1、第7章 标准化期权的解析法定价,朱子川 接小波 张翠萍 杨杨,背景,第6章中，推导了期权价格关系式。仅指明了价格的边界，而非精确的期权价值。本章推导欧式期权的定价公式，将该公式用于风险管理，如何估计定价公式中的参数。期权的定价也是未来现金流的现值。看涨期权的预期现金流取决于:基础资产经风险调整的预期价格升值率。贴现率是期权经风险调整的预期回报率。该传统定价法的一个问题是，要准确估计风险调整的预期回报参数是非常困难的。 1973年，随着Black和Scholes (1973)以及Merton (1973)（BSM）在期权和其基础资产之间构建一个无风险套期保值，期权定价就与个人风险偏好无关，假设个
2、体是风险中性的。所有资产的预期回报率等于它们的无风险利率。,内容,第一节风险中性定价的直觉分析第二节给定正态分布回报率的均值和方差，推导了资产预期价值的表达式。第三节欧式看涨期权的定价公式。第四节欧式看跌期权的定价公式。第五节说明如何利用期权定价公式去度量期权的风险特征。最后一节是结论。,7.1 风险中性定价的直觉分析,7.1.1 利用二项式模型构建无风险保值组合欧式看涨期权，三个月后X=40。假设S=40，三个月后资产的价格是45或35。这些资产价格列于下图7-1。3个月后为45，则看涨期权价值为5；如果资产价格3个月后为35，期权价值为0。,图7-1：期末资产价格和看涨期权价值的二项式点阵
3、Today当前；3 months三个月后,买入一单位资产并卖出n份看涨期权,我们令n满足455n=35，卖出两份看涨期权（即n=2）可以消除所有组合风险。R= 2%,欧式看涨期权的价格为2.84。 在无风险套利情况下，现在构建无风险组合的成本满足：40-2c=35/1.02无成本套利机会假设看涨期权价格为3，卖出看涨期权，买入0.5单位资产，并借款17.16（即35的一半的现值），产生现金 3-0.5(40)+17.16=0.16到期时，到期S=45，组合价值为(4540)+0.5(45)17.50=0如果S=35，组合价值为0+0.5(35)17.50=0,7.1.2风险中性假设下二项式模型
4、定价,在风险中性下，其中p是上界的概率，1p是下界的概率， 40(1.02) =45p +35(1p), 然后求解上段风险中性的概率p，等于58%。 找出概率后，就可计算看涨期权的预期终值为看涨期权的预期价值=5(.58) +0(.42) =2.90。 看涨期权的现值是预期终值的贴现。,该值与利用无风险保值组合法计算的结果完全一样。,7.1.3 风险厌恶假设下二项式模型定价,找到基础资产经风险调整的预期回报率，以便计算资产的预期终值找到看涨期权的经风险调整的预期回报率，以便将看涨期权的终值贴现为现值。假设未来三个月资产的预期升值率为4%2%的无风险回报率加2%的个人风险溢价率。因为当前资产价格
5、为40，预期回报率为4%，所以风险厌恶假设下上界概率 p和下界概率 1- p必须满足 40(1.04)=45 p +35(1- p) 风险厌恶假设下，上界概率为66%。风险厌恶个体的上界概率高于风险中性个体的上界概率（假设二项式模型中资产价格终值相同），这是因为，给定资产价格终值保持不变，风险厌恶下更高的预期回报率必须对应更高的上界概率。,前面第3章我们已推导了预期收益和风险之间的取舍关系，该关系称为资本资产定价模型（CAPM），也表明资产的预期回报率为,（7-1）,其中，Es是资产的预期回报率，EM是市场组合的预期回报率，r是无风险回报率，S是资产的贝塔风险。 在（7-1）式预期收益/风险取
6、舍关系式中，资产的贝塔S是相对于市场水平1%的变化，资产价格变化的百分比。因为CAPM模型适用于所有风险资产，包括看涨期权，因此看涨期权的预期收益率可表示为 EC= r +(EM - r) C （7-2）,其中，看涨期权的贝塔c是相对于市场水平1%的变化，看涨期权价格变化的百分比。用S乘以看涨期权价格相对于资产价格的变化百分比，即可得看涨期权的贝塔,因此，看涨期权经风险调整的预期回报率为 :,(7-3),代入本例的参数，,这意味着资产的市场风险溢价为,利用二项式模型，我们可以计算对于资产价格1%的变化，期权价格变化的百分比,将0.02替代（7-3）中的,替代,得到,因此，看涨期权预期终值的现值
7、,为,或者c =2.84。即，使风险厌恶的个体所接受的看涨期权价格也是2.84。,7.2 服从对数正态分布的价格,股票价格的行为过程：股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻画股价的运动。随机过程：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。马尔可夫过程。,几种特殊的马尔可夫过程,1、基本的维纳过程：,几种特殊的马尔可夫过程,2.一般化的维纳过程：,几种特殊的马尔可夫过程,3.ITO过程,几种特殊的马尔可夫过程,例：一种不付红利的股票，波动率为每年30%，预期收益率以连续复利计每年15%，即 ，则股票价格的行为过程为：,几种特殊的马尔可夫过程,的问题
8、是不能随时间加总 假设第一个月资产价格由50变为100，然后第二个月变回50，第一个月的收益率是100%，第二个月为-50%，因此两个月总的收益率为50%。显然这不对，因为资产在两个月中开始是50，结束也是50，它的实际收益率为0。,几种特殊的马尔可夫过程,为了避免这种问题，我们采用资产价格的对数形式。,几种特殊的马尔可夫过程,4.ITO定理和股票价格的对数正态分布（附录7-A）,几种特殊的马尔可夫过程,4.ITO定理和股票价格的对数正态分布,取回指数形式得：数学期望：,4.ITO定理和股票价格的对数正态分布,4.ITO定理和股票价格的对数正态分布,证明期末资产价格的方差,4.ITO定理和股票
9、价格的对数正态分布,4.ITO定理和股票价格的对数正态分布,例7-1：假设资产当前价格是50，连续复利的资产收益率的均值为16%，标准差为20%，这些数值均以年率的形式表达。计算三个月后的预期资产价格，并计算三个月后资产期末价格95%的置信区间。,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,定义a：,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,例7-2：假设资产当前价格是50，连续复利资产回报率的均值和标准差分别为16%和20%，均以年率为基础。计算三个月末资产价格大于60的概率。首先，将服从对数正态分布的期末价格转换为标准正态分布的变量值，即然后，将d值
10、代入累积概率密度函数N(d)，计算概率。,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,当表达中是用连续复利的均值回报率来替代连续复利回报率的均值时，如何计算未来时刻T资产价格大于X的概率？,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,例7-3：假设资产当前价格是50，资产预期回报率为18%，假设连续复利资产回报率的标准差为20%。计算三个月末资产价格大于60的概率。首先，将服从对数正态分布的期末价格转换为标准正态分布的变量值，即然后，将d值代入累积正态概率密度函数N(d)，计算概率,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,当资产支付固定连续收益率i（例如股息收益），这种情况下，仍表示资产价格的预
11、期升值率。资产总预期回报率等于+i。所以需要将总的预期回报率减去i才能得到资产价格的预期升值率。例7-4:假设资产当前价格为50，预期回报率 为18%，支付4%的固定收益。假设连续复利资产回报率的标准差为20%。计算三个月末资产价格大于60的概率。,7.2.3 给定资产价格的临界值计算概率,首先，要注意资产价格的预期回报率 等于其预期总回报率减去固定收益率，即18%4%=14%。然后，将服从对数正态分布的期末价格转换为标准正态分布的变量值，即最后，将d值代入累积正态概率密度函数N(d)，计算概率,7.2.4 计算有条件的预期资产价格,我们已经得到，时刻T无条件的预期资产价格为：假设我们想知道资
12、产价格在大于临界值X时的预期资产价格。在 服从对数正态分布的假设下，可知，在时刻T资产价格大于临界值水平的条件下，有条件的预期资产价格为：,7.2.4 计算有条件的预期资产价格,其中，推导将在后面给出同理：,7.2.4 计算有条件的预期资产价格,等价表达：例7-5: 假设当前的资产价格为50，预期回报率为18%，固定收益率为4%。假设连续复利资产回报率的标准差为20%。计算:(1)三个月末的预期资产价格，(2)三个月末资产价格大于60的条件下资产价格的预期值，(3) 三个月末资产价格小于60的条件下资产价格的预期值。,7.2.4 计算有条件的预期资产价格,三个月后的预期资产价格可直接计算得到：
13、三个月后资产价格大于60的条件下资产价格的预期值为三个月后资产价格小于60的条件下资产价格的预期值为,7.3 欧式看涨期权的定价,BSM微分方程的导出（附录7-E）,（一）假设条件BSM微分方程的推导是建立在以下假设的基础上的：1股价遵循预期收益率和标准差为常数的马尔可夫随机过程2允许使用全部所得卖空衍生证券；3没有交易费用或税金，且所有证券高度可分；4在衍生证券的有效期内没有支付股息等红利；5不存在无风险的套利机会；6证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动；7无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金8只能在交割日执行期权。,（二）Black-Scholes微分方程的建立,假设股票S遵
14、循马尔可夫随机过程：假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的某一函数，由ITO定理得：由于f是S与t的函数，所以上述两组表达式遵循相同的维纳过程： ，所以我们可以选择该股票和衍生证券的组合来消除维纳过程。,我们可以构造这样的投资组合：（1）卖出一份衍生证券；（2）买入 份股票。则该证券组合的价值为：在 时间后，该证券组合的价值变化：,（二）Black-Scholes微分方程的建立,代入，得： (Black-Scholes微分方程),（二）Black-Scholes微分方程的建立,对应于不同基础证券S定义的不同衍生证券，方程有不同的解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件
15、。对于欧式看涨期权，边界条件为：对于欧式看跌期权，边界条件为：B-S微分方程不包含投资者对股票的预期收益 ，从而它独立于风险偏好。,（二）Black-Scholes微分方程的建立,根据风险中性定价理论，欧式看涨期权到期日的期望值为：由于是风险中性的，欧式看涨期权的价格C是这个值以无风险利率r贴现的结果：风险中性下 股价对数服从的正态分布为：（r=),（三）风险中性定价法导出B-S定价公式,记：所以：假设ST的概率密度为gs(y)，则由对数正态分布的概率密度公式得：,（三）风险中性定价法导出B-S定价公式,（三）风险中性定价法导出B-S定价公式,右边第一项为：,（三）风险中性定价法导出B-S定价
16、公式,第二项为：其中：,（三）风险中性定价法导出B-S定价公式,所以：,（三）风险中性定价法导出B-S定价公式,在投资者风险厌恶的前提下，欧式看涨期权的定价是：,7.3.1 Samuelson公式,代入表达式，得： 是到期日执行看涨期权所得预期收益的现值乘以期权盈利的概率。 是执行看涨期权成本的现值乘以期权盈利的概率。缺点：需要估计资产和看涨期权经风险调整的价格升值率。,7.3.1 Samuelson公式,在风险中性的假设下，资产和期权的预期回报率是无风险利率，因此，支付固定收益率i的资产预期价格升值率为s=b(=ri)，b为风险中性的资产价格升值率，看涨期权的预期回报率为 ，将之代入Samu
17、elson公式可得欧式看涨期权的价值为：(BSM公式),7.3.2 Black-Scholes/Merton公式,因为bri，BSM公式经常写为：这个公式涵盖了从无股息支付股票、股票指数、外汇，到期货等一系列基础资产的看涨期权定价。这些不同基础资产的期权定价公式，区别在于风险中性的资产价格升值率参数b不同。当无股息支付时，i0，我们就得到了最一般的BSM公式 ：正如我们之前推导的一样。,7.3.2 Black-Scholes/Merton公式,无股息支付的股票期权：b=r i=0固定股息收益率的股票期权（ Merton模型）: b=r 为股息外汇期权：,若干种期权的定价方法：,期货期权：b=0
18、 F=S期货式期货期权: b =0 r=0全部或无期权：All-Or-Nothing & Cash-Or-Nothing,若干种期权的定价方法：,在不同资产的定价模型当中， d1和d2的表达式的形式会略有不同，但本质上都是一样的。一般化的表达式为：M是期权到期时预期盈利的程度，因此，M等于资产远期价格与期权执行价格的比率。也可将远期价格相应地表示为资产价格的函数，即,d1和d2的等价表达式:,所有这些表达都是等价的d1和d2之间的关系始终不变,d1和d2的等价表达式:,7.4 欧式看跌期权的定价,由中看跌-看涨平价关系式，得：标准化看跌期权也可视为由现金-无效看跌期权和资产-无效看跌期权构成。,7.4 欧式看跌期权的定价,
