1、 解答题重难点题型 (八 ) 第 23 题二次函数综合题 在平面直角坐标系中 ， 二次函数 y ax2 bx 2 的图象与 x 轴交于 A( 3， 0)， B(1， 0)两点 ， 与 y 轴交于点 C.点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点 ， 设点 P 的横坐标是 m. (1)求这个二次函数的解析式； (2)过点 P 作 PM x轴于点 M， 交 AC于点 Q， 求线段 PQ 的最大值； (3)在 (2)的条件下 ， 过点 P 作 PH AC 于点 H， 求 PHQ 周长的最大值； (4)是否存在点 P， 使 APC 的面积最大？若存在 ， 求出点 P 的坐标；若不存在 ， 说明理由；
2、(5)在平面直角坐标系中 ， 是否存在点 Q， 使 BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形？若存在 ， 写出点 Q 的坐标；若不存在 ， 说明理由； (6)点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点 ， 过点 Q 作 QE 垂直于 x 轴 ， 垂足为 E.是否存在点 Q， 使以点 B， Q， E为顶点的三角形与 AOC 相似？若存 在 ， 写出点 Q 的坐标；若不存在 ， 说明理由； (7)点 M 为抛物线上一动点 ， 在 x 轴上是否存在点 Q， 使以 A， C， M， Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在 ，写出点 Q 的坐标； 若不存在 ， 说明理由 (1)【思路点拨】 要求抛物线
3、y ax2 bx 2 的解析式 ， 该解析式中有两个未知数 ， 故需要知道经过该抛物线上的两个点的坐标 ， 结合题意 ， 点 A 和点 B 是该抛物线上两点 ， 将这两个点的坐标代入 ， 利用待定系数法可求得抛物线的解析式 【自主解答】 解： 抛物线 y ax2 bx 2 过点 A( 3， 0)， B(1， 0)， 9a 3b 2 0，a b 2 0. 解得 a 23，b 43. 二次函数的解析式为 y 23x2 43x 2. (2)【思路点拨】 设出点 P 的 坐标 ， 并用含有字母的代数 式表示出 PQ 的长度 ， 结合字母的取值范围 ， 求出 PQ 的最大值 【自主解答】 解：如图 1，
4、 由题知 ， C(0， 2)， A( 3， 0)， 图 1 可得直线 AC 的解析式为 y 23x 2. 设点 P(m， 23m2 43m 2) PQ x 轴 且点 Q 在直线 y 23x 2 上 ， Q(m， 23m 2) PQ ( 23m2 43m 2) (23m 2) 23m2 2m 23(m 32)2 32. 当 m 32时 ， PQ 取得最大值 ， 最大值为 32. (3)【思路点拨】 在 Rt PHQ 中 ， 将 PH， QH 的边长用 PQ 的长度表示出来 ， 从 而要求 PHQ 周长的最大值转化为即求 PQ 长度的最大值 【自主解答】 解：如图 2， 由题知 AO 3， CO
5、2， AC 13. 图 2 PH AC， PQ y 轴 ， QPH CAO. 则 sin QPH sin CAO COAC 2 1313 ， cos QPH cos CAO AOAC 3 1313 ， C PHQ PQ QH PH PQ PQsin QPH PQcos QPH (1 sin QPH cos QPH)PQ., 由 (2)知 ， PQ 23m2 2m， 则 C PHQ (1 sin QPH cos QPH)PQ (1 2 1313 3 1313 )( 23m2 2m) 13 5 1313 23（ m 32） 2 32 26 10 1339 (m 32)2 39 15 1326 .
6、26 10 1339 0， 当 x 58时 ， d 取最小值 ， 此时 P(58， 11964 ) (3)由题知抛物对称轴为直线 x 1， C(0， 1) 如图 ， 作点 C 关于直线 x 1 的对称点 C， 过点 C作 CF AB 于点 F.过点 F 作 JK x 轴 ， 分别过点 A， C 作 AJ JK于点 J， C K JK于点 K.则 C(2， 1) 此时 C， E， F 三点共线 ， CE EF CE EF 最小 设 F(m， 34m 3)， C F AB， AFJ CFK 90 . C K JK， C CFK 90 . C AFJ. 又 J K 90 ， AFJ FC K. AJ
7、FK FJCK.34m 32 m m 434m 2. 整理 ， 得 25m2 92m 32 0. 解得 m 825或 4(不符合题意 ， 舍去 ) F( 825， 8125) C (2， 1)， FC （ 2 825） 2（ 1 8125） 2 145 . CE EF 的最小值为 FC 145 . 类型 2 探究面积问题 4 (2017孝感 )在平面直角坐标系 xOy 中 ， 规定：抛物线 y a(x h)2 k 的伴随直线为 y a(x h) k.例如：抛物线y 2(x 1)2 3 的伴随 直线为 y 2(x 1) 3， 即 y 2x 1. (1)在上 面规定下 ， 抛物线 y (x 1)2
8、 4 的顶点坐标为 ( 1， 4)， 伴随直线为 y x 3， 抛物线 y (x 1)2 4 与其伴随直线的交点坐标为 (0， 3)和 ( 1， 4)； (2)如图 ， 顶点在第一象限的抛物线 y m(x 1)2 4m 与其伴随直线相交于点 A， B(点 A在点 B的左侧 )， 与 x 轴交于点 C， D. 若 CAB 90 ， 求 m 的值； 如果点 P(x， y)是直线 BC 上方抛物线上的一个动点 ， PBC 的面积记为 S， 当 S 取得最大值 274 时 ， 求 m 的 值 解： 抛物线解析式为 y m(x 1)2 4m， 其伴随直线为 y m(x 1) 4m， 即 y mx 5m.
9、 联立抛物线与伴随直线的解析式可得 y m（ x 1） 2 4m，y mx 5m， 解得 x 1，y 4m或 x 2，y 3m. A(1， 4m)， B(2， 3m) 在 y m(x 1)2 4m 中 ， 令 y 0 可得 x 1 或 x 3， C( 1， 0)， D(3， 0) AC2 4 16m2， AB2 1 m2， BC2 9 9m2. CAB 90 ， AC2 AB2 BC2， 即 4 16m2 1 m2 9 9m2， 解得 m 22 (不合题意 ， 舍去 )或 m 22 . 当 CAB 90 时 ， m 的值为 22 . 设直线 BC 的解析式为 y kx b. B(2， 3m)，
10、 C( 1， 0)， 2k b 3m， k b 0， 解得 k m，b m. 直线 BC 的解析式为 y mx m. 过 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 Q. 点 P 的横坐标为 x， P(x， m(x 1)2 4m)， Q(x， mx m) P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点 ， PQ m(x 1)2 4m mx m m(x2 x 2) m(x 12)2 94 S PBC 12 2 ( 1)PQ 32m(x 12)2 278 m. 抛物线开口向下 ， m0. 32m0. 当 x 12时 ， PBC 的面积最大为 278 m. S 取最大值 274 时 ， 即 278 m 274 ，
11、 解得 m 2. 5 (2012河南 )如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 直线 y 12x 1 与抛物线 y ax2 bx 3 交于 A， B两点 ， 点 A在 x 轴上 ， 点 B的纵坐标为 3.点 P 是直线 AB下方的抛物线上一动点 (不与 A， B重合 )， 过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C， 作 PD AB 于点 D. (1)求 a， b 及 sin ACP 的值； (2)设点 P 的横坐标为 m. 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长 ， 并求出线段 PD 长的最大值； 连接 PB， 线段 PC 把 PDB 分成两个三角形 ， 是否存在适合的 m 值 ， 使这两个三
12、角形的面积之比为 9 10？若存在 ， 直接写出 m 值；若不存在 ， 说明理由 解： (1)由 12x 1 0， 得 x 2， A( 2， 0) 由 12x 1 3， 得 x 4， B(4， 3) y ax2 bx 3 经过 A， B两点 ， （ 2） 2 a 2b 3 0，42 a 4b 3 3. a 12，b 12.设直线 AB 与 y 轴交于点 E， 令 x 0， 得 y 1， E(0， 1) OE 1.由题知 OA 2， AE 5. PC y 轴 ， ACP AEO. sin ACP sin AEO OAAE 25 2 55 . (2) 由 (1)知 ， 抛物线的解析式为 y 12x2 12x 3. P(m， 12m2 12m 3)， C(m， 12m 1)， PC 12m 1 (12m2 12m 3) 12m2 m 4. 在 Rt PCD 中 ， PD PCsin ACP ( 12m2 m 4) 2 55 55 (m 1)2 9 55 . 55 0， 当 m 1 时 ， PD 有最大值 9 55 . 存在满足条件的 m 值 m 52或 329 . 提示：如图 ， 分别过点 D， B作 DF PC， BG PC， 垂足分别为 F， G.
