1、第2章 随机过程的基本 概念和基本类型,2.1 基本概念,在概率论中，我们研究了随机变量，,维随机向量。,在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，,但局限,在它们相互独立的情形。,将上述情形加以推广，,即研究,一族无穷多个、相互有关的随机变量，,这就是随机过程。,定义2.1：,设,是一概率空间，,对每一个参数,，,是一定义在概率空间,上的随机,变量，,则称随机变量族,为该概率,空间上的一随机过程。,称为参数集。,随机过程的两种描述方法：,用映射表示,即,是一定义在,上的二元单值函数，,固定,是一定义在样本空间,上的函数，,即为一随机变量；,对于固定的,是一个,关于参数,的函数，,或称随机,过
2、程的一次实现。,记号,通常称为样本函数，,有时记为,或简记为,参数,一般表示时间或空间。,参数常用的一般有：,(1),(2),(3),当参数取可列集时，,一般称随机过程为随机序列。,随机过程,可能取值的全体所构成的集合,称为此随机过程的状态空间，记作S.,S中的元素,称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的,抽象空间构成。,随机过程分为以下四类：,(1)离散参数离散型随机过程；,(2)连续参数离散型随机过程；,(3)连续参数连续型随机过程；,(4)离散参数连续型随机过程。,以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：,独立增量过程；,Markov过程；,二阶矩过程；,平稳过程；,更新过程
3、；,Poission过程；,维纳过程。,鞅；,随机过程举例,例2.1,例2.2,抛掷一枚硬币，样本空间为,定义：,随机过程。,例2.3,2.2 有限维分布与Kolmogvrov定理,一、随机过程的分布函数,1. 一维分布函数,2. 二维分布函数,3. n维分布函数,4. 有限维分布族,称为有限维分布族,5. 有限维分布族的性质,(1) 对称性,(2) 相容性,注1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分 布族决定。,注2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯 一确定。,问题：,一个随机过程,是否描述了该过程的全部概率特性？,的有限维分布族，,定理：（Kolmogorov存在性定理）,设分布函数族
4、,满足以上提到的对称性和相容性，,则必有一随机过程,恰好是,的有限维分布族，即：,定理说明：,的有限维分布族包含了,的所有概率信息。,例2.4,例2.5,二、随机过程的数字特征,1. 均值函数,随机过程,（假设是存在的）,的均值函数定义为：,2. 方差函数,随机过程,的方差函数定义为：,3. (自)协方差函数,4. (自)相关函数,5. (互)协方差函数,6. 互相关函数,7. 互不相关,8. 特征函数,为随机过程,的有限维特征函数族。,记：,例2.6,例2.7,作业1,2.3 随机过程的基本类型,一、严平稳过程,定义1：,二、严平稳过程的特点,则,三、宽平稳过程,(简称平稳过程),定义2：,注1：,注2：,例2.8,例2.9,四、平稳过程相关函数的性质,性质1：,性质2：,结论：,性质3：,性质4：,注：,定义：,注：,性质5：,性质6：,性质7：,性质8：,性质9：,例2.10：,五、独立增量过程,定义1,例2.11：,定义2,六、遍历性定理,定义1:,定义2:,例2.12:,例2.13:,定理2.2: (均值遍历性定理),推论2.1:,推论2.2:,定理2.2: (协方差函数遍历性定理),作业1:,作业2: 书第二章 习题2.6.,作业3:,
