1、第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3，0.2，0.1 和 0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是 0.25，0.4 和 0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解： ()0.3PA()0.2B()0.1PC()0.4D迟到，由已知可得 E|.5()4|0.1EAPD全概率公式： ()()()EAEBPCED贝叶斯公式： ()(|)(0.75(|) .416|.8| .()|0.(|) .165(|)(|PAEBCPED综上：坐轮船3、设随机变量 X 服从瑞利分布，其概率密度函数为 式中，2,0()Xxxef
2、常数 ，求期望 和方差 。0X()E()DX考察： 已知 ，如何求 和 ？xf22()()()()xxEXfdDmXfdEx6、已知随机变量 X 与 Y，有 ，令1,3,()4,()16,0.5XYYD试求 、 、 、 和 。3,2,UVUV()CovUV考察随机变量函数的数字特征思路： 协方差： (,)()()CovXYEXY相关系数： 22(,)() (,)XYovDYEabXbEabCovXY()6(5(76()5,40UVUVUV11、设随机变量 X 的均值为 3，方差为 2。令新的随机变量 ，问：随机变量62YX 与 Y 是否正交、不相关？为什么？考察正交、不相关的概念0 正交，非
3、0 不正交()E0 不相关，非 0 相关XY正交()E相关,0CovXY以上四题都是概率论的标准题。第二章1、已知随机信号 ，其中 为常数，随机变量 A 服从标准高斯分布，求0()cosXtAt0三个时刻 的一维概率密度函数。02,3t()t解： 002 2()coscosxXmEtAttEADD服从标准高斯分布02220,1cos()sxXEAmttDt一维高斯概率密度函数2 20() cos011(,)(|xXmt xtxfteet t当 时，0t2(;)xxfe当 时，03t20(;)3xxf当 时，02t202(;)xxfe3、随机变量 X 与 Y 相互统计独立，并且服从 分布。它们构
4、成随机信号2(0,)N，试问：(1)信号 X(t)的一维概率密度函数 ；()t ;xft(2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。解：（1） 服从 分布 且,XY2(0,)N()XtYt也服从正态分布()t0()EXtYtEXtYD相互统计独立,2212()(1);()xtxXtYtDXYtf et（2 ） t 时刻，随机变量是高斯分布2()01)EXDt其均值为 0，方差为2()t4、假定随机正弦幅度信号 ，其中频率 和相位 为常数，幅度 A0()cos()XtAt0是一个服从 均匀分布的随机变量，试求 t 时刻该信号加在 1 欧姆电阻上的交流功率平0,1均值。解：t 时刻该信号
5、加在 1 欧姆上的交流功率为 ()DXt0()cos()DXtAt频率 和相位 为常数0200cos()cos()AttDAA 服从0,1均匀分布 1,0()afaother2112200201()cos()DAEAadaXtt5、已知随机信号 的均值为 ，协方差函数为 ，又知道 是确定的()t()Xmt12(,)XCt()ft时间函数。试求随机信号 的均值以及协方差。Yf解： ()()()()EYttfEtft是确定信号ft12121212212()(),()()()() ()()()XXEYtmtfCYEtYtEXtfEXtftttffftffttt11221 212()()()(,)X
6、ttfttfXf tEtCt的均值为Y()Xmtf其协方差为： 12,t9、设接收机中频放大器的输出随机信号为 ，其中 是均值为零，()()XtsNt()t方差为 的高斯噪声随机信号，而 为确知信号，求随机信号 在20()costXt任意时刻 的一维概率密度函数。1t解： ()()XtSNt是确知信号0()cos)tt()()EXtStNStEt服从均值为 0，方差为 的高斯分布()Nt2n20cos()()1(,)2nnxtXnEtStDttDNfxe第三章3、设 与 是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号()XtY也是平稳的。Z证： 与 是统计独立的平稳随机信号()tY1
7、21221(,)()(),|XXXXEmRttRtDt 同理 121221(),()(),|()YY YYERttRtt 12121212()()(), ()()()(),(),| XYZXYXYtYtEEttmRttZtttEttRt222222()()()XYYttDZttEZtm由平稳条件可知也是平稳的随机信号()()tXYt8、设随机信号 ，其中 为常数， 、 为平稳信00cos()sinZttt0()XtY号。试求：(1) 的自相关函数 ；()t(,)ZRt(2)若 ， ，求 。)XY0XY(,)ZRt解： (1) ， 是平稳的随机信号(t00000(,)()cossin()cos(
8、)()sin()co()i iniZRtEtZXYtXtYtttttYttt0 00s()(si()(inconXXYYtRRttt(2)0 00(),()0(,)cos()(sin()si)()XYXYXz XYXRtttttRttRR11、已知随机信号 ，式中，A 与 B 为彼此独立的零均值随机变量。sincosttBt求证 X(t)是均值各态历经的，而 X2(t)无均值各态历经性。证： ()sincossincos01()ilm()22snsiliml0()TTTXtAtBtEtEAtBttt dEXtt是均值各态历经的()t22222222()sincosincossinco1()li
9、m(sincosincos) 2ABTTTTEXtttABtEtttttdtddAB2222221ssinsin1si41coscosco1insin41s2i2cos20TTTTTTTT TtAttAtBtdtdBdAtdtdAt 2 221()limsnini1()()41()sincosTABXTBAtt无均值各态历经性2()Xt第四章4、若调幅信号波形为 ，其中 ， 为常量， 为具有功率谱0()()cosYtaXtta0()Xt密度 的低频随机信号，求已知波形 的功率谱密度。()XPY解： 0012cos()cos()Ytattt其中 为确知信号， 为随机信号1()t2Yt分布求 、
10、利用 4-101YP2()Y11 2000200()cos()cos()()()YYRattdaP的功率谱密度为()Xt()X利用傅里叶变换的性质 12000()cos()()XXYYttP6、已知随机信号 ，式中 ， 联合平稳， 为常00()cos()sinZtXtt()XtY0数。(1)讨论 ， 的均值和自相关函数在什么条件下，才能使随机信号 Z(t)宽平()tY ()Zt稳；(2)利用（1）的结论，用功率谱密度 ， ， 表示 的功率谱密度()XP()Y()XYP()t;()ZP(3)若 ， 互不相关，求 的功率谱密度 。Xt()Y()Zt()Z解: 无答案9、随机信号 和 是统计独立的平稳信号，均值分别为 和 ，协方差函数分别()t XmY为 和 。求 的自相关函数与功率谱密度。|XCe|Ye()()ZtXYt思路：先求 ，()ZRZZP
