1、情形一：积分区域 关于坐标轴对称D定理4 设二元函数 在平面区域 连续，且 关于 轴对称，则(,)fxyDx1)当 （即 是关于 的奇函数）时，有(,)fxy(,)fy.0Dxyd2)当 （即 是关于 的偶函数）时，有(,)(,)fxyf(,)fy. 1,2,DDdxd其中 是由 轴分割 所得到的一半区域。1x例5 计算 ，其中 为由 与 围成的区域。3()DIydxy 2yx解：如图所示，积分区域 关于 轴对称，且3(,)()(,)fxyxyfxy即 是关于 的奇函数，由定理1有.3()0Dfxydxy类似地，有：定理5 设二元函数 在平面区域 连续，且 关于 轴对称，则(,)fxyDy2(
2、,),(,)(,).(,)0, .DDfdxyfxfxyfxyd 当当其中 是由 轴分割 所得到的一半区域。2y例6 计算 其中 为由2,DIxyd所围。2;-0yxyx及解：如图所示， 关于 轴对称，并且，即被积分函数是关于2(,)(,)fxyfxy轴的偶函数，由对称性定理结论有：x.112220 215xDDIydxxyddyd定理6 设二元函数 在平面区域 连续，且 关于 轴和 轴都对称，则(,)f D（1）当 或 时，有(,fxyxy(,)(,)fyfxy.)0Dd（2）当 时,有(,(,)()fxyfxyfxy1,)4,DDdd其中 为由 轴和 轴分割 所的到的1/4区域。1xy9例
3、7 计算二重积分 ，其中 ： .()DIxydD1xy解：如图所示， 关于 轴和 轴均对称，且被积分函数xy关于 和 是偶函数，即有xy，由定理2，得(,)(,)(,)ffxyfxy14)DDIddxy其中 是 的第一象限部分，由对称性知, ，1 1 1Ddxy故 .14()DIxyd14()Dxdy1843情形二、积分区域 关于原点对称定理7 设平面区域 ,且 关于原点对称,则当 上连续函数满足1212D1) 时,有(,)()fxyf 1(,)(,)Dfxydfxyd2) 时,有 .(,)()fxyfx(,)0Dfxyd例8 计算二重积分 , 为 与 所围区域.33xy解:如图所示,区域 关
4、于原点对称,对于被积函数D,有3()fxy,有33,()()()xyxyfxy定理7,得.3()0Dxyd情形三、积分区域 关于直线 对称定理8 设二元函数 在平面区域 连续,且 , 关于直线 对(,)fxy12D1, yx称,则1) ; (,)(,)DDfxydfdxy.1 2,ff2)当 时,有 .(,)()fyxfy(,)0Dfxyd3)当 时,有 .,ff 1,2(,)Df fxyd例9 求 , 为 所围.2()DxyIdab22xyR解:积分区域 关于直线 对称,由定理8,得,2 2()()DDxyyxdxdyabab故 2()I221()()Dyxxdyab221()()Dxyda
5、b 22201()Rr.421()Rab类似地，可得：定理9 设二元函数 在平面区域 连续,且 , 关于直线 对(,)fxyD12D1, yx称,则 （1）当 ,则有 ；()fxy()0fxyd(2)当 ,则有 .(,)()fyxfy 1, (,)DDfdfxdy例10 计算 ,其中 为2()arcsinDIxy D区域: , .010解:如图所示,积分区域 关于直线 对称,且满足yx,()()fyxfy由以上性质,得:.2()arcsin()0DIxdx注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。
