1、数学建模 微分方程模型,关晓飞同济大学数学科学学院,一、什么是微分方程？,最最简单的例子,引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。,解,因此，所求曲线的方程为,若设曲线方程为 ，,又因曲线满足条件,根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：,对（1）式两端积分得：,代入（3）得C1,回答什么是微分方程：,建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程,二、微分方程的解法,积分方法，分离变量法,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,典型例题,过定
2、点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,练 习 题,练习题答案,三、建立微分方程数学模型,1、简单的数学模型,2、复杂的数学模型,1、简单的数学模型,利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：,(1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；,(2) 求出微分方程的通解；,(3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解,实际问题需寻求某个变量y 随另一变量
3、t 的变化规律 ：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程,建立变量能满足的微分方程,？,哪一类问题,在工程实际问题中,“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.,关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及到导数.,建立方法常用微分方程,运用已知物理定律,利用平衡与增长式,运用微元法,应用分析法,机理分析法,建立微分方程模型时,应用已知物理定律，可事半功倍,一、运用已知物理定律,例1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道
4、，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t0时刻铀的含量为 ，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。,铀的衰变速度就是 对时间t的导数 ，,解,因此，,由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式：,对上式两端积分得：,是衰变系数,且初始条件,分离变量得,代入初始条件得,所以有，,这就是铀的衰变规律。,例2 一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？,一、运用已知物理定律,牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T
5、的变化速率正比于T与周围介质的温度差.,分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似.,建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，,“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”,翻译为,数学语言,建立微分方程,其中参数k 0，m=18. 求得一般解为,ln(Tm)=k t+c,代入条件: 求得c=42 ， , 最后得,T(t)=18+42 , t 0.,结果 ：T(10)=18+42 =25.870，,该物体温度降至300c 需要8.17分钟.,另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两
6、者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律,例3：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是100，空气的温度是20，经过20小时以后，瓶内水温降到60，求瓶内水温的变化规律,解,可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的,由题意，得,其中 k 是比例系数( k 0 ) ,由于是单调减少的，即,设瓶内水的温度 与时间之间的函数关系为 ，,则水的冷却速率为 ,(1),所以(1)式右边前面应加“负号”初始条件为,对(1)式分离变量，得,于是方程(1)的特解为,两边积分,得,即,
7、把初始条件 代入上式，求得 C = 80 ，,其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件 来确定，,即,解得,因此瓶内水温 与时间 的函数关系为,二. 利用平衡与增长式,许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.,利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系.,解,例1 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,
8、在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,二. 利用平衡与增长式,例2 简单人口增长模型,对某地区时刻 t 的人口总数N(t)，除考虑个体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响.,在很短的时间段t 内，关于N(t)变化的一个最简单的模型是：,t时间内的人口增长量=t内出生人口数t内死亡人口数,+ t内迁入人口数t内迁出人口数,t时间内的净改变量=t时间内输入量t时间内输出量,般化更一,基本模型,三. 微元法,基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.,例 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.
9、 试求放空容器所需要的时间.,对孔口的流速做两条假设 ：,1t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h(t).,2 整个放水过程无能量损失。,分析：,放空容器,？,容器内水的体积为零,容器内水的高度为零,模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即,S孔口横截面积（单位：平方厘米）,h(t) 水面高度（单位：厘米）,t时间（单位：秒）,当S=1平方厘米，有,h(t),h+h,r1,r2,水位降低体积变化,在t，t+t 内，水面高度 h(t) 降至h+h(h1/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,S
10、IR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s0T, c1(t)和 c2(t)按指数规律趋于零,3.口服或肌肉注射,相当于药物( 剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室,吸收室药量x0(t),参数估计,各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数k12, k21, k13, V1,V2,t=0快速静脉注射D0 ,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti),由较大的 用最小二乘法定A,由较小的 用最小二乘法定B,参数估计,过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系,人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。,
11、模型分析,分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。,设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。,问题,5 香烟过滤嘴的作用,模型假设,定性分析,1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0=M/l1,2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a:a, a+a=1,3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和,4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u,Q 吸一支烟毒物进入人体总量,模型建立,t=0, x=0，点燃香烟,q(x,t) 毒物流量,w(x,t) 毒物
12、密度,1) 求q(x,0)=q(x),t时刻，香烟燃至 x=ut,1) 求q(x,0)=q(x),2) 求q(l,t),3) 求w(ut,t),4) 计算 Q,结果分析,烟草为什么有作用?,1）Q与a,M成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量,2) 过滤嘴因素，, l2 负指数作用,是毒物集中在x=l1 处的吸入量,3）(r) 烟草的吸收作用,b, l1 线性作用,带过滤嘴,不带过滤嘴,结果分析,4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至 x=l1扔掉,提高 -b 与加长l2，效果相同,6 人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与
13、死亡，不计迁移,人口发展方程,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制 (t)不过高,7 烟雾的扩散与消失,现象和问题,炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。,不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。,建
14、立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。,问题分析,无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。,观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。,模型假设,1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。,2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。,3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。,模型建立,1）烟雾浓度 的变化规律,热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比,曲面积分的奥氏公式,1）烟雾浓度 的变化规律,初始条件,Q炮弹释放的烟雾总量,
15、单位强度的点源函数,对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC,仅当 t, 对任意点(x,y,z), C0,1）烟雾浓度 的变化规律,2）穿过烟雾光强的变化规律,光强的减少与烟雾浓度成正比,3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限,烟雾浓度连续变化,烟雾中光强连续变化,设光源在z=-, 仪器在z=,则观测到的明暗界限为,不透光区域边界,4）不透光区域边界的变化规律,对任意t, 不透光区域边界是圆周,不透光区域边界半径,结果分析,观测到不透光区域边界达到最大的时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻t2,5.8 万有引力定律的发现,背景,航海业发展,天文观测精确,“地心说”动摇,哥白尼：“日心说”,伽里略：落体运动,开普勒：行星运动三定律,变速运动的计算方法,牛顿：一切运动有力学原因,牛顿运动三定律,牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）,开普勒三定律,牛顿运动第二定律,万有引力定律,自然科学之数学原理(1687),模型假设,极坐标系 (r,),太阳 (0,0),1. 行星轨道,a长半轴, b短半轴, e离心率,3. 行星运行周期 T,行星位置：向径,2. 单位时间 扫过面积为常数 A,m 行星质量, 绝对常数,4. 行星运行受力,模型建立,向径 的基向量,模型建立,万有引力定律,需证明 4A2/p =kM（与哪一颗行星无关）,A单位时间 扫过面积,(习题),
