1、 专业 K12教研共享平台 1 北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期 末质量检测 数学试卷（理工类） 2018.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题 ： 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1. 已知集合 | ( 2 ) 0A x x x= - ，则 ABI 是 A. |1 2xx D. |2xx 2. 已知 i 为虚数单位 ， 设复数 z 满足 i3z ，则 z = A. 3 B. 4
2、C. 10 D.10 3. 在平面直角坐标系中， 以下各点位于不等式 ( 2 1)( 3 ) 0x y x y 表示的平面区域 内的是 A. (00)， B. ( 20)， C. (0 1)， D. (02)， 4.“ 2sin 2 ” 是 “ cos2 =0 ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该四棱锥的体积为 A. 4 B. 43 C. 423 D. 42 6. 已知圆 22( 2) 9xy 的圆心为 C .直线 l 过点 ( 2,0)M 且与 x 轴不重合 ， l
3、交圆 C 于,AB两点 ， 点 A 在点 M ， B 之间 .过 M 作直线 AC 的平行线交直线 BC 于点 P ， 则点 P 的轨迹是 正视图 侧 视图 俯 视图 专业 K12教研共享平台 2 A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分 7. 已知函数 ()f x x x a 的图象与直线 1y 的公共点不少于两个，则实数 a 的取值范围是 A. 2a B. 2a C. 20a D. 2a 8. 如图 1，矩形 ABCD 中， 3AD .点 E 在 AB 边上， CE DE 且 1AE . 如图 2， ADE 沿直线 DE 向上折起成1ADE 记二面角
4、 1A DE A的平面角为 ， 当 00 180 ，时 ， 存在某个位置，使 1CE DA ； 存在某个位置，使 1DE AC ； 任意两个位置，直线 DE 和直线 1AC 所成的角都不相等 . 以上三个结论中正确的序号是 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在答题卡上 . 9. 已知 中心在原点，焦点在坐标轴上的 双曲线 C 的 离心率为 2 ，则 双曲线 C 的渐近线方程为 . 10. 执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为 . 11. ABCD 中 ， ,EF分别为边 ,BCCD 中点，若
5、 AF x AB y AE （ ,xyR ），则 +=xy _. 12. 已知数列 na 满足 11n n na a a（ 2n ）， 1ap ， 2aq ( ,pqR ).设1nniiSa，则 10a ; 2018S .（用含 ,pq的式子表示 ） 13. 伟大的数学家 高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题 .一位图 1 BA ED C开始 i=1， S=2 结束 i=i+1 i4? 输出 S 是 否 S=i S E BCDAA 1图 2 专业 K12教研共享平台 3 同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：2 2 2 2 2( ) ( )(
6、 )a c b d a b c d 的一种“图形证明” . 证明思路： （ 1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积； （ 2）左图中阴影区域的面积为 ac bd ，右图中，设 BAD ，右图阴影区域的面积可表示为 _（用含 a b c d, , ， 的式子表示）； （ 3）由图中阴影面积相等， 即可导出不等式 2 2 2 2 2( ) ( )( )a c b d a b c d . 当且仅当, , ,abcd 满足条件 _时，等号成立 . 14. 如图，一位同学从 1P 处观测塔顶 B 及旗杆顶 A ，得仰角分别为 和 90 . 后退 l (单位 m)至点 2P 处再观测塔顶 B ，仰角
7、变为原来的一半，设塔 CB 和旗杆 BA 都垂直于地面，且 C ， 1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔 CB 的高为 m；旗杆 BA的高为 m.（用含有 l 和 的式子表示 ） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15. (本小题满分 13 分 ) 已知函数 2 1( ) s i n c o s s i n 2f x x x x . （ ） 求 ()fx的单调递增区间； （ ） 在 ABC 中 , ,abc为角 ,ABC 的对边，且满足 c o s 2 c o s s inb A b A a B， 且 0 2A ，求 ()fB的取值
8、范围 . AP 2P 1BCbbd acdacdacbDCBA专业 K12教研共享平台 4 16. (本小题满分 13 分 ) 为 了治理大气污染， 某市 2017 年初采用了一系列措施，比如 “煤改电 ”， “煤改气 ”， “国 ， 轻型汽油车限行 ”， “整治散乱污染企业 ”等 .下表是该市 2016 年和 2017 年 12 月份的空气质量指数（ AQI）（ AQI 指数越小，空气质量越好）统计表 . 表 1： 2016 年 12 月 AQI 指数表：单位（ 3g/m ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AQI 47 123 232 291 78 103 159 1
9、32 37 67 204 日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AQI 270 78 40 51 135 229 270 265 409 429 151 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31 AQI 47 155 191 64 54 85 75 249 329 表 2： 2017 年 12 月 AQI 指数表：单位（ 3g/m ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AQI 91 187 79 28 44 49 27 41 56 43 28 日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AQI
10、28 49 94 62 40 46 48 55 44 74 62 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31 AQI 50 50 46 41 101 140 221 157 55 根据表中数据回答下列问题 ： （ ）求出 2017 年 12 月的 空气质量指数的极差； （ ）根据环境空气质量指数（ AQI）技术规定（试行）规定：当空气质量指数为 0 50时，空气质量级别为一级 .从 2017 年 12 月 12 日到 12 月 16 这五天中 ，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为 ，求 的分布列及 数学 期望 ； （ ） 你认为该市 2017 年初开始采取的 这些 大气污
11、染治理 措施是否有效 ?结合数据说明理由 . 专业 K12教研共享平台 5 17. (本小题满分 14 分 ) 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB， D是线段 AC 的 中点，且 1AD 平面 ABC （ ）求证：平面 1ABC 平面 11AACC ； （ ）求证： 1 /BC 平面 1ABD ； （ ）若 11AB AC ， 2AC BC，求二面角 1A AB C的余弦值 . 18. (本小题满分 13 分 ) 已知函数 ( ) cosf x x x a， R . （）求曲线 ()y f x 在点 2x 处的切线的斜率 ； （）判断方程 ( ) 0fx （ ()f
12、x 为 ()fx的导数 ） 在区间 0,1 内的根的个数 ， 说明理由 ； （）若函数 ( ) s in c o sF x x x x a x 在区间 (0,1) 内有且只有一个极值点 ， 求 a 的取值范围 . A C B B1 C1 A1 D 专业 K12教研共享平台 6 19. (本小题满分 14 分 ) 已知 抛物线 :C 2 4xy 的焦点 为 F ,过抛物线 C 上 的动点 P （ 除顶点 O 外 ）作 C 的切线 l 交 x 轴于点 T .过点 O 作 直线 l 的垂线 OM （ 垂足为 M ）与 直线 PF 交于 点 N . （）求焦点 F 的坐标； （）求证： FT MN ；
13、 （）求线 段 FN 的长 . 20. (本小题满分 13 分 ) 已知集合 12, ,., nP a a a ， 其中 iaR 1 , 2i n n . ()MP 表示+ijaa1)i j n （ 中所有不同值的个数 . （）若集合 1,3,5 7,9P ， ， 求 ()MP； （）若集合 11, 4,1 6, . ., 4 nP ，求证： +ijaa的值两两不同 ， 并求 ()MP； （）求 ()MP的最小值 .（用含 n 的代数式表示 ） 专业 K12教研共享平台 7 北京市朝阳区 2017-2018 学年度第一学期期 末质量 检测 高三年级 数学试卷答案（ 理工 类） 2018.1 一
14、、选择题（ 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A A B B C 二、填空题（ 30 分） 题号 9 10 11 答案 yx 48 12 题号 12 13 14 答案 p pq 2 2 2 2 sina b c d ad bc sinl cos2sinl 三、解答题（ 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解： （ ） 由题知 1 1 1( ) s i n 2 (1 c o s 2 )2 2 2f x x x 11= sin 2 cos 222xx 2= sin (2 )24x . 由 2 2 22 4 2k x k （ k ）， 解得 88k x k
15、 . 所以 ()fx单调递增区间为 3 , 88kk （ k ） . 6 分 （ ） 依题意，由正弦定理， s i n c o s 2 s i n c o s s i n s i nB A B A A B. 因为 在三角形中 sin 0B ，所以 co s 2 co s sinA A A. 即 ( c o s s i n ) ( c o s s i n 1 ) 0A A A A 当 cos sinAA 时， 4A ； 当 cos sin 1AA时， 2A . 专业 K12教研共享平台 8 由于 0 2A ，所以4A . 则 3+ 4BC. 则 30 4B . 又 24 4 4B ， 所以 1
16、sin(2 ) 14B . 由 2( ) s in ( 2 )24f B B ， 则 ()fB的取值范围是 2222，. 13 分 16. （本小题满分 13 分） 解：（ ） 2017 年 12 月 空气质量指数的极差为 194. 3 分 （ ） 可取 1， 2， 3 123235 3( 1) 10CCP C ； 213235 6( 2) 10CCP C ； 303235 1( 3 ) 10CCP C . 的分布列为 1 2 3 P 310 610 110 所以 3 6 11 2 3 1 . 81 0 1 0 1 0E . 9 分 （ ） 这些措施是有效的 .可以利用空气质量指数的平均数，或
17、者这两年 12 月空气质量指数为优的概率等来进行说明 . 13 分 17. （本小题满分 14 分） （ ） 证明：因为 90ACB，所以 BC AC 根据题意， 1AD 平面 ABC ， BC 平面 ABC ，所以 1AD BC 因为 1A D AC D ，所以 BC 平面 11AACC 专业 K12教研共享平台 9 又因为 BC 平面 1ABC ，所以平面 1ABC 平面 11AACC 4 分 （ ） 证明：连接 1AB ，设 11AB A B E ，连接 DE 根据棱柱的性质可知， E 为 1AB 的中点， 因为 D 是 AC 的中点， 所以 1/DE BC 又因为 DE 平面 1ABD
18、 ， 1BC 平面 1ABD ， 所以 1 /BC 平面 1ABD 8 分 （） 如图，取 AB 的中点 F ，则 /DF BC ， 因为 BC AC ，所以 DF AC ， 又因为 1AD 平面 ABC ， 所以 1,DF DC DA 两两垂直 以 D 为原点 ，分别以 1,DF DC DA 为 ,xyz 轴建立空间坐标系（如图） . 由（ ）可知， BC 平面 11AACC , 所以 1BC AC 又因为 11AB AC ， 1BC A B B , 所以 1AC 平面 1ABC ，所以 11AC AC ， 所以四边形 11AACC 为菱形 由已知 2AC BC， 则 0, 1,0A ， 0
19、,1,0C ， 2,1,0B ， 1 0,0, 3A 设平面 1AAB 的一个法向量为 ,x y zn ， 因为 1 0,1, 3AA ， 2,2,0AB ，所以 1 0,0,AAAB nn，即 3 0,2 2 0.yzxy A C B B1 C1 A1 D E y x z A C B B1 C1 A1 D F 专业 K12教研共享平台 10 设 1z ，则 3, 3,1n 再设平面 1ABC 的一个法向量为 1 1 1,x y zm ， 因为 1 0, 1, 3CA ， 2,0,0CB ，所以 1 0,0,CACB mm，即 1113 0,2 0. yzx 设 1 1z ，则 0, 3,1m
20、 故 3 1 7c o s ,772 mnmn mn 由图知，二面角 1A AB C的平面角为锐角， 所以二面角 1A AB C的余弦值为 77 14 分 18. （本小题满分 13 分） 解：（） ( ) co s sinf x x x x . ()22kf . 3 分 （ ） 设 ( ) ( )g x f x ， ( ) s i n ( s i n c o s ) 2 s i n c o sg x x x x x x x x . 当 (0,1)x 时 ， ( ) 0gx ，则函数 ()gx 为减函数 . 又因为 (0) 1 0g ， (1) co s 1 sin 1 0g , 所以有且只有
21、一个 0 (0,1)x ， 使 0( ) 0gx 成立 . 所以函数 ()gx 在区间 0,1 内有且只有一个零点 .即 方程 ( ) 0fx 在区间 0,1 内有且只有一个实数根 . 7 分 （） 若函数 ( ) s i n c o sF x x x x a x 在区间 0,1 内有且只有一个极值点 ，由于( ) ( )F x f x ， 即 ( ) cosf x x x a在区间 0,1 内有且只有一个零点 1x ， 且 ()fx在 1x 两侧异号 . 因为当 (0,1)x 时 ，函数 ()gx 为减函数 ， 所以在 00,x 上 ， 0( ) ( ) 0g x g x，即 ( ) 0fx 成立 ，函数 ()fx为增函数 ； 在 0( ,1)x 上 ， 0( ) ( ) 0g x g x， 即 ( ) 0fx 成立 ，函数 ()fx为减函数 ,
