1、随机变量函数的分布,随机变量的函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题, 例:,测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：,d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。,的分布。, 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：,背景,一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。,若X为离散型 随机变量, 其分布律为,则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为,如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加,离散随机变量的函数的分布,设随机变量X的分布律
2、为,求Y=2X2 +1的分布律,解,例,由题设可得如下表格,所以，y=2x2+1的分布律为,解,由题设可得如下表格,解,所以，周长的分布律为,面积的分布律为,设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数,(1) 求Y的分布函数 FY(y),(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y),连续型随机变量的函数的分布,一般方法,设随机变量X的密度函数为,求随机变量Y=2X+8的概率密度。,先求Y=2X+8的分布函数 FY (y).,解（1）,例,（2） 求Y=2X+8的概率密度,解,先求分布函数 FY (y)。,例,
3、当 时，,所以，,当 时，,所以，,推论,定理,正态分布的线性函数仍服从正态分布,正态分布的标准化,设X N（0，1），其概率密度为：,则,概率密度函数为：,此时称Y服从自由度为1的 分布,记作,结论：若 则,定理 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为 f X (x) fY (y), 当 g(x) 是严格单调函数，则,即 Y 服从19，21上的均匀分布,Y=0.1X+10的密度函数为,X的密度函数为,设随机变量服从90，110上的均匀分布,求 Y=0.1X+10的密度函数。,例,解,解 体积 的分布函数为,所以体积的概率密度为,所以体积的概率密度为,即,练习 设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。,答案：,
