/T，第 n 号子信道的载波频率为. (1)1,0 ,/ Nfcn 其中， 为第 0 号子信道载波频率； 为子信道数。cf图 1 水声 OFDM 系统结构图Fig. 1 Structure of underwater acoustic OFDM system发射信号 为tx. (2)gNnc TttqTnfjstx ,
7、0 ,2expR10其中. (3)其 它 ,01,ttq多径时变水声信道的冲击响应为. (4)10,Ll nnttAth其中，L 为径数； 和 分别为第 l 条路径 t 时刻的复增益和时延。若水声信道的相干tAltl时间较长，则其冲击响应可认为在一个 OFDM 符号周期内保持不变，即. (5)10Llllh将(2)式和(5) 式进行卷积，并加入海洋噪声干扰项 ，得接收信号 为twty. (6) twtqtTnfjnsAtyLlN llcl10 /2expRe 该信号经 A/D 转换和 OFDM 解调后输出接收符号 为z. (7)1,0 ,)/2exp(10 NnvsTnfjAnzLl lcl
8、矩阵形式为. (8)vHsz其中， 为符号接收序列； 为高斯噪声序列；TNz1,0 TNvv1,0为水声信道传输矩阵，其对角元素为H. (9)10, )/2exp(Ll lcln TnfjAH其余元素为 0。若接收端已知整个发送序列 及接收序列 ，则利用 LS 算法或最小均方误差算法可由(8)sz式准确估计出信道的传输矩阵 。但对于导频梳状插入水声 OFDM 系统，接收端仅知少量导频符号，此时利用传统 LS 算法进行 的估计将产生较大误差。为此，本研究引入先进的H压缩感知技术。 2 水声 OFDM 信道压缩感知估计为利用压缩感知估计水声 OFDM 信道的传输矩阵 ，需要对(8)式进行改造。将(
9、9) 式代H入(8)式，可得 与 之间的关系为zlA. (10)vss1010 LAXX其中 。设水声信道最大可能时延为 ，则 ，lcl TnfjX/2exp maxsgTM1ax其中假设 为系统采样周期 的 倍。记gTs1M. (11)其 他 ,05.0 5. slsl TTmAh 1,0(10)式近似为. (12)vWz其中， 为水声信道的单位抽样响应； 为 阶矩阵，其各元TMh1,0h WMN素在基带上为. (13)Nnmjnm2exp水声信道冲击响应 中非 0 元素的个数与信道的径数相同，而其长度 M 则与最长可能时h延 及系统采样周期 有关。 越长，M 越大， 越小，M 越大，但对
10、的估计也越精maxsTmaxsTh确。由于海水中声传播速度相对较小，而不同路径间的声程差又相对较大，因此，水声信道最长可能时延 通常较大，一般为数毫秒至数十毫秒。为抑制水声 OFDM 系统前后符号间ax的干扰，循环前缀时长 Tg 理论上应大于最长可能时延 ，但在具体应用时可权衡通信的速max率和可靠性要求，设置合理的数值。若水声信道的径数 L 10，设 ms， 20maxgT48sfkHz，则 M = 960， 。上式表明水声信道冲击响应 中非 0 元素的个数远远小于其长Lh度，为典型的稀疏信号。根据压缩感知理论，对于长度为 M 的 K 稀疏信号 h，通过测量矩阵从信号 h 中选取 P 个样值
11、，接收端通过这 P 个样值即可以较大概率重建信号 h，其中，c 为一很小的常数 9。因此，利用压缩感知算法，水声 OFDM 系统只需设置KPlog相对较少的导频即可由(12)式准确估计出信道的冲击响应 ，进一步利用(9) 式便可估计出信h道的传输矩阵 。H压缩感知算法主要有最小 l1 范数法、匹配追踪系列算法及迭代阈值法等，其中正交匹配追踪（OMP ，orthogonal matching pursuit）算法能够以极大概率重构原信号，并在处理维数较低时速度很快，因此，该算法在实时水声 OFDM 信道估计中具有较大优势。OMP 算法的主要步骤为 13：(1) 初始化残差 ，索引集 ，迭代次数z
12、r00S0j(2) 迭代步骤 1：根据下式优化规则确定索引 1,2 js. (14)mjMmj rsw,axrg1,10其中， 为 矩阵的第 m 列向量。mwW步骤 2：设置索引集 jjjsS1步骤 3：利用 LS 算法求得一个新的估计 ， 在索引集 之外均为 0，而在索引集内为jhj jS. (15)Wzhjj SSminarg其中， 为 矩阵。iSWN步骤 4：计算新的近似和残差. (16)jjhz. (17)jjr若残差 的均方值小于预设阈值，则终止并输出；否则转步骤 5。jr步骤 5：若 j J（其中 J 为最大迭代次数） ，转步骤 1，否则终止并输出。(3) 输出 (18)hWzhJ
13、Sminarg3 仿真结果仿真各参数分别为：水声换能器带宽 1016 kHz；OFDM 符号周期 85.33 ms；循环前缀时长 20 ms；采样频率 48 kHz；子信道数 500；子信道载波频率间隔 11.72 Hz；未特别说明时的导频数为 50；调制方式为 QPSK；水声信道径数分别为 3,6,9 和 12，其中第 1 径时延为0，其余各径时延在 (0, Tg) 范围内均匀分布，各径复增益满足瑞利分布，但其功率随时延的增大呈指数递减。仿真时假设水声信道的冲击响应在一个 OFDM 符号周期内保持不变，不同OFDM 符号间随机变化。图 2 为 3 径水声信道中，采用 OMP 和 LS 两种不
14、同算法估计水声 OFDM 信道时的均方误差 MSE，其中横坐标 SNR 为信噪比（ ） ，纵坐标 MSE 为水声信道转移函数 的0NEb kH归一化均方误差，定义为(19)kkHE22MS其中， 为已知信道。图中“P”表示只计算导频子信道， “P+I”表示既计算导频子信道，kH又计算信息子信道。由图 2 可见，OMP 算法估计水声 OFDM 信道的 MSE 比传统 LS 算法小很多，且两者之间的差值随 SNR 的提高而增大。只计算导频子信道时，OMP 算法和 LS 算法的 MSE 都较小，但 OMP 算法的 MSE 随 SNR 的提高而快速下降，而 LS 算法的 MSE 随SNR 的提高而下降
15、很少。既计算导频子信道，又计算信息子信道时，LS 算法的 MSE 较大，而 OMP 算法的 MSE 仍较小，与只计算导频子信道时相差很小。图 2 不同算法估计水声 OFDM 信道时的 MSEFig. 2 MSE of underwater acoustic OFDM channel estimated by different algorithm图 3 为 3 径水声信道中，导频插入方式对 OMP 算法 MSE 的影响。由图可见，在相同SNR 下， OMP 算法的 MSE 在导频随机插入时比均匀插入时小很多，而且，SNR 越小，两者MSE 之间的产值越大。例如，当 SNR 为 0 dB 时，前
16、者的 MSE 约为-5 dB，已不能准确估计水声 OFDM 信道；而后者的 MSE 约为-13 dB，仍能准确估计。图 4 为 3 径水声信道中，导频数对 OMP 算法 MSE 的影响。由图可见，OMP 算法的MSE 与导频数有关。当导频数较少时，MSE 随导频数的增加而较快下降，但当导频数增大到一定数目时，MSE 随导频数的增加而缓慢下降。例如，当 SNR 为 20 dB 时，导频数由25（占总信道数的 1/20）增加到 50，MSE 下降约 6 dB；而当导频数由 75 增加到 100 时，MSE 下降仅约 1 dB。一般情况下，导频数与总信道数之比大于等于 1/10 时，OMP 算法即可
17、准确估计水声 OFMD 信道。图 3 导频插入方式对 OMP 算法 MSE 的影响Fig. 3 Effect of pilot arrangement schemes on MSE of OMP algorithm图 4 导频数对 OMP 算法 MSE 的影响Fig. 4 Effect of pilot number on MSE of OMP algorithm图 5 给出水声信道径数对 OMP 算法 MSE 的影响。可见，水声信道径数越多，OMP 算法的 MSE 越大，但当水声信道径数为 12 时，OMP 仍有很小的 MSE。该结果表明水声信道径数较大时，OMP 算法仍能准确估计水声 OF
18、DM 信道。图 5 水声信道径数对 OMP 算法 MSE 的影响Fig. 5 Effect of path number of underwater acoustic channel on MSE of OMP algorithm4 结 论本研究利用水声信道稀疏特征，提出采用 OMP 压缩感知算法对水声 OFDM 信道进行准确估计的方法，解决了传统 LS 算法的 MSE 较大问题。OMP 算法不仅能以极大概率重构原信号，而且在小尺度空间上运算速度很快，该优点使得其在水声信道估计中有着重要应用前景。研究表明：当 SNR 大于 10 dB 时，OMP 算法估计水声 OFDM 信道的 MSE 较传统
19、 LS 算法小 18 dB。导频随机插入时， OMP 算法用较少导频即可准确估计出水声信道的单位抽样响应，进而准确估计出水声 OFDM 系统的传输矩阵。参考文献：1 Kilfoyle D B, Bageroer A B. The state of the art in underwater acoustic telemetry (J). IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2000, 25(1): 4-27.2 Stojanovic M. Catipovic J, and Proakis J G. Adaptive multichannel combini
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