1、数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表 1 给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报 2000 年、2010 年美国人口.表 1 美国人口统计数据年（公元）人口（百万）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）人口（百万）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百万）19
2、30123.21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus17661834）于 1798 年提出.1 假设：人口增长率 r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.2 建立模型： 记时刻 t=0 时人口数为 x0, 时刻 t 的人口为 ，由于量大，tx可视为连续、可微函数.t 到 时间内人口的增量为：tx ttrxtx于是 满足微分方程：tx（1）00xxrdt3 模型求解： 解微分方程（1）得（2）rtext0表明： 时， （r0）.t
3、tx4 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数 r 进行估计，这可以用表 1 的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第 16 章或第 18 章.通过表中 1790-1980 的数据拟合得：r=0.307. 5 模型检验：将 x0=3.9，r=0.307 代入公式（2） ，求出用指数增长模型预测的 1810-1920的人口数，见表 2.表 2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较指数增长模型年实际人口（百万） 预测人口（百万） 误差（%）1790 3.91800 5.31810 7.2 7.3 1.41820 9.6 10.0 4.21830 12.9 13.7
4、 6.21840 17.1 18.7 9.41850 23.2 25.6 10.31860 31.4 35.0 10.81870 38.6 47.8 23.81880 50.2 65.5 30.51890 62.9 89.6 42.41900 76.0 122.5 61.21910 92.0 167.6 82.11920 106.5 229.3 115.3从表 2 可看出，1810-1870 间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但 1880年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.
5、如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个. 3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）1假设：（a）人口增长率 r 为人口 的函数 （减函数） ，最简单假定txxr（线性函数） ，r 叫做固有增长率 .0, sxr（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .m2建立模型：当 时，增长率应为 0，即 =0，于是 ，代入mxmxrmxrs得：srx（3）mxrx1将（3）式代入（1）得：模型为： 01xrdtm（4） 3 模
6、型的求解： 解方程组（4）得 （5）rtmext10根据方程（4）作出 曲线图，见图 1-1，由该图可看出人口增长率随xdt人口数的变化规律.根据结果（5）作出 xt 曲线，见图 1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律. 4 模型的参数估计：利用表 1 中 1790-1980 的数据对 r 和 xm 拟合得：r=0.2072, x m=464.5 模型检验：将 r=0.2072, xm=464 代入公式（5） ，求出用指数增长模型预测的 1800-1990 的人口数，见表 3 第 3、4 列.也可将方程（4）离散化，得t=0,1,2, (6)(1()(1( txrtxttxm用公式（6）预
7、测 1800-1990 的人口数，结果见表 3 第 5、6 列.表 3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较阻滞增长模型年实际人口公式（5） 公式（6）o xm2mxdtx图 1-1 曲线图 dtxm20xto图 1-2 xt 曲线图（百万） 预测人口（百万）误差（%） 预测人口（百万）误差（%）1790 3.91800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.26421810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.09621820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.09571830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153
8、 0.11511840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.11561850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.14571860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.15531870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.08151880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.13281890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.10671900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.07701910 92.0 57.6607 0.
9、3733 84.7305 0.07901920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.03791930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.03451940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.04691950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.01261960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.05031970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.01381980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.00471990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.00386 模型应用：现应用该模型预测人口.用表 1 中 1790-1990 年的全部数据重新估计参数，可得 r=0.2083, xm=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.
