1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 理科 数学 注意事项： 1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 I 卷 注意事项： 1.每小题选出答案后， 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
2、其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式 ： 如果事 件 A， B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B . 如果事件 A， B 相互 独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B . 棱柱的体积公式 V Sh ， 其中 S 表示棱柱的底面面积 ， h 表示棱 柱的高 . 棱 锥 的体积公式 13V Sh ， 其中 S 表示棱锥的底面面积 ， h 表示棱锥的高 . 一 . 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)设全集为 R ，集合 0 2A x x ， 1B x x，则 ()ABRI
3、( ). (A) 0 1xx (B) 0 1xx (C) 1 2xx (D) 0 2xx 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号(2)设变量 xy， 满足约束条件5,2 4,1,0,xyxyxyy 则目标函数 35z x y的最大值为 （ ） . (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为 （ ） . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4)设 Rx ， 则 “ 11|22x”是“ 3 1x ”的（ ） . (A)充分而不必要条件 (B)必要而不重复条件 (C)充要条件 (D)
4、既不充分也不必要条件 (5)已知 2log ea ， ln2b ，12 1log 3c， 则 ,abc的大小关系为（ ） . (A) abc (B) bac (C) c b a (D) c a b (6)将函数 sin 25yx的图象向右平移 10 个单位长度 ， 所得图 像 对应的函数 （ ） . (A)在区间 3 5,44上单调递增 (B)在区间 3,4上单调递减 (C)在区间 5 3,42上单调递增 (D)在区间 3,22上单调递减 (7)已知双曲线 2222 1 ( 0 , 0 )xy abab 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点 . 设 A，
5、B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1d 和 2d ，且 126dd，则双曲线的方程为 ( ). (A) 2214 12xy (B) 22112 4xy (C) 22139xy (D) 22193xy (8)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC ， AD CD ， 120BAD ， 1AB AD. 若点 E 为边 CD 上的动点，则 uuur uurAEBE 的最小值为 ( ). (A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D) 3 第 卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共 110 分。 二 . 填空题：本大题共
6、6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9) i 是虚数单位，复数 6 7i1 2i . (10) 在 51()2x x的展开式中， 2x 的系数为 . (11) 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图 )，则四棱锥 M EFGH 的体积为 . (12)已知圆 2220x y x 的圆心为 C，直线21,2232 xtyt(t 为参数 )与该圆相交于 A， B 两点，则 三角形 ABC 的面积为 . (13)已知 ,abR ，且 3 6 0ab ，则 12 8ab的最小值为 .
7、(14)已知 0a ，函数 222 , 0 ,() 2 2 , 0.x ax a xfx x ax a x 若关于 x 的方程 ()f x ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 . （可讨论，图 易画错 ） 三 .解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 15） （本小题满分 13 分） 在 三角形 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 sin co s( )6b A a B. （ I）求角 B 的大小； （ II）设 2a ， 3c ，求 b 和 sin(2 )AB 的值 . (16)(本小
8、题满分 13 分 ) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24， 16， 16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7人，进行睡眠时间的调查 . （ I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （ II）若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 . （ i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ ii）设 A 为事件 “抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工 ”，求事件 A 发生的概率 . (17)(本小题满分 13 分 ) 如图， AD BC 且
9、 2AD BC ， AD CD ,EG AD 且 EG AD ， CD FG 且 2CD FG ，D G ABCD 平 面 ， 2A D C D G . （ I）若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证： MN CDE平 面 ； （ II）求二面角 E BC F的正弦值； （ III）若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长 . (18)(本小题满分 13 分 ) 设 na 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ()nSnN ， nb 是等差数列 . 已知 1 1a ，322aa， 4 3 5a b b， 5 4 62
10、a b b . （ I）求 na 和 nb 的通项公式； （ II）设数列 nS 的前 n 项和为 ()nTn N ， （ i）求 nT ； （ ii）证明 221() 2 2 ( )( 1 ) ( 2 ) 2nn k k kkT b b nk k n N. (19)(本小题满分 14 分 ) 设椭圆 22221xxab(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 53 ，点 A 的坐标为(,0)b ，且 62FB AB. （ I）求椭圆的方程； （ II）设直线 l： ( 0)y kx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若52 sin4AQ AOQPQ (O 为原点 ) ，求 k 的值 . (20)(本小题满分 14 分 ) 已知函数 () xf x a ， ( ) logag x x ，其中 a1. （ I）求函数 ( ) ( ) lnh x f x x a的单调区间； （ II）若曲线 ()y f x 在点 11( , ( )x f x 处的切线与曲线 ()y g x 在点 22( , ( )x g x 处的切线平行，证明12 2 ln ln() ln ax g x a ； （ III）证明当 1eea 时，存在直线 l，使 l 是曲线 ()y f x 的切线，也是曲线 ()y g x 的切线 .
