1、1函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于 0。 （4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 （5）y=tanx 中 xk+/2；y=cotx 中 xk 等等。( 6 ) 中 x0二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法
2、 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例 1 求下列函数的定义域： ； ； 21)(xf 23)(xf xxf21)(解：x-2=0，即 x=2 时，分式 无意义，1而 时，分式 有意义，这个函数的定义域是 .x |3x+2 定义域为：37|例 3 若函数 的定义域是 R，求实数 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆 axy12解：定义域是 R, 为02 21402aa等 价 于例 4 若函数 的定义域为1，1 ，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(xfy )41(xfy)(f3解：要使函数有意义，必须： 4345314xxx函数 的定
3、义域为：)(fy)(f |例 5 已知 f(x)的定义域为 1， 1，求 f(2x1)的定义域。分析：法则 f 要求自变量在1，1内取值，则法则作用在 2x1 上必也要求 2x1 在 1，1内取值，即12x11,解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考 f(2x1)中 2x1 与 f(x)中的 x 位置相同，范围也应一样，12x11,解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的 x 与 f(2x 1)中的 x 不是同一个 x，即它们意义不同。 ）解：f(x)的定 义域为1，1，12x11，解之 0x1，f(2x 1)的定 义域为0，1。例 6 已知已知 f(
4、x)的定义域为 1， 1，求 f(x2)的定义域。答案：1x 21 x21 1x1练习：设 的定义域是3， ，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(f )(xf解：要使函数有意义，必须： 得： 23x21x 0 x2460 函数 的定域义为：)(f |例 7 已知 f(2x1)的定义域为0 ，1，求 f(x)的定义域因为 2x1 是 R 上的单调递增函数，因此由 2x1 ， x0,1求得的值域1，1是 f(x)的定义域。已知 f(3x1)的定义域为 1， 2），求 f(2x+1)的定义域。 ）2,5（提示：定义域是自变量 x 的取值范围）练习：已知 f(x2)的定义域为1 ，1，求 f(
5、x)的定义域若 的定义域是 ，则函数 的定义域是 （ ）yfx0,212fxfx 1,1, , 10,2已知函数 的定义域为，函数 的定义域为，则 （ ）xfyfx B AAB AB42、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；当 a0， = ，xy12)(当 x0 时，则当 时，其最小值 ；ax2abcy4)(2min当 a0）时或最大值（a0）时，0)(0f再比较 的大小决定函数的最大（小）值.),bfa
6、若 a,b,则a,b 是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.0x)(xf )(,bfa注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+(2 3x)的值域解：由算术平方根的性质，知(23x) 0，故 3+(23x)3。函数的值域为 .,2、求函数 的值域5,02xxy解： 对称轴 1321-1-23 654321-2 xOy620,45,1maxin值 域 为时时yx例 3 求函数 y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：法一：（单调性法）设 f(x)=4x,g(x
7、)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+4-x 的值域。( 答案：y|y 3)法二：换元法(下题讲)例 4 求函数 的值域 xy12解：（换元法）设 ，则t )0(12tty2,1,0max值 域 为 ，时当 且 开 口 向 下，对 称 轴 yt点评
8、：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y=x-1 x 的值域。 （答案：y|y 3/4例 5 （选）求函数 的值域xy53解：（平方法）函数定义域为： ,2,4,21,05853)(222原 函 数 值 域 为得由yxx例 6 （选不要求）求函数 的值域21xy解：（三角换元法） 设,0cosx2,12,1)4sin(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设a)0,cos(2,sin a或 设7（2）若题目中含有 则可设 ，其中1
9、2basin,coba20（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中xsx0（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中2ta2（5）若题目中含有 ，则可设),0(ryxry 2sin,cosryrx其中 2,0例 7 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 如图， 3,412,xy观察得值域 解法二：（零点法）画数轴 利用 可得。在 数 轴 上 的 距 离表 示 实 数 baba,解法三：（选） （不等式法）同样可得值域4114)(13)(3xxxx练习： 的值域呢？ （ ） （三种方法均可）y ,例 8 求函数 的值域),0(29xx解：（换元法）设 ，则 原函数可化为t331t8,28,;12,
10、maxmin2值 域 为 时时 对 称 轴ytyty例 9 求函数 的值域xy231解：（换元法）令 ，1)(22xt 则 )1(3ty-1 0 3-1 0 1 34-4xyx10 xy8由指数函数的单调性知，原函数的值域为 ,31例 10 求函数 的值域)0(2xy解：（图象法）如图，值域为 1,例 11 求函数 的值域2xy解法一：（逆求法） 112, yyx原 函 数 值 域 为观 察 得解 出解法二：（分离常数法）由 ，可得值域123x小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为)0(cdxbay；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法
11、将原函数化为c，用复合函数法来求值域。)(bcadxbay例 12 求函数 的值域13x解法一：（逆求法） 10yyx1,0原 函 数 的 值 域 为小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。解法二：（换元法）设 ，tx13则 113tyxx001ytt原 函 数 的 值 域 为练习：y= ；（y(-1，1) ）.12x例 13 函数 的值域2解法一：（逆求法） 1012 yyx0 11tt0 1t2t91,为解法二：（换元法）设 ，则 tx2原 函 数 值 域 即 得 101ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)(2yx1） 时 不成立y2） 时，)1(40yy
12、1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角换元法） 设 ，则Rx2,tanx1,2cos,2costa12 y原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425xy解法一：（判别式法）化为 0)53(2yxy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy0综合 1） 、2）值域 |y解法二：（复合函数法）令 ，则tx342ty51)(t所以，值域50y 50|y251 tt010例 15 函数 的值域1xy解法一：（判别式法）原式可化为 01)(2xy,31,04)(02原 函 数 值 域 为 或y解法二：（不等式法）1）当 时，x32yx2） 时，0x 1)(1x综合 1）
13、2）知，原函数值域为 ,31,例 16 (选) 求函数 的值域)(22xxy解法一：（判别式法）原式可化为 02(2yx ,210)4)(02原 函 数 值 域 为 舍 去 或yxy解法二：（不等式法）原函数可化为 )1(211)(2 xxx当且仅当 时取等号，故值域为0x,例 17 （选） 求函数 的值域)2(12xy解：（换元法）令 ，则原函数可化为 。 。 。tx)31(tty小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是)0(22dafexdcbay条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选） 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如)(二 次 式一 次 式或一 次 式二 次 式 yy果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数 的单调性去解。)0(xay练习：1 、 ；)0(912xxy
