南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和.doc

1、南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 49 页 应用 专题 9： 等差数列、等比数列、数列通项、求和 问题 归类 篇 类型一 ： 等差、等比数列 的 基本 运算 一、前测回顾 1 已知 an是等差数列 ， 若 2a7 a5 3 0， 则 a9 _ 答案 ： 3 解析 ： 方法一 ： 设公差为 d， 则 2(a1 6d) (a1 4d) 3 0， 即 a1 8d 3， 所以 a9 3 方法二 ： 由等差数列的性质得 a5 a9 2a7， 所以 (a5 a9) a5 3 0， 即 a9 3 2 (2016江苏卷 )已知 an是等差数列， Sn 是其前 n 项和 .若 a

2、1 a22 3， S5 10，则 a9 的值是 _. 答案 ： 20 解析 ： 设等差数列 an公差为 d，由题意可得 ：a1（ a1 d） 2 3，5a1 542 d 10， 解得 a1 4，d 3， 则 a9 a1 8d 4 83 20. 3已知 an为等比数列， a4 a7 2， a5a6 8，则 a1 a10 _ 答案 ： 7 解析 ： 设数列 an的公比为 q，由 a4 a7 2，a5a6 a4a7 8 得 a4 4，a7 2 或 a4 2，a7 4， 所以 a1 8，q3 12 或 a1 1，q3 2， 所以 a1 8，a10 1 或 a1 1，a10 8， 所以 a1 a10 7

3、. 4 已知数列 an是等比数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1 a2 a3 4， a4 a5 a6 8，则 S12 _. 答案 ： 60 解析 ： 方法一 ： 设 等比 数列 an公比 为 q，由题意可得 q1，则 由3161(1 =41(1 =4+81aqqaqq ） 得13412aqq ，所以 S12 a1 (1 q12)1 q 60. 方法二 ： 由等比数列的性质可知，数列 S3， S6 S3， S9 S6， S12 S9 是等比数列，即数列 4， 8，S9 S6， S12 S9 是等比数列，所以 S9 S6 16， S12 S9 32，所以 S12 (S12 S9) (S9 S6

4、) (S6 S3) S3 32 16 8 4 60. 5 若等差数列 an满足 a7 a8 a9 0， a7 a10 0，则当 n _时， an的前 n 项和最大 . 答案 ： 8 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 49 页 解析 ： 根据题意知 a7 a8 a9 3a8 0，即 a8 0.又 a8 a9 a7 a10 0， 所以 a9 0， 所以 当 n 8 时，an的前 n 项和最大 . 二、方法联想 1 基本量运算 等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 求

5、解涉及等差、等比数列的运算 问题时，通常会 抓住 a1、 d(或 q)， 列出方程 、不等式 或方程组求解 ，这样做的好处 是思路简洁，目标明确 ，但有时运算量比较大 为了减少运算量，我们要掌握一些运算技巧，例如“设而不求，整体代入 ” 2 性质的应用 用好等差、等比数列的性质也能减少运算量 方法 (1)在等差数列 an中 ， 若 m n p q 则 am an ap aq 特别若 m n 2p， 则 am an 2ap 在等比数列 an中 ， 若 m n p q 则 aman apaq 特别若 m n 2p， 则 aman ap2 (2) 在等差数列 an中 ， 由 Sn n(a1 an)2

6、 得 ， 若 n 为奇数 ， 则 S2n 1 (2n 1)an 方法 在等差数列 an中 ， Sn， S2n Sn， S3n S2n 成等差数列 在等比数列 an中 ， 一般情况下 Sn， S2n Sn， S3n S2n 成等比 数列 3 等差数列 Sn的最值问题 方法 在等差数列 an 中 Sn 的最值问题 ： 方法 1： (1)当 a1 0， d 0 时 ， 满足 am 0，am 1 0的项数 m 使得 Sm 取最大值 . (2)当 a1 0， d 0 时 ， 满足 am 0，am 1 0的项数 m 使得 Sm 取最小值 ， 方法 2：由 Sn 的解析式 ， 结合二次函数图象分析 三、归类

7、巩固 *1 (2014江 苏卷 )在各项均为正数的等比数列 an中，若 a2 1， a8 a6 2a4，则 a6 的值是 _ (等比数列基本量计算 ) 答案 ： 4 *2 (2017江苏高考 )等比数列 an的各项均为实数，其前 n项和为 Sn.已知 S3 74， S6 634 ，则 a8 _. (等比数列基本量计算 ) 答案 ： 32 *3 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 S10 0， S15 25，则 Sn 的最小值为 _ (等差数列前 n 项和的最值 ) 答案 ： 253 解析： 方法一： 设等差数列 an的公差为 d，由已知S10 10a1 1092 d 0，S15 15a

8、1 15142 d 25，解得 a1 3， d 23. 所以 Sn na1 n（ n 1）2 d 3n n（ n 1）2 23 n23 103 n13(n 5)2 253 .当 n 5 时， Sn 有最小值为 253 . 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 49 页 方法二：设 Sn An(n 10)，由 S15 25， 得 A 13 所以 当 n 5 时， Sn 有最小值为 253 . *4 设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm 1 5， Sm 11， Sm 1 21，则 m 等于 _ (等比数列基本量计算 ) 答案 ： 5 *5 在等差数列 an中

9、， a1 2 015，其前 n 项和为 Sn，若 S1212 S1010 2，则 S2015 的值为 _. (等差数列基本量计算 ) 答案 ： 2015 解析：根据等差数列的性质，得数列 Snn 也是等差数列，由已知可得 S11 a1 2 015，由 S1212 S1010 2 2d，得公差 d 1.故 S2 0152015 2 015 (2 015 1)1 1， 所以 S2 015 2015. *6 在等差数列 an中， a5 3， a6 2，则 a3 a4 a8 _ (等差数列基本量计算 ) 答案 ： 3 *7.在等差数列 an中，已知 a4 a8 16，则该数列前 11 项和 S11 _

10、 (等差数列基本量计算 ) 答案 ： 88 *8 若 an是等差数列，首项 a10， a2 016 a2 0170， a2 016a2 0170 成立的最大正整数 n 是 _ (等差数列前 n 项和的最值 ) 答案 ： 4 032 解析： 因为 a1 0， a2 016 a2 017 0， a2 016a2 017 0，所以 d 0， a2016 0， a2017 0，所以 S4 0324 032(a1 a4 032)2 4 032(a2 016 a2 017)2 0， S4 0334 033(a1 a4 033)2 4033a2 017 0，所以使前 n 项和 Sn 0 成立的最大正整数 n

11、 是 4 032 *9已知等差数列 an中， a1 1，前 10 项和等于前 5 项和，若 am a6 0，则 m _. (等差数列基本量计算 ) 答案： 10 解析 ： 记数列 an的前 n 项和为 Sn，由题意 S10 S5，所以 S10 S5 a6 a7 a8 a9 a10 0，又 a6a10 a7 a9 2a8，于是 a8 0，又 am a6 0，所以 m 6 28，解得 m 10. *10.设数列 an 是等差数列，数列 bn 是等比数列，记数列 an ， bn 的前 n 项和分别为 Sn， Tn.若a5 b5， a6 b6，且 S7 S5 4(T6 T4)，则 a7 a5b7 b5

12、 _. (等差、等比数列 混合 ) 答案： 513 解析 ： 设等差数列 an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q.由 a5 b5， a6 b6，且 S7 S5 4(T6 T4)， 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 49 页 得 a5 b5，a5 d b5q，2a5 3d 4(b5 b5q)，解得 q 5，d 6a5. 故a7 a5b7 b52a5 2db5q2 b52a5 2( 6a5)25a5 a5 10a526a5 513. *11设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S1 13a2 13， S2 13a3 13，则公比 q _. (等比数

13、列基本量计算 ) 答案 ： 4 *12已知等比数列 an的各项都为正数，且 a3， 12a5， a4 成等差数列，则 a3 a5a4 a6的值是 _ (等差、等比 数列混合 ) 答案 ： 5 12 *13设等比数列 an满足 a1 a3 10， a2 a4 5，则 a1a2 an 的最大值为 _ (等比数列前 n 项积的最值 ) 答案： 64 解析 ： 设等比数列 an的公比为 q，则由 a1 a3 10， a2 a4 q(a1 a3) 5，知 q 12.又 a1 a1q2 10，所以 a1 8.故 a1a2 an an1q1 2 (n 1) 23n 12 (n 1)n2 23n n22 n2

14、 2n2272n. 记 t n22 7n2 12(n2 7n) 12 n 722 498 ， 结合 n N*可知 n 3 或 4 时 ， t 有最大值 6. 又 y 2t 为增函数，从而 a1a2 an 的最大值为 26 64. *14 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，若 SnS2n n 14n 2，则 a3a5 _. (等差数列基本量计算 ) 答案： 35 解析 ： 因为 SnS2n n 14n 2，所以令 n 1 可得， S1S2 26 13，即 a12a1 d 13，化简可得 d a1，所以 a3a5 a1 2da1 4d 3a15a1 35 *15设等比数列 an的前 n 项和为

15、 Sn，若 S3， S9， S6 成等差数列，且 a2 a5 4，则 a8 的值为 _ (等差、等比数列混合 ) 答案 ： 2 *16设公差为 d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 1， 217 d 19，则当 Sn 取最 大值时， n 的值为 _ (等差数列前 n 项和的最值 ) 答案： 9 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 5 页 共 49 页 解析 ： 法一 ： 因为 Sn n n(n 1)2 d， 所以 Sn d2n2 1 d2 n. 因为 函数 y d2x2 1 d2 x 的图象的对称轴方程为 x 1d 12，且开口向下，又 217 d 19， 所

16、以 9 1d 12 192 .所以 Sn 取最大值时， n 的值为 9. 法二 ： 由 an a1 (n 1)d 1 (n 1)d 0，得 n 1 1 d. 因为 19 d 217， 所以 172 1 d 9.又 n N*， 所以 n 18，即 n9.故 S9 最大 *17已知 an为等差 数列，若 a11a10 1，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最小正值时，n _. (等差数列前 n 项和的最值 ) 答案： 19 解析 ： 由 a11a10 1，得 a11 a10a10 0，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，则 a10 0， a11 0， a11 a10 0，则S1

17、9 0， S20 0，那么当 Sn 取得最小正值时， n 19. *18设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和， S10 16， S100 S90 24，则 S100 _. (等差数列基本量计算 ) 答案 ： 200 *19在等差数列 an中，若任意两个不等的正整数 k， p 都有 ak 2p 1， ap 2k 1，数列 an的前n 项和记为 Sn.若 k p m，则 Sm _.(用 m 表示 ) (等差数列基本量计算 ) 答案： m2 解析 ： 设数列 an的公差为 d，由题意， a1 (k 1)d 2p 1， a1 (p 1)d 2k 1， 两式相减，得 (p k)d 2(k p)又 k

18、 p0，所以 d 2.则 a1 2p 2k 1 2m 1. 因此 Sm ma1 m(m 1)2 d m(2m 1) m(m 1) m2. *20 在等比数列 an中，公比 q 2，前 87 项和 S87 140，则 a3 a6 a9 a87 _. (等比数列基本量计算 ) 答案 ： 2. 解析 ： 方 法一 ： a3 a6 a9 a87 a3(1 q3 q6 q84) a1q21（ q3） 291 q3 q21 q q2a1（ 1 q87）1 q 47140 80. 方 法二 ： 设 b1 a1 a4 a7 a85， b2 a2 a5 a8 a86， b3 a3 a6 a9 a87， 因为 b

19、1q b2， b2q b3，且 b1 b2 b3 140，所以 b1(1 q q2) 140，而 1 q q2 7， 所以 b1 20， b3 q2b1 420 80. *21 在等比数列 an中，已知 a1 a3 8， a5 a7 4，则 a9 a11 a13 a15 _. 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 6 页 共 49 页 (等比数列基本量计算 ) 答案 ： 3 *22 等差数列 an的公差为 2，若 a2， a4， a8 成等比数列，则 an的 前 n 项和 Sn 等于 _. (等差、等比数列混合 ) *23.设各项都是正数的等比数列 an， Sn 为前 n 项和

20、，且 S10 10， S30 70，那么 S40 等于 _. (等比数列基本量计算 ) 答案： 150. 解析 ： 依题意，数列 S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30成等比数列，因此有 (S20 S10)2 S10(S30 S20)， 即 (S20 10)2 10(70 S20)，故 S20 20 或 S20 30. 又 S20 0，因此 S20 30， S20 S10 20， S30 S20 40，则 S40 S30 （ S30 S20）2S20 S10 7040220 150. *26.一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比

21、为 32 27，则该数列的公差 d _. (等差数列基本量计算 ) 答案： 5 解析 ： 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇 ，偶数项的和为 S 偶 ，等差数列的公差为 d. 由已知条件，得 S奇 S偶 354，S偶 S奇 32 27， 解得 S偶 192，S奇 162. 又 S 偶 S 奇 6d，所以 d 192 1626 5. 类型 二 ： 等差等比数列的判 断 与证明 一、前测回顾 1 (2010江苏卷 )函数 y x2(x 0)的图象在点 (ak， a2k)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1， k 为正整数， a1 16，则 a1 a3 a5 _. 答案 ： 21

22、解析 ： 在点 (ak， a2k)处的切 线方程为 ： y a2k 2ak(x ak)，当 y 0时，解得 x ak2，所以 ak 1 ak2，故 an是 a1 16， q 12的等比数列，即 an 16 12n 1， 所以 a1 a3 a5 16 4 1 21. 2 已知数列 an的前 n 项和 Sn an2 bn c(a， b， c R)，则 “c 0”是 “an是等 差数列 ”的 _条件 答案 ： 充要 解析 ： a1 a b c， a2 S2 a1 3a b， a3 S3 S2 5a b，若 an是等差数列，则 2a2 a1 a3， 解得 c 0，所以 “c 0”是 “an是等差数列

23、”的必要条件 ； 当 c 0 时， Sn an2 bn，当 n 1 时， a1 a b；当 n 2 时， an Sn Sn 1 2an b a，显然当n 1 时也满足上式，所以 an 2an b a(n N*)，进而可得 an an 1 2a(n N*)，所以 an是等差数列，所以 “c 0”是 “an是等差数列 ”的充 分条件 ； 综上可知， “c 0”是 “an是等差数列 ”的充要条件 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 7 页 共 49 页 3 已知 1a， 1b， 1c成等差数列，求证 ： b ca ， c ab ， a bc 也成等差数列 解 ： 由已知得 b(a

24、c) 2ac，所以 b ca a bc b(a c) a2 c2ac 2ac a2 c2ac 2(a c)b ， 所以 b ca ， c ab ， a bc 也成等差数列 4已知 an+1 2anan 2， a1 2 ，求证 ： 数列 1 an的等差数列 解 ： 由已知， a1 2，故 an 0，所以 1 an+1 an 22an 1 an 12，所以 1 an+1 1 an 12， 所以 数列 1 an是 等差数列 5 数列 an前 n 项和为 Sn，若 an Sn n，令 bn an 1，求证 ： 数列 bn是等比数列 . 解 ： 由 an Sn n，得 n 2 时， an 1 Sn 1

25、n 1，两式相减得 2an an 1 1， 即 2bn bn 1 从而有 bnbn 1 12(常数 )，所以 数列 bn是等比数列 . 二、方法联想 1等差、等比数列的证明 方法 证明数列是等差数列 ： 方法 1 定义法，即当 n N*时， an 1 an 为同一常数 方法 2 中项公式法，即当 n N*时， 2an 1 an an 2 均成立 说明：得到 2an 1 an an 2 后 ，最好改写为 an 1 an an an 1 a2 a1，回到定义 方法 证明数列是等比数列 ： 方法 1 定义法，即当 n N*时，an 1an 为同一常数 方法 2 中项公式法，即当 n N*时， an

26、12 anan 2 均成立 ，且数列 an没有 0 说明：得到 2an 1 an an 2 后 ，最好改写为 an 1an anan 1 a2a1，回到定义 2等差、等比数列的判断 判断数列是等差数列 方法 1 定义法，即当 n1 且 n N*时， an 1 an 为同一常数 方法 2 中项公式法，即当 n1 且 n N*时， 2an 1 an an 2 均成立 方法 3 特殊值法，如前 3 项成等差，再证明其对任意 n N*成等差数列 方法 4 通项为一次形式，即 an an b 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 8 页 共 49 页 方法 5 前 n 项和为不含常数项的

27、二次形式，即 Sn an2 bn 方法 6 若数列 an为等比数列，则 logaan为等差数列 注意 方法 4、 5、 6 只能做为判断，作为解答题需要证明 判断数列不是等差数列 方法 通常用特殊值法，如取连续 3 项验证不成等差数列 判断数列是等 比数列 方法 1 定义法，即当 n N*时， an 1an为同一常数 方法 2 中项公式法，即当 n N*时， an 12 anan 2 均成立 方法 3 特殊值法，如前 3 项成等比，再证明其对任意 n N*成等比数列 方法 4 通项公式为指数幂形式，即 an aqn 方法 5 若数列 an为等差数列，则 aan为等比数列 注意 方法 4、 5

28、只能做为判断，作为解答题需要证明 判断数列不是等比数列 方法 通常用特殊值法，如取连续 3 项验证不成等比数列 三、归类巩固 *1 已知数列 an满足 3an 1 an 0， a2 43，则 an的前 10 项和等于 _ (由定义判定 等差数列 ) 答案： 3(1 3 10) *2 已知数列 an满足 a1 15，且 3an 1 3an 2 若 akak 1 0，则正整数 k _ (由定义判定 等差数列 ) 答案： 23 *3 已知 Sn 是数列 an的前 n 项和，且 Sn 1 Sn an 3， a4 a5 23，则 S8 _ (由 Sn与 an关系 ，结合定义判定 等差数列 ) 答案： 9

29、2 *4 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sn 2an 4(n N*)，则 an _ (由 Sn与 an关系 ，结合定义判定等比 数列 ) 答案： 2n 1 *5已知数列 an满足 a1a2a3 an 2n2(n N*)，且对任意 n N*都有 1a1 1a2 1ant，则实数 t 的取值范围为 _ (由前 n 项的积 与 an关系 ，由通项公式判定等比 数列 ) 答案： 23， 解析：依题意得，当 n2 时， an a1a2a3 ana1a2a3 an 1 2n22(n 1)2 2n2 (n 1)2 22n 1，又 a1 21 221 1，因此 an 22n 1， 1an 122n

30、 1 12 14 n 1，即数列 1an是以 12为首项， 14为公比的等比数列，等比数列 1an的前 n 项和等于12 1 14n1 14 23 1 14n 23，因此实数 t 的取值范围是 23， . 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 9 页 共 49 页 *6已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 an为 12， 13， 23， 14， 24， 34， 15， 25， 35， 45， ， 1n， 2n， ， n 1n ， ，若 Sk 14，则 ak _. (由通项公式判定等差 数列 ) 答案： 78 解析：因为 1n 2n n 1n 1 2 n 1n n2 12，

31、 1n 1 2n 1 nn 1 1 2 nn 1 n2，所以数列 12， 13 23， 14 24 34， ， 1n 1 2n 1 nn 1是首项为 12，公差为 12的等差数列，所以该数列的前 n 项和 Tn 12 1 32 n2 n2 n4 .令 Tnn2 n4 14，解得 n 7(n 8 舍去 )，所以ak 78. *7已知数列 an中， a1 2，且 a2n 1an 4(an 1 an)(n N*)，则其前 9 项和 S9 _. (由定义判定等比 数列 ) 答案： 1 022 解析：由已知，得 a2n 1 4anan 1 4a2n，即 a2n 1 4anan 1 4a2n (an 1

32、2an)2 0，所以 an 1 2an，又因为 a1 2，所以数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 S9 2(1 29)1 2 210 2 1 022. *8 已知数列 an是等比数列 (q 1)， Sn是其前 n项的和，则 Sk， S2k Sk， S3k S2k仍成等比数列 (由中项公式判定等比 数列 ) 解：方法 一： (1)当 q 1 时，结论显然成立； (2)当 q 1 时， Sk a1(1 qk)1 q ， S2ka1(1 q2k)1 q ， S3ka1(1 q3k)1 q S2k Sk a1(1 q2k)1 q a1(1 qk)1 q a1qk(1 qk)1 q S3

33、k S2k a1(1 q3k)1 q a1(1 q2k)1 q a1q2k(1 qk)1 q 所以 (S2k Sk)2 a21q2k(1 qk)2(1 q)2 Sk( S3k S2k)a1(1 qk)1 q a1q2k(1 qk)1 q a12q2k(1 qk)2(1 q)2 所以 (S2k Sk)2 Sk( S3k S2k)， 又因为 q 1，所以 Sk， S2k Sk， S3k S2k中没有零， 所以 S2k Sk Sk S3k S2kS2k Sk， 所以 Sk， S2k Sk， S3k S2k成等比数列 方法 二： S2k Sk (a1 a2 a3 a2k) (a1 a2 a3 ak)

34、ak 1 ak 2 ak 3 a2k qk(a1 a2 a3 ak) qkSk 0 同理， S3k S2k a2k 1 a2k 2 a2k 3 a3k q2kSk 0 所以 (S2k Sk)2 Sk( S3k S2k)，下同方法一 南京市 2018 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 10 页 共 49 页 *10已知数列 an中 a1 23， an 1 3an2an 1(n N*)， 求证： 1an 1 是等比数列，并求出 an的通项公式 (根据 定义 证明 等比 数列 ) 解： 由题意 an 0， an 1，记 bn 1an 1，则 bn 1bn1an 1 11an 12an 13an 1

35、1an 1 2an 1 3an3 3an 1 an3(1 an) 13， 又 b1 1a1 1 32 1 12，所以 1an 1 是首项为 12，公比为 13的等比数列 所以 1an 1 12 13 n 1，即 an 23n 11 23n 1.所以数列 an的通项公式为 an23n 11 23n 1. *11已知数列 an， bn满足 a1 3， anbn 2， bn 1 an(bn 21 an)， n N*，证明数列 1bn是等差数列，并求数列 bn的通项公式 (根据定义证明等差 数列 ) 解：因为 anbn 2， 所以 an 2bn， 则 bn 1 anbn 2an1 an 24bn1 2

36、bn 2 4bn 2 2bnbn 2， 所以 1bn 1 1bn 12 又 a1 3， 所以 b1 23 故 1bn是首项为 32， 公差为 12的等差数列 ， 即 1bn 32 (n 1) 12 n 22 ， 所以 bn 2n 2 *12 已知数列 an的前 n 项和 Sn 1 an，其中 0， 证明 an是等 比数列，并求其通项公式 (由 Sn与 an关系 ，结合定义证明等比 数列 ) 解： 由题意得 a1 S1 1 a1，故 1， a1 11 ， a10. 由 Sn 1 an， Sn 1 1 an 1， 得 an 1 an 1 an， 即 an 1( 1) an，由 a10， 0得 an0， 所以 an 1an 1. 因此 an是首项为 11 ，公比为 1的等比数列，于是 an 11 1n 1. *13已知 an的通项公式为 an ( 2)n， 记 Sn为 其 前 n项和 ， 求 Sn，并判断 Sn 1， Sn， Sn 2是否成等差数列 (利用中项公式证明等差 数列 ) 解：因为 an+1 an 2，所以 an是首项为 a1 2，公比为 2 的等比数列， 所以 Sn ( 2)1 ( 2)n1 ( 2) 23 ( 1)n2n 13 .