1、1 第 26 章 二次函数 教案 26.1 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 第一课时 y=ax2 的图象与性质 第二课 时 y ax2 bx c 的图象与性质 第三课时 二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质 第四课时 二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质 第五课时 二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质 第六课时 二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质 第七课时 求二次函数的函数关系式 第八课时 求二次函数的函数关系式 (二 ) 26.3 实践与探索 26.3 实践与探索 2 课序 01 课题 26.1 二次函数 教学目标 1、 认 识二次函数，知道二次函
2、数自变量的取值范围，并能 熟练地列出二次函数关系式。 2、 通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系和求 自变量的取值范围。 重点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 难点： 熟练地列出二次函数关系式。 教学过程： 一、情景创设 1什么叫函数？它有几种表示方法？ 2什么叫一次函数？自变量是什么？常量是什么？为什么要有 k 0的条件？ k 值对函数性质有什么影响？ 二、实践与探索 函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数 ，反比例函数和一次函数看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系 问题 1 ：用周长为 20m的围栏材料
3、，一面靠墙，围成一个矩形花圃，怎样围才能使花圃的面积最大？ 问题 2 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10元出售，一天可售出 100件，该店想通过降低售价、增加销售量 的办法来提高 利润 。经市场调查，发现这种商品每件降价 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件， 将这种商品的售价降低多少元时，其每天的销售利润最大？ 三、 分析： 问题 1.提出问题： (1)完成下表， 从所填表格中，你能发现什么？ (2)对前面提出的 问题的解答能作出什么猜想 ? (3)当 AB=xm 时， BC 长等于多少 m? 面积 y等于多少 ? X的取值有没有要求？ 问题 2： 分析： 1商品的利润与售
4、价、进价以及销售量之间有什么关系 ? 3 2如果不降低售价，该商品每件利润是多少元 ?一天总的利润是多少元 ? 3若每件商品降价 x 元，则每件商品的利润是多少元 ?一天可销售约多少件商品 ? 4 x 的值是否可以任意取 ?如果不能任意取，请求出它的范围， 5若设该商品每天的利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。 四、 观察；概括 1.教师引 导学生观察函数关系式 (1)和 (2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式 (1)和 (2)的自变量各有几个 ? (2)多项式 2x2 20 和 100x2 100x 200 分别是几次多项式 ? (3)函数关系式 (1)和 (2)有
5、什么共同特点 ? 概括： 二次函数定义：形如 y=ax2 bx c (a、 b、 c 是常数， a 0)的函数叫做 x 的二次 函数， a 叫做二次函数的系数， b 叫做一次项的系数， c 叫作常数项 五、巩固新课 1 、 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出 a、 b、 c (1)y=1-3x2； (2)y=x(x-5)； (3)y=3x(2-x) 3x2； (4)y (x 2)(2-x)； 2、 正方形的边长是 x，面积 y 与边长 x 之间的函数关系如何表示？ 3、 农机厂第一个月水泵的产量为 50(台 )第三个月的产量 y(台 )与月平均增长率x 之间的函数关系如何表
6、示？ 4、 m取 何值 时，函数 )1()( 22 mmxxmmy 是以 x为自变量的二次函数？ 六、 小结、 作业 作业优化设计 1下列函数中，哪些是二次函数 ? (1)y=3x4 x2 1 (2)y= 1x2 x 1 (3)y=3x2 4x (4)y=15x2 13x 12 (5)y=(x 3)2 x2 (6)y=3(x 1)2 1 2.y ax2 bx c(其中 a、 b、 c 为常数 )为二次函数的条件是 ( ) A b 0 B c 0 C a 0， b 0， c 0 D.a 0 3.在半径为 5cm的圆面上从中挖去一个半径为 xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为 ycm2，求 y 与
7、x 的函数关系式 4边长为 4 的正方形中间挖去一个边长为 xm 的小正方形，剩下的四方框形的面积为 ym2，求 y 与 x 的函数关系式。 5巳知矩形的周长为 80cm，设它的一边为 xcm，那么矩形的面积 Scm2与 x 之间的函数关系式是什么？ 27.2 二次函数的图象与性质 4 课序： 02 课题：二次函数 y=ax2 的图象与性质 教学目标 1、 使学生会用描点法画出 y=ax2 的图象，理解抛物线的有关概念。 2、 使学生经历、探索二次函数 y=ax2 图象性质的过程。 3、 培养学生观察、思考、归纳的良好思维 习惯。 教学 重点： 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函
8、数 y=ax2的图象 教学 难点： 用描点法画出二次函数 y=ax2的图象以及探索二次函数性质。 教学方法：探究、归纳、类比 教学过程： （一）、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的 ? 2我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢 ? 如果可以，应先研究什么 ? 3一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么 ? （二）、范例 例 1、画二次函数 y=x2的图象。 解： (1)列表：在 x的取值范围内列出函 数对应值表： x 3 2 1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中
9、描点 (3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数 y=x2的图象，如图所示。 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点 ? 概括：二次函数的图象 ：像这样的曲线通常叫做抛物线。 顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点 （三）、做一做 1在同一直角坐标系中，画出函数 y=x2与 y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别 ? 2在同一直角坐标系中，画出函数 y=2x2与 y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么 ? 3将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么 ? 5 (四 )、归纳、概括 函数 y x2、 y=-x2、 y=2x2
10、、 y=-2x2是函数 y=ax2的特例， 由函数 y x2、 y=-x2、 y 2x2、 y=-2x2的图象的共同特点，可猜想： 函数 y=ax2的图象是一条 _，它关于 _对称，它的顶点坐 标是 _。 如果要更细致地研究函数 y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么 ? 1、 让学生观察 y x2、 y 2x2的图象，填空； 当 a0 时，抛物线 y=ax2开口 _，在对称轴的左边，曲线自左向右 _；在对称轴的右边，曲线自左向右 _， _是抛物线上位置最低的点。 其次，让学生填空。 当 XO 时，函数值 y随 X 的增大而 _；当 X _时，函数值 y=ax2 (a0)取得最小值，最
11、小值 y=_ 以上结论就是当 a0 时，函数 y=ax2的性质。 2、 观察函数 y -x2、 y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当 aO 时，函数值 y随 x的增大而 ，当 x=0 时，函数值 y ax2取得最大值，最大值是 y 0。 六、 小结 、 作业 ： 6 课序： 03 课题：二次函数 y ax2 bx c的图象与性质 教学目标 ： 1、 使学生能利用描点法正确作出函数 y ax2 b 的图象。 2、 让学生经历二次函数 y ax2 bx c性质探究的过程， 理解二次函数 y ax2 b 的性质及它与函数 y ax2的关系。 教学 重点： 会用描点法画出二次函数 y ax2 b
12、的图象，理解二次函数 y ax2 b 的性质，理解函数 y ax2 b与函数 y ax2的相互关系 教学 难点： 正确理解二次函数 y ax2 b 的性质，理解抛物线 y ax2 b与抛物线 yax2 的关系 教学方法：探究，类比、 归纳 教学过程： （一）、提出问题 1二次函数 y 2x2的图象是 _，它的开口向 _，顶点坐标是 _；对称轴是 _，在对称轴的左侧， y随 x的增大而 _，在对称轴的右侧，y 随 x的增大而 _，函数 y ax2与 x _时，取最 _值，其最 _值是 _。 2二次函数 y 2x2 1 的图象与二次函数 y 2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同 ? （二
13、）、分析问题，解决问题 问题 1：对于前面提出的第 2 个问题，你将采取什么方法加以研究 ? 问题 2： 你能在同一直角坐标系中，画出函数 y 2x2 与 y 2x2 1 的图象吗 ? 问题 3：当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系 ? 反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ? 问题 4：函数 y 2x2 1 和 y 2x2的图象有什么联系 ? 问题 5：现在你能回答前面提出的第 2 个问题了吗 ? 问题 6：你能由函数 y 2x2的性质，得到函数 y 2x2 1 的一些性质吗 ? 问题 7： 完成填空： 当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x
14、_时，函数值 y 随 x的增大而增大，当 x_时，函数取得最 _值，最 _值 y _ 7 问题 8： 你能说出函数 y 2x2 2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗 ? 三，课堂练习巩固： 四、小结与 作业 作业优化设计 1 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象， y 12x2， y 12x2 2， y 12x2 2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 你能说出抛物 线 y 12x2 k 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗 ? 2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y 12x2得到抛 物线 y 12x2 2
15、 和 y 12x2 2? 3 一条抛物线的开口方向、对称轴与 221xy 相同，顶点纵坐标是 -2， 且抛物线经过点（ 1， 1），求这条抛物线的函数关系式 4试说出函数 y 12x2， y 12x2 2， y 12x2 2 的图象所具有的共同性质。 8 二次函数 y ax2 bx c 的图象与性质 一、教学目标 知识与技能： 使学生能利用描点法画出二次函数 y a(x h)2 的图象。 过程与方法： 让学生经历二次函数 y a(x h)2 性质探究的过程，理解函数 y a(xh)2 的性质，理解二次函数 y a(x h)2 的图象与二次函数 y ax2 的图象的关系。 情感态度与价值观： 培
16、养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 。 二、重点： 会用描点法画出二次函数 y a(x h)2的 图象，理解二次函数 y a(x h)2 的性质，理解二次函数 y a(x h)2 的图象与二次函数 y ax2 的图象的关系 三、难点： 理解二次函数 y a(x h)2的性质，理解二次函数 y a(x h)2的图象与二次函数 yax2 的图象的相互关系 四、教具准备： 投影仪、幻灯片、课外资料。 五、教学过程： 一、 分析问题，解决问题 问题 1：你将用什么方法来研究上面提出的问题 ? (画出二次函数 y 2(x 1)2 和二次函数 y 2x2 的图象，并加以观察 ) 问题 2：你能在同一直角
17、坐标系中，画出二次函数 y 2x2 与 y 2(x 1)2 的图象吗 ? 教学要点 1让学生完成下表填空。 x 3 2 1 0 1 2 3 y 2x2 y 2(x 1)2 2让学生在图 (1)的直角坐标系中画出图来： 3教师巡视、指导。 问题 3：现在你能回答前面提出的问题吗 ? 教学要点 1教师引导学生观察画出的两个函数图象根据所画出的图象，完成以下填空： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y 2x2 y 2(x 1)2 2让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表 发表意见，达成共识：函数 y 2(x 1)2与 y 2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数 y 2(x 一 1)2的图象
18、可以看作是函数 y 2x2的图象向右平移 1 个单位得到的，它的对称轴是直线 x 1，顶点坐标是(1， 0)。 9 问题 4：你可以由函数 y 2x2 的性质，得到函数 y 2(x 1)2 的性质吗 ? 三、做一做 问题 5：你能在同一直角坐标系中画出函数 y 2(x 1)2与函数 y 2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗 ? 问题 6；你能由函数 y 2x2 的性质，得到函数 y 2(x 1)2 的性质吗 ? 问题 7：在同一直角坐标系中，函数 y 13(x 2)2的图象与函数 y 13x2 的图象有什么关系 ? 问题 8：你能说出函数 y 13(x 2)2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐
19、标吗 ? 问题 9：你能得到函数 y 13(x 2)2 的性质吗 ? 教学要点 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当 x 2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大； 当 x 2 时，函数值 y 随工的增大而减小；当 x 2 时，函数取得 最大值，最大值 y 0。 六、作业 七、板书设计： 八、小结： 作业优化设计 1在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y 4x2 与 y 4(x 3)2 (2)y 12(x 1)2 与 y 12(x 1)2 2已知函数 y 14x2， y 14(x 2)2 和 y 14(x 2)2。 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象； (2)分
20、别 说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数 y 1/4x2 的图象得到函数 y 14(x2)2 和函数 y 14(x 2)2 的图象 ? (4)分别说出各个函数的性质。 3已知函数 y 4x2， y 4(x 1)2 和 y 4(x 1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数 y 4x2 的 图象得到函数 y 4(x 1)2和函数y 4(x 1)2 的图象， (4)分别说出各个函数的性质 4二次函数 y a(x h)2 的最大值或最
21、小值与二次函数图象的顶点有什么关系 ? 10 第四课时 二次函数 y ax2 bx c的图象与性质 一、教学目标 知识与技能： 使学生理解函数 y=a(x h)2 k 的图象与函数 y=ax2的图象之间的关系。会确定函数 y=a(x h)2 k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 过程与方法： 让学生经历函数 y=a(x h)2 k 性质的探索过程，理解函数 y=a(x h)2 k 的性质。 情感态度与价值观： 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯 。 二、重点： 确定函数 y=a(x h)2 k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数 y=a(x h)2 k 的图象与函数 y=ax
22、2 的图象之间的关系，理解函数 y=a(x h)2 k 的性质 三、难点： 正确理解函数 y=a(x h)2 k 的图象与函数 y=ax2的图象之间的关系以及函数 y=a(xh)2 k 的性质 四、教具准备： 投影仪、幻灯片、课外资料。 五、教学过程： （一）、提出问题 1函数 y=2x2 1 的图象与函数 y=2x2 的图象有 什么关系 ? (函数 y=2x2 1 的图象可以看成是将函数 y=2x2 的图象向上平移一个单位得到的，见 P7图 26.2.2) 2函数 y=2(x 1)2 的图象与函数 y=2x2 的图象有什么关系 ? (函数 y=2(x 1)2的图象可以看成是将函数 y=2x2
23、的图象向右平移 1 个单位得到的，见P10 图 26.2.3) 3函数 y=2(x 1)2 1 的图象与函数 y=2(x 1)2的图象有什么关系 ?函数 y=2(x 1)2 1 有哪些性质 ? （二）、试一试 你能填写下表吗 ? y=2x2 向右平移 的图象 1 个单位 y=2(x 1)2 向上平移 1 个单位 y=2(x 1)2 1 的图象 开口方向 向上 对称轴 y 轴 顶 点 (0， 0) 问题 2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x 1)2 1 与函数 y=2(x 1)2、 y=2x2的图象的关系吗 ? 问题 3：你能发现函数 y=2(x 1)2 1 有哪些性质 ? 对于问题 2 和问题 3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；
