1、2009 年初中数学 竞赛选拔模拟试卷 （本卷满分： 150 分 测试时间： 120 分钟） 一、填空题 （每空 4 分，满分 48 分） 1因式分解 34 xx ； 2 a 、 b 为实数，且满足 b a 0, abba 422 ，则 ba ba 的值等于 ； 3观察下列各等式： 2111211 ， 3121321 ， 4131431 ， 根据你发现的规律，计算： 1323 1107 174 141 1 nn_；（ n 为正整数） 4已知在 坐标轴上有两点 A（ 3， 6），和 B（ 2， 2），试在 y轴上找一点 P，使 PA+PB最短，则点 P的坐标为 ； 5观察分析下列数据，寻找规律：
2、 已知一列实数、 5 、 3、 13 ，则第 n个数是 _； 6已知等式： bxaxxx 352 ，则 abba _； 7如图，在 ABCRt 中， D为斜边 AB上一点， AD 5， BD 4，四边形 CEDF为正方形，则图中阴影部分的面积为 ； 8如图，在 22 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ABC ，请你找出格纸中所有与ABC 成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有 个；（不包括 ABC 本身） 题 号 一 二 三 总分 （ 150分） 积分人 19 20 21 22 23 24 25 26 得 分 学校姓名考试编号第 7 题图 第 8 题图 9已知不等式组 0123 ax x无
3、解，则 a 的取值范围是 ； 10以 O为圆心的两个同心圆的半径分别为 223 cm和 223 cm， O1与这两个圆都相切，则 O1的半径是 ； 11若不论 x 取何值时，分式32 12 mxx总有意义，则 m 的取值范围是 _； 12如图所示，在 ABCRt 中，已知 90B ， 6AB ， 8BC ， FED , 分别是三边CABCAB , 上的点，则 FDEFDE 的最小值为 。 二选择题 （每小题 4分，满分 24分） 13若（ x 1） 2的算术平方根是 x 1，则 x的取值范围是（ ） A x 1 B x1 C x 1 D x1 14 已知 0nm 且 1 1 0 1m n n
4、m ，那么 ， m ， 1n ， 1n m 的大小关系是（ ） A 11m n nnm B 11m n nmn C 11n m nmn D 11m n nmn 15 下列五个命题： （ 1）若直角三角形的两条边长为 3 和 4， 则第三边长是 5； （ 2） 2a a（ a 0）； （ 3）若点 P（ a， b）在第三象限 ， 则点 P （ a， b 1）在第一象限； （ 4）顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形； （ 5）两边及 第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。 其中正确命题的个数是（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 16 已知 ABC 中
5、， E、 F 分别是 AB、 AC 上的点，且 EF BC，在 BC 边上取一点 D，连结 DE、DF，要使以 C、 F、 D 为顶点的三角形与 AEF 相似，还需添加一个条件，现给出下列结论 DF AB DE AC CD=EF CFD= AEF CFD= AFE ,其中能满足的条件有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 17已知抛物线 cbxxy 2 的系数满足 52 cb ，则这条抛物线一定经过点（ ) A )2,1( B )1,2( C )1,2( D )1,2( 18如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD的顶点 A、 C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依
6、逆时 针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 3倍，则它们第 2008次相遇在边（ ） A AD上 B DC上 C AB上 D BC上 三解答题 （ 19 21每 题满分 8分； 22 24每题满分 10分； 25、 26每题满分 12分） 19某仪器厂计划制造 A、 B两种型号的仪器共 80套，该公司所筹资金不少于 2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表： A B 成本（万元 /套） 25 28 售价（万元 /套） 30 34 （ 1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ （ 2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？ （ 3）根据市场
7、调查，每套 B型仪器的售价不会改变，每套 A型仪器的售价将会提高 a 万元（ a 0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？ 20 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢已知田忌的马较齐王的马略有逊色， 即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马 . 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图 2 的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛 .假如在不知道齐王出马顺序的情况下： （ 1） 请按如图的形式，列出所有 其他 可能的
8、情况； （ 2） 田忌能赢得比赛的概率是 _. 21 已知直线 11:n nl y xnn （ n 是正整数）。当 n=1 时，直线 1 : 2 1l y x 与 x 轴和 y 轴分别交于点 1A 和 1B ,设 11OBA (O 是平面直角坐标系的原点 )的面积为 1s ；当 n=2 时，直线2 31: 22l y x 与 x 轴和 y 轴分别交于点 2A 和 2B ，设 22OBA 的面积 为 2s ， ,依此类推 ,直线 nl 与 x 轴和 y 轴分别交于点 nnAB和 ,设 nnAOB 的面积为 nS . (1)求 11OBA 的面积 1s ； (2）求 2 0 0 8321 ssss
9、 的值 . 田 上 王 中 田 中 王 下 田 下 王 上 田 上 王 上 田 中 王 中 田 下 王 下 图 1 图 2 22（ 1） 如图 A、 B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧， A工厂至河堤的距离 AC为 1km， B工厂到河堤的距离 BD为 2km，经测量河堤上 C、 D两地间的距离为 6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使 A、 B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距 C地多远的地方？ （ 2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若4)9(1 22 xxy ，当 x为何值时， y的值最小，并求出这个最小值。 23如图：菱
10、形 ABCD是由 两个正三角形拼成的，点 P在 ABD内任一点，现把 BPD绕点 B旋转到 BQC的位置。则 （ 1）当四边形 BPDQ是平行四边形时，求 BPD； （ 2）当 PQD是等腰直角三角形时，求 BPD； （ 3）若 APB=1000,且 PQD是等腰三角形时 ,求 BPD。 A C B D 学校姓名考试编号24如图，在直角梯形 ABCD中。 AB CD， AB=12cm， CD=6cm， DA=3cm， D= A=90,点 P沿 AB边从点 A开始向点 B以 2cm s的速度移动；点 Q沿 DA边从点 D开始向点 A以 1cm s的速度移动，如果 P、 Q同时出发，用 t表示移动
11、的时间 (单位：秒 )，并且 0t3 (1)证明不论 t取何值，四边形 QAPC的面积是一个定值，并且求出这个定值； (2)请问是否存在这样的 t,使得 PCQ=90，若存在，求出 t的值，若不存在，请说明理由； (3)请你探究 PBC能否构成直角三角形 ?若能，求出 t的值；若不能，请说明理由 25如图，直线 3 xy 与 x 轴， y 轴分别相交于点 B、 C，经过 B、 C两点的抛物线 cbxaxy 2与 x 轴的另一交点为 A，顶点为 P，且对称轴是直线 2x （ 1）求该抛物线的函数表达式； （ 2）连结 AC请问在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 P， B， Q为顶点的三角形与
12、ABC 相似，若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理 由 26如图 ,已知等腰 AOBRt ，其中 090AOB ， 2OBOA ， E 、 F 为斜边 AB 上的两个动点（ E 比 F 更靠近 A），满足 045EOF 。 （ 1）求证： BEO AOF （ 2）求 BEAF 的值 . （ 3）作 OAEM 于 M ， OBFN 于 N ，求 ONOM 的值 . （ 4）求线段 EF 长的最小值 .(提示：必要时可以参考以下公式：当 0x ， 0y 时， xyyxyx 22 或211 2 xxxx ). 答案与评分标准 一填空题 1 22 xxx ； 2 33 ； 3 13nn； 4
13、（ 0，56）； 5 34 n 6319； 7 10； 8 2； 9 1a ； 10 5或 62 ； 11 m4； 12548； 二选择题 13 D 14 D 15 C 16 A 17 B 18 C 三解答题 19解：（ 1） 设 A种型号的仪器造 x套 ,则 B种型号的仪器造 (80-x)套 , 由题意得 : 20968028252090 xx 解之得 : 5048 x 所以 x=48、 49、 50 三种方案： 即： A型 48套， B型 32套； A型 49套， B型 31套； A型 50套， B型 30套。 3分 （ 2）该厂制造利润 W （万元）由题意知： xxxW 4 8 0806
14、5 所以当 x=48时， 432最大W （万元）， 即： A型 48套， B型 32套获得利润最大； 5分 （ 3）由题意知 xaxxaW 14808065 所以： 当 10 a 时， x=48， W 最大，即 A型 48套， B型 32套； 6分 当 1a 时， 01a 三种制造方案获得利润相等； 7分 当 1a 时， x=50， W 最大，即 A型 50套， B型 30套 8分 20 解： （ 1）其他可能的对阵形式有： 田上 王上 王中 王下 王下 田中 对 王下 王上 王上 王中 田下 王中 王下 王中 王上 （每写对一个得 1分）（ 4分） （ 2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌
15、赢得比赛的概率为 61 8分 21解： (1)当 n=1 时，直线 1 : 2 1l y x 与 x 轴和 y 轴的交点是 1A （ 21 ， 0）和 1B （ 0， 1） -1 分 所以 1OA =21, 1OB =1, 1s =41-3 分 (2) 当 n=2 时，直线2 31: 22l y x 与 x 轴和 y 轴的交点是 2A （ 31 ， 0）和 2B （ 0， 21 ） 所以 2OA =31, 2OB =21, 2s =213121 = )3121(21 -4 分 当 n=3 时，直线3134: 33 xyl与 x 轴和 y 轴的交点是 3A （ 41 ， 0）和 3B （ 0，
16、31 ） 所以 3OA =41 , 3OB =31 , 3s = 314121 = )4131(21 -5 分 依次类推， ns = )111(21 nn -6 分 2 0 0 8321 ssss = )2 0 0912 0 0814131312121(21 -7 分 2 0 0 8321 ssss = )200912121(21 = 2009200821 =20091004 -8 分 22 解：（ 1）延长 AC 到 E，使 CE=AC，连结 EB交 CD 于点 P，则点 P 就是污水处理厂所在的地方（画出图形）。 -2 分 设 CP=x ，则 DP=6-x 由点 A 与点 E 的对称性可知 APC= EPC 又由对顶角相等可知 B PD= EPC APC= BPD 又 ACP= BDP=90 ACP BDP -4 分 DPCPBDAC xx621 -5 分
