1、 第 1 页（共 18 页） 2018 年上海市青浦区高考数学一模试卷 一 .填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 . 1（ 4 分）设全集 U=Z，集合 M=1， 2， P= 2， 1， 0， 1， 2，则 P CUM 2（ 4 分）已知复数 （ i 为虚数单位），则 = 3（ 4 分）不等式 2 （ ） 3（ x 1） 的解集为 4（ 4 分）函数 f（ x） = sinxcosx+cos2x 的最大值为 5（ 4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以直
2、线 y= 2x 为渐近线，且经过椭圆 x2+ =1右顶点的双曲线的方程是 6（ 4 分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积为 7（ 5 分）设等差数列 an的公差 d 不为 0， a1=9d若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k= 8（ 5 分）已知（ 1+2x） 6 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 = 9（ 5 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于 4 的概率为 10（ 5 分） 已知函数 f（ x） = 有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是 11（ 5 分）已知 Sn 为数列 an的前 n 项和， a1=a2
3、=1，平面内三个不共线的向量 ， ，满足 =（ an 1+an+1） +（ 1 an） ， n 2， n N*，若 A， B， C 在同一直线上，则 S2018= 12（ 5 分）已知函数 f（ x） =m（ x m）（ x+m+2）和 g（ x） =3x 3 同时满足以第 2 页（共 18 页） 下两个条件： 对任意实数 x 都有 f（ x） 0 或 g（ x） 0； 总存在 x0 （ ， 2），使 f（ x0） g（ x0） 0 成立 则 m 的 取值范围是 二 .选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选
4、对得 5 分，否则一律得零分 . 13（ 5 分） “a b”是 “（ ） 2 ab”成立的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 14（ 5 分）已知函数 f（ x） =2sin（ x+ ），若对任意实数 x，都有 f（ x1） f（ x） f（ x2），则 |x2 x1|的最小值是（ ） A B 2 C 2 D 4 15（ 5 分）已知 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足： ， ，n N*，设 n 为 和 的夹角，则（ ） A n 随着 n 的增大而增大 B n 随着 n 的增大而减小 C随着 n 的增大， n 先增大后减小 D随着 n 的增大
5、， n 先减小后增大 16（ 5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知两圆 C1： x2+y2=12 和 C2： x2+y2=14，又点 A 坐标为（ 3， 1）， M、 N 是 C1 上的动点， Q 为 C2 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A 0 个 B 2 个 C 4 个 D无数个 三解答题（本大题满分 76 分） 本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 17（ 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD，第 3 页（共 18 页） PA=AD=2AB=2， E 是 PB 的
6、中点 （ 1）求三棱锥 P ABC 的体积； （ 2）求异面直线 EC 和 AD 所成的角（结果用反三角函数值表示） 18（ 14 分）已知抛物线 C： y2=2px 过点 P（ 1， 1）过点（ 0， ）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M， N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP、 ON 交于点A， B，其中 O 为原点 （ 1）求抛物线 C 的方程 ，并求其焦点坐标和准线方程； （ 2）求证： A 为线段 BM 的中点 19（ 14 分）如图，某大型厂区有三个值班室 A、 B、 C值班室 A 在值班室 B 的正北方向 2 千米处，值班室 C 在值班室 B 的正东方向 2
7、千米处 （ 1）保安甲沿 CA 从值班室出发行至点 P 处，此时 PC=1，求 PB 的距离； （ 2）保安甲沿 CA 从值班室 C 出发前往值班室 A，保安乙沿 AB 从值班室 A 出发前往值班室 B，甲乙同时出发，甲的速度为 1 千米 /小时，乙的速度为 2 千米 /小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为 3 千米（含3 千米），试问有多长时间两 人不能通话？ 20（ 16 分）设集合 A， B 均为实数集 R 的子集，记 A+B=a+b|a A， b B （ 1）已知 A=0， 1， 2， B= 1， 3，试用列举法表示 A+B； （ 2）设 a1= ，当 n N
8、*且 n 2 时，曲线 + = 的焦距为 an，如果 A=a1，第 4 页（共 18 页） a2， ， an， B= ， ， ，设 A+B 中的所有元素之和为 Sn，求 Sn 的值； （ 3）在（ 2）的条件下，对于满足 m+n=3k，且 m n 的任意正整数 m， n， k，不等式 Sm+Sn Sk 0 恒成立，求实数 的最大值 21（ 18 分）对于定义在 0， + ）上的函数 f（ x），若函数 y=f（ x）（ ax+b）满足： 在区间 0， + ）上单调递减， 存在常数 p，使其值域为（ 0， p，则称函数g（ x） =ax+b 是函数 f（ x）的 “逼进函数 ” （ 1）判断函数
9、 g（ x） =2x+5 是不是函数 f（ x） = ， x 0， + ）的 “逼进函数 ”； （ 2）求证：函数 g（ x） = x 不是函数 f（ x） =（ ） x， x 0， + ）的 “逼进函数 ” （ 3）若 g（ x） =ax 是函数 f（ x） =x+ ， x 0， + ）的 “逼进函数 ”，求 a的值 第 5 页（共 18 页） 2018 年上海市青浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一 .填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分 . 1
10、（ 4 分）设全集 U=Z，集合 M=1， 2， P= 2， 1， 0， 1， 2，则 P CUM 2， 1， 0 【解答】 解： CUM= 2， 1， 0，故 P CUM= 2， 1， 0 故答案为： 2， 1， 0 2（ 4 分）已知复数 （ i 为虚数单位），则 = 【解答】 解：复数 = = ， = ， = = = ， 故答案为 3（ 4 分）不等式 2 （ ） 3（ x 1） 的解集为 （ ， 2） （ 3， + ） 【解答】 解：不等式 2 （ ） 3（ x 1） 化为 2 23 3x， 即 x2 4x 3 3 3x， x2 x 6 0， 解得 x 2 或 x 3， 原不等式的解集
11、为（ ， 2） （ 3， + ） 第 6 页（共 18 页） 故答案为：（ ， 2） （ 3， + ） 4（ 4 分）函数 f（ x） = sinxcosx+cos2x 的最大值为 【解答】 解：函数 f（ x） = sinxcosx+cos2x = sin2x+ cos2x+ =sin（ 2x+ ） + ， 当 2x+ =2k+ ， k Z， 即 x=k+ ， k Z，函数取得最大值 1+ = ， 故答案为： 5（ 4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以直线 y= 2x 为渐近线，且经过椭圆 x2+ =1右顶点的双曲线的方程是 x2 =1 【解答】 解：设以直线 y= 2x 为渐近线的双曲
12、线的方程为 x2 =（ 0）， 双曲线椭圆 x2+ =1 右顶点（ 1， 0）， 1=， 双曲线方程为： x2 =1 故答案为： x2 =1 6（ 4 分）将圆锥的侧面展开后 得到一个半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积为 【解答】 解：设圆锥的底面半径为 r，则 2r=2， r=1 第 7 页（共 18 页） 圆锥的高 h= 圆锥的体积 V= = 故答案为： 7（ 5 分）设等差数列 an的公差 d 不为 0， a1=9d若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项，则 k= 4 【解答】 解：因为 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项， 则 ak2=a1a2k， 9d+（ k 1） d2=9
13、d9d+（ 2k 1） d， 又 d 0，则 k2 2k 8=0， k=4 或 k= 2（舍去） 故答案为： 4 8（ 5 分）已 知（ 1+2x） 6 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 = 12 【解答】 解：由题意可得 a= =20， 再根据 ， 解得 ， 即 r ， r=4，此时 b= 24=240； 第 8 页（共 18 页） = =12 故答案为： 12 9（ 5 分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于 4 的概率为 【解答】 解：同时掷两枚质地均匀的骰子， 基本事件总数 n=6 6=36， 两个点数之积小于 4 包含的基本事件（ a， b）有：
14、（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1），（ 1， 3），（ 3， 1），共 5 个， 两个 点数之积不小于 4 的概率为 p=1 = 故答案为： 10（ 5 分）已知函数 f（ x） = 有三个不同的零点，则实数 a的取值范围是 1， + ） 【解答】 解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分， 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为 x= ，最多两个零点， 如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与 x 轴相交， 由对数函数过点（ 1， 0），故需左移至少 1 个单位，故 a 1， 还需保证抛物线与 x 轴由两个交点，故最低点 0， 第 9 页（共
15、18 页） 解得 a 0 或 a ，综合可得： a 1， 故 答案为： 1， + ） 11（ 5 分）已知 Sn 为数列 an的前 n 项和， a1=a2=1，平面内三个不共线的向量 ， ，满足 =（ an 1+an+1） +（ 1 an） ， n 2， n N*，若 A， B， C 在同一直线上，则 S2018= 2 【解答】 解：若 A， B， C 三点共线，则 =x +（ 1 x） ， 根据条件 “平面内三个不共线的向量 ， ， ，满足 =（ an 1+an+1） +（ 1 an） ， n 2，n N*， A， B， C 在同一直线上， ” 得出 an 1+an+1+1 an=1， an
16、 1+an+1=an， Sn 为数列 an的前 n 项和， a1=a2=1， 数列 an为： 1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 1， 0， 1， 1， 0， 即数列 an是以 6 为周期的周期数列，前 6 项为 1， 1， 0， 1， 1， 0， 2018=6 336+2， S2018=336 （ 1+1+0 1 1+0） +1+1=2 故答案为： 2 12（ 5 分）已知函数 f（ x） =m（ x m）（ x+m+2）和 g（ x） =3x 3 同时满足以下两个条件： 对任意实数 x 都有 f（ x） 0 或 g（ x） 0； 总存在 x0 （ ， 2），使 f（ x0） g（ x
17、0） 0 成立 则 m 的取值范围是 （ 3， 2） 【解答】 解：对于 g（ x） =3x 3，当 x 1 时， g（ x） 0， 又 x R， f（ x） 0 或 g（ x） 0 f（ x） =m（ x m）（ x+m+2） 0 在 x 1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在（ 1， 0）的左面， 第 10 页（共 18 页） 即 ，可得 3 m 0 又 x （ ， 2）， f（ x） g（ x） 0 此时 g（ x） =3x 3 0 恒成立 f（ x） =m（ x m）（ x+m+2） 0 在 x （ ， 2）有成立的可能， 则只要 2 比 x1，
18、 x2 中的较小的根大即可， （ i）当 1 m 0 时，较小的根为 m 2， m 2 2 不成立， （ ii）当 m= 1 时，两个根同为 1 3，不成立， （ iii）当 3 m 1 时，较小的根为 m，即 m 2 成立 综上可得 成立时 3 m 2 故答案为：（ 3， 2） 二 .选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 . 13（ 5 分） “a b”是 “（ ） 2 ab”成立的（ ） A充分而不 必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】 解：由（ ） 2 ab 得 ab， 即 a2+2ab+b2 4ab， 则 a2 2ab+b2 0， 即（ a b） 2 0，则 a b， 则 “a b”是 “（ ） 2 ab”成立的充分不必要条件，
