1、 立体几何小练 1.已知二面角 -l-为 60o ，动点 P、 Q 分别在面、内， P 到的距离为 3 ， Q 到的距离为 23，则 P、 Q 两点之间距离的最小值为（ ） C (A) (B)2 (C) 23 (D)4 2. 如图，在半径为 3 的球面上有 CBA 、 三点， ABC =90， BCBA ,球心 O 到平面 ABC 的距离是 223 ，则 CB、 两点的球面距离是（ ） B A. 3B. C. 34D.2 3. 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱线 长为 1，线段 11BD 上有两个动点 E，F，且 22EF ，则下列结论中错误的是 （ ） A （ A）
2、 AC BE （ B） /EF ABCD平 面 （ C）三棱锥 A BEF 的体积为定值（ D）异面直线 ,AEBF 所成的角为定值 4. 在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，顶点 1B 到对角线 1BD 和到平面 11ABCD的距离分别为 h 和 d ，则下列命题中正确的是（ ） C A若侧棱的长小于底面的变长，则 hd 的取值范围为 (0,1) B若侧棱的长小于底面的变长，则 hd 的取值范围为 2 2 3( , )23 C若侧棱的长大于底面的变长，则 hd 的取值范围为 23( , 2)3 D若侧棱的长大于底面的变长，则 hd 的取值范围为 23( , )3 5. 设
3、 1 2 3 4 5, , , ,A A A A A是空间中给定的 5 个不同的点，则使 1 2 3 4 5 0M A M A M A M A M A 成 立的点M 的个数为 ( ) A 0 B 1 C 5 D 10 6. 如图，动点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的对角线 1BD 上过点 P 作垂直于平面 11BBDD 的直线，与正方体表面相交于 MN， 设 BP x ， MN y ，则函数 ()y f x 的图象大致是（ ） B 7. 如图， l A B A B ， ， ， ， ，到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB 与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在
4、， 内的射影分别是 m 和 n ，若 ab ，则（ ） D A mn， B mn， C mn， D mn， 8. 某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长 为 a 和 b的线段，则 a + b 的最大值为（ ） C A. 22 B. 32 C. 4 D. 52 9. 如图 1，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， EF， 分别是 1AB ， 1BC 的中点，则以下结论中 不成立 的是（ ） C A EF 与 1BB 垂直 B EF 与 BD 垂直 C EF 与 CD 异面 D EF
5、与 11AC 异面 10. 如图，正三棱柱 1 1 1ABC A BC 的各棱长都 2， E， F 分别是 11,ABAC 的中点，则 EF 的长是 ( ) C (A)2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 11. 将半径都为 1的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ ） C （ A） 3 623 （ B） 2+ 362 （ C） 4+ 362 （ D） 3 6234 12. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面为直角三角形， ACB 90， AC 6， BC CC1 2 ， P 是 BC1 上一动点，则 CP PA1 的最小值是 _ 52 1
6、3. 如图，在长方形 ABCD 中， 2AB ， 1BC ， E 为 DC 的中点， F 为线段 EC （端 点除外）上一动点现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD 平面 ABC 在平面 ABD 内过点 D 作 DK AB ， K 为垂足设 AK t ，则 t 的取值范围是 A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O A B C 1A1C1D1BDEF PC1B1A1CAB答案： 1,1214. 直三棱柱 1 1 1ABC A BC 的各顶点都在同一球面上，若 1 2A B A C A A , 120BAC ，则此球
7、的表面积等于 。 24 20R 15. 对于四面体 ABCD，下列命题正确的是 _ （写出所有正确命题的编号）。 1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面； 2 由顶点 A 作四面体的高，其垂足是 BCD 的三条高线的交点； 3 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高，则这两条高所在直线异面； 4 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点 ; 5 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 16. 已知正三棱 柱 1 1 1ABC A BC 的各条棱长都相等， M 是侧 棱 1CC 的中点，则异面直线 1AB BM和 所成的角的大小是 。 o90 17
8、. 在三棱锥 P ABC 中， 2AC BC， 90ACB， AP BP AB， PC AC （ ）求证： PC AB ； （ ）求二面角 B AP C的大小； （ ）求点 C 到平面 APB 的距离 18. 如图，正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 24AA AB，点 E 在 1CC 上且ECEC 31 （ ）证明： 1AC 平面 BED ； （ ）求二面角 1A DE B的正切值 19. 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中， PA 底面, , 6 0 , 9 0A B C P A A B A B C B C A ， 点 D ， E 分别在棱 ,PBPC 上，
9、且 /DE BC A B C D E A1 B1 C1 D1 A C B P （ ）求证： BC 平面 PAC ； （ ）当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； （ ）是否存在点 E 使得二面角 A DE P为直二面角？并说明理由 . （ ） PA底面 ABC， PA BC. 又 90BCA ， AC BC. BC平面 PAC. （ ） D 为 PB的中点， DE/BC， 12DE BC， 又由 （ ）知， BC平面 PAC， DE平面 PAC，垂足为点 E. DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， PA底面 ABC， PA AB，又 PA=AB， ABP
10、 为等腰直角三角形， 12AD AB， 在 Rt ABC 中， 60ABC ， 12BC AB . 在 Rt ADE 中， 2si n 24D E B CD A E A D A D ， AD 与平面 PAC 所成的角的大小 2arcsin 4 . （ ） AE/BC，又由 （ ）知， BC平面 PAC， DE平面 PAC， 又 AE 平面 PAC， PE 平面 PAC， DE AE， DE PE， AEP 为二面角 A DE P的平面角， PA底面 ABC， PA AC， 90PAC . 在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE PC，这时 90AEP ， 故存在 点 E 使得二面角 A DE
11、P是直二面角 . 20. 如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， 2AD 2DC SD，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60 （ I）证明： M 在侧棱 SC 的中点 （ II）求二面角 S AM B的大小。 （ I）解法一：作 MN SD 交 CD 于 N，作 NE AB 交 AB 于 E， 连 ME、 NB，则 MN 面 ABCD ， ME AB , 2NE AD 设 MN x ，则 NC EB x, 在 RT MEB 中， 60MBE 3ME x。 在 RT MNE 中由 2 2 2M E N E M N 2232xx 解得 1x ，从而
12、 12MN SD M 为侧棱 SC 的中点 M. 解法二 :过 M 作 CD 的平行线 . （ II）过 M 作 MJ CD 交 SD 于 J ,作 SH AJ 交 AJ 于H ,作 HK AM 交 AM 于 K ,则 JM CD , JM 面 SAD ,面SAD 面 MBA , SH 面 AMB SKH 即为所求二面角的补角 . 21. 在椎体 P-ABCD 中， ABCD 是边长为 1 的棱形， 且 DAB=60 ， 2PA PD,PB=2, E,F 分别是 BC,PC 的中点 （ 1） 证明： AD 平面 DEF; （ 2） 求二面角 P-AD-B 的余弦值 法一：（ 1）证明：取 AD
13、 中点 G，连接 PG， BG， BD。 因 PA=PD，有 PG AD ，在 ABD 中， 1 , 6 0A B A D D A B ，有 ABD 为等边三角形，因此 ,B G A D B G P G G ，所以 AD 平面 PBG ,.A D P B A D G B 又 PB/EF，得 AD EF ，而 DE/GB 得 AD DE，又 FE DE E，所以 AD 平面 DEF。 （ 2） ,P G A D B G A D， PGB 为二面角 P AD B 的平面角， 在 2 2 2 7, 4R t P A G P G P A A G 中 在 32Rt ABG 中 ,BG=AB sin60
14、= 2 2 273 42144c o s27 73222P G B G P BP G BP G B G 法二：（ 1）取 AD 中点为 G，因为 ,.P A P D P G A D 又 , 6 0 ,A B A D D A B A B D 为等边三角形，因此， BG AD ，从而 AD 平面 PBG。 延长 BG 到 O 且使得 PO OB，又 PO 平面 PBG， PO AD， ,AD OB G 所以 PO 平面 ABCD。 以 O 为坐标原点，菱形的边长为单 位长度，直线 OB， OP 分别为 x 轴， z 轴，平行于 AD 的直线为 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。 设 11( 0
15、, 0 , ) , ( , 0 , 0) , ( , , 0) , ( , , 0) .22P m G n A n D n则 3| | | | si n 60 2GB AB 3 3 3 1 3 1( , 0 , 0) , ( , 1 , 0) , ( , , 0) , ( , , ) .2 2 2 2 2 4 2 2nmB n C n E n F 由于33( 0 , 1 , 0) , ( , 0 , 0) , ( , 0 , )2 2 4 2nmA D D E F E 得 0 , 0 , , ,A D D E A D F E A D D E A D F E D E F E E AD平面 DEF
16、。 （ 2） 13( , , ) , ( , 0 , )22P A n m P B n m 2 2 2 21 3 32 , ( ) 2 , 1 , .4 2 2m n n m m n 解 之 得取平面 ABD 的法向量 1 (0,0, 1),n 设平面 PAD 的法向量 2 ( , , )n a b c 由 22330 , 0 , 0 , 0 ,2 2 2 2bbP A n a c P D n a c 得 由 得 取 2 3(1,0, ).2n 123212c os , .7714nn 22. 如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是矩形已知60,22,2,2,3 P A BPDPAADAB （）证明 AD 平面 PAB ； （）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小； （）求二面角 ABDP 的正弦值。
