1、走进新课程，体会算法的数学魅力【摘要】随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并且日益融入社会生活的许多方面，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养。新课标中将算法列为必修内容，旨在使学生体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。在教学中，我深深体会出这部分内容的数学内涵。算法的数学背景、算法思想和数学思想的相融是我最大的收获。【关键词】 算法 函数思想 迭代思想 递推思想 枚举思想【正文】在高中新课程数学必修 3 中，新增了算法一章，这一内容走进必修课程，引起了比较强烈的反响。很多教师对此不是很理解，认为此
2、内容缺乏“数学味” ，应属于信息技术课程的内容，安排在数学课程中不够合适；特别是此内容给有丰富的数学教学经验的教师造成了巨大的压力，成为教师教学的难点。而我做为一个有着六年计算机学科教龄和十年高中数学教龄的特殊身份的教师，对这一章却情有独钟。在刚刚开始这一章教学时，我好像又回到了十几年前的计算机课堂上，但是，凭着我十几年的数学教学经验，我越来越体会到今天的课堂是数学的课堂，我体会到的是算法思想与数学思想的相融，我体会到的是算法知识的数学魅力。一、 算法的数学背景算法有着悠久的历史。中国古代的数学叫做“算术”。术，即方法，因此“算术”也就可以认为是“算法”的别称了。在上个世纪，小学的“数学”仍然
3、叫“算术”，初中以后才叫“数学”。“算术”的叫法，一直沿用到上个世纪末。我国从 11 世纪到 14 世纪，出现了一批著名的数学家和许多经典数学著作，如贾宪的黄帝九章算法细草，杨辉的详解九章算法、杨辉算法等。割圆术则是求 值的优秀算法。在国外，公元前 2100 年左右，美索不达米亚人已有了乘法表，其中有六十进制的算法。公元前 2000 年左右，古埃及已有将乘法简化为加法的算法。最近几个世纪，求定积分近似值的梯形法、求方程近似解的牛顿切线法等，都是学生进一步学习中要遇到的典型算法。其实算法对学生而言也并不陌生。小学的四则混合运算所遵循的先乘除、后加减的规则，括号的处理规则，都是学生最初接触到的算法
4、实例。初中学习的方程组的解法等，也是算法的典型体现。高中学习的求函数零点的二分法，更成了算法的精典。由此可见，算法的思想由来已久，只不过具体在计算机上实现是最近几十年的事情罢了。二、 算法中的数学思想算法虽然是必修 3 的内容，但是这一章和高中数学的其它内容有着密切的联系，其思想还应渗透到整个高中数学课程中。今年高一我们天津对教材的顺序进行了调整，这样当我们学到算法这一章时，已经完成了一、四、五三个模块的学习，函数和数列已经学完，在教学中，我们教师应该鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题，将前面学习到的内容应用到本章的教学中，体现算法是数学学科中的重要组成部分，算法思想是重要的数学思想。在中学
5、学习算法的主要目的，在于让学生了解算法所具有的一些特殊的思想方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力，并不要求学生系统地掌握所有内容。根据自己的教学体会，算法中的数学思想有以下几点：输出 yWF13.0是 否 2.0)5(13.0WF开 始输入 W ?5结束1、函数思想函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，现实世界中的许多关系是运用函数模型来刻画的，算法作为研究函数的工具，二者有着密切的联系。例如:算法的顺序结构：输入处理输出，和函数的定义：对任意一个 x,都有唯一的 y 与之对应。那么一个简单的函数关系y=2x+1：就可以用相应的顺序结构来写出算法:输入 x 的值求出y=2x+1输出 y 的值
6、。通过这样的一个例子，我们将函数和算法自然而然结合起来，既学习了顺序结构这一新知，又复习了函数的定义，使二者相符相成。当进入条件结构的教学时，我们自然而然地引导学生联想到分段函数。下面，我们来看一个实例： 铁路托运行李，从甲地到乙地，按规定每张车票托运行李不超过 50kg 时，每千克 0.13 元，如超过 50kg，超过的部分按每千克 0.20 元计算，如果行李重量为 W(kg),运费为 F（元） ，函数 模型为：请设计程序，输入行李的重量 W，输出运费 F.分析：运费 F 是行李重量 W 的分段函数，可以用条件结构的算法解决，框图如右： )50(2.0)5(13.05F通过上面的两个例子，我
7、们就会体会到顺序结构、条件结构和函数有着必然的联系，使我们更加体会到函数思想在高中数学中的重要，而新课程增加的算法内容所体现出的算法思想，已经完全融入到高中数学思想中。2、 迭代思想高中数学中的迭代思想，曾在数列部分充分体现。所谓迭代就是一个不断用新值取代变量的旧值或由旧值递推出变量的新值的过程。而在算法循环结构的教学中，应用循环结构和迭代思想，就可以解决数例求和、数列求积等问题。下面，我们看一个例子：计算 S=1+2+3+4+100, ,10321T 1032W框图如下：输出 S， T,Wii1i100？否是结束SSi,T=T*i iW开始i1S0,T=1,W=0分析：用迭代的思想方法来解决
8、如下：首先确定迭代变量的初始值:S=0,T=1,W=0,i=1,其次确定迭代公式：SSi, T=T*i , ,i=i+1,iW1其中 SSi, 是“累加器” ， T=T*i 是“累乘器” ， i=i+1 是“计iW1数器” ，利用迭代公式重复计算，迭代 100 次之后，即可求出 100 项的和或积。对于数列求和或求积问题，只需改变累加器或累乘器公式，其改变恰与数列的通项公式有关。比如求 只需将累加器改为159.07341S，判断框内条件需改为 i50?即可。本例充分体现了算法是解132iS决某一类问题的明确的、有序的、有限的步骤。另外，在教学中，同一算法稍加改造可以用来解决不同的问题，对算法的
9、优化或改造，是帮助学生理解算法的通用性、有效性的良好素材。对算法的优化或改造在算法的程序框图中进行，也有利于学生看清算法的结构和更好地把握算理。例如让学生改造求 S1+2+3+100 的值若推广为求 S=1+2+m，则只需在循环结构前给定变量 m 赋初始值，并将循环的终止条件改为“nm”即可；若求 S=3+5+（2m+1） ，则起始值变成了 3，终端数字变成了 2m+1，循环体也变为 S=S+（2i+1） ；若求2+22+23+2100，则只需将循环体变为“S=S+2 n”,这样的训练，容易触类旁通，大大激发学生学习的积极性，对学生创新意识的培养和创新能力的提高也具有很强的现实意义。3、 递推
10、思想在数列部分，我们曾经学习了一种描述一个数列的方法：递推公式法。所谓递推，就是已知第一个数，其后的每一个数都可利用递推公式ii1开始i3 21iiiA1,021A输出 ii100？否结束是21,出由前数推出，并且能够重复进行，因此这种算法可用循环结构来处理解决。例如：裴波那契数列表示这样一系列数：0，1，1，2，3，5，13，21，,后一项等于前两项的和，请设计一个算法框图，输出这个数列的前 100 项。分析：如果设 分别表示该数列中连续的三项，则有iiiA,12，由这个递推关系可知，只要已知这个数列的前两项，就可21iiiA以重复利用这个递推关系，将后面所有的项递推出来。因为算法中，反复计
11、算和输出的步骤是一样的，因此可以用循环结构来解决。框图如下：本题是先寻找出递推公式，也就是找出循环体，再确定计数器的初始值和终止值，由于递推公式重复运用才能由前项推得后项，因此用了循环结构来处理，如果我们再将上面的框图中插入累加器 ,就可以求得iAS数列的前 n 项和。4、枚举思想对于不定方程的整数解问题，经常出现在中学数学竞赛题中，而我们解决问题常用方法为枚举法。在算法中，枚举更是一种常用方法，即根据提出的问题，搜索出所有可能的结果，并对所得的结果逐一进行判断，用问题提出的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的，对需要的保留，不需要的剔除。在枚举法中尽管搜索的结果较多，搜索的过程较为复杂，但用
12、循环结构来描述算法，将会显得非常简单。张邱建算经是一本写于我国南北朝时期的数学书，距现在有 1500多年了。在张邱建算经中有一道著名的“百鸡问题” 。原题是：“今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。 ”译成现代语言是：“公鸡五文钱一只，母鸡三文钱一只，小鸡一文钱买三只。今想用一百文钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？”民间用“百鸡问题”编了一个故事流传至今。分析：设公鸡数为 x；母鸡数为 y；小鸡数为 z,则有 1035zyx算法：（1） x 从 0 到 20 依次一一取值；（2）对每一个固定的 x 值，y 都要从 0 到 33 依次
13、一一取一遍值；（3）对每一个固定的 x 值及每一个固定的 y 值，按公式 z=100-x-y 取得z 值；（4）做下列验证工作：（3）中所取的一组 x，y，z 是否满足条件,若满足，则输出这组解 x，y，z，然后转（2） ；否则直接105zyx转（2） 。（5）当 x 已取到 20，y 也取到 33 时整个任务就结束。框图如下： 是z=100-x-yx20? y0结束?1035zyx错误！未定义书签。 输出 x,y,zyy1y33? 错误！未定义书签。xx1是x否否是开始否本题是典型的不定方程的整数解问题，虽然应用了双重循环结构设计算法，但是学生们还是比较容易理解的，框图中的 x=x+1,y=
14、y+1 起到了逐个枚举的作用，从而我们可以推广为：凡是涉及到有关方程的整数解问题，或寻找规定范围内符合某些特殊条件的整数问题（比如求 1000 以内的素数） ，就可以应用类似的循环结构解决。总之，当符合问题的解可能的情况比较多，并且取值又有一定的规律性，用枚举法，通过算法的循环结构来描述显得非常简单。高中数学新课程标准指出：“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，”可以说，算法是体现这些要求的非常好的载体，算法内容的设置，为高中数学注入了新鲜的血液，同时也为广大数学教育工作者解放思想，摆脱陈旧观念的束缚，从而跟上时代步伐提出了新的要求。在高中数学其它模块的教学中我们应注意渗透算法思想，让学生逐步体会程序化解题的方法，为必修 3 的教学做好辅垫；在必修 3 中要鼓励学生尽可能运用算法知识解决接触过的相关的数学问题。总之，作为一个高中数学教师，应该努力适应新课程改革的要求，使算法思想和数学思想融为一体，从而体会出算法初步这一章的数学魅力。【参考文献】：1、 普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社2、 中学数学算法初步课程探究 许永忠 2006、10、13走进新课程，体会算法的数学魅力区县：大港区单位：天津市大港第一中学学科： 数学姓名：刘金明
