1、概率论研究的对象是什么？,现象,确定现象,随机现象,引 言,第七章 概率论基础,问题提出,1.水从高处流向低处；2.水的沸点摄氏100度(标准大气压下);3.太阳不会从西边升起.,确定性现象: 在一定条件下必然发生(必然不发生)的现象称为确定性现象,随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,例1. 抛掷硬币，出现正面还是反面？,例 2. 车站等车人数。,例 3. 同一种病用同一种药的结果,概率论研究的对象是：随机现象,概率论研究的对象是随机现象，研究随机现象什么问题呢？,在大量试验或观察中, 这种随机现象中出现的各种结果具有一定的统计规律性 , （举例）。概率论就是研究随机现象的数量规
2、律的一门数学学科.,本章主要内容：1、随机事件及其概率2、随机变量及其分布和数字特征3、大数定律和中心极限定理,概率论在气象、生物学、临床医学、数理统计、经济、军事等各个领域有着广泛的应用。,第一节 随机事件及其概率,第二节 概率基本运算法则 及其应用,第三节 随机变量及其概率分布,第四节 随机变量的数字特征,第五节* 大数定律和中心极限定理,7.1.1 随机事件,7.1.2 事件关系及运算,7.1.3 随机事件的概率,第一节 随机事件及其概率,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,7.1.1 随机事件,1. 可以在相同的条件下重复地进行;,2. 每次试验的可能结果不止一个
3、,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,定义1： 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,随机试验（简称试验）,说明 ：随机试验简称为试验，通常用 E 来表示,实例 “抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.,分析:,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 试验的所有可能结果:,字面、花面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,1.“抛掷一枚骰子,观察出 现的点数”.,2.“从一批产品中,依次任 选三件,记录出现正品 与次品的件数”.,同理可知下列试验都为随机试验,3.考察某地区 10 月
4、份的 平均气温.,在随机试验中, 可能出现的结果称为随机事件，简称事件。用A,B,C表示，如掷一枚骰子,所有基本事件组成的集合，成为样本空间，记为，不包含任何基本事件的空集记作 ,事件A与B相等；记作A =B，表示A B并且B A. 例如: ,A + B,AB,AB,几个成立的等式,例1 设有三人做尿常规化验，用A表示至少有一人不正常，B表示三人都正常，C表示三人中恰有一人不正常，试问哪些是对立事件？哪些是互斥事件？B+C,AC,A C各表示何实际意义？,解：事件A与B是对立的，事件B与C和事件A与B均是互斥事件，B +C表示最多一人不正常，AC=C表示恰有一个人不正常，A C表示至少有二人不
5、正常,例2 设A、B、C三事件，则如何表示：1、A发生而B与C都不发生可表示为,2、A与B都发生而C不发生可表示为,3、这三个事件恰好发生两个可表示为,4、这三个事件不多于一事件发生可表示为,5、A、B、C不都发生可表示为,定义2：大量重复试验（观察）次，出现m次，事件A的频率为：频率W(A)=,一、频率和概率的统计定义,7.1.3 随机事件的概率,1.非负性：0W(A) 1,3.可加性: 若A与B是两个不会同时发生的事件，以A+B表示A或B至少出现其一这个事件，则 W(A+B)=W(A)+W(B),频率的性质：,2.规范性: 为必然事件，则 W()=1， 为不可能事件，则W()=0,例3 表
6、7-1 掷币试验,结论：大量重复试验，出现正面频率接近50%。思考：少量的试验（如7次）能否出现同样结果？,例4 表7-2 英文字母使用频率分布,结论：可能性的大小具有稳定性,注1：频率与试验有关，是不确定的数，但概率是事件的客观属性，是确定的数.注2：给出一个求概率的方法,如果在某一组条件下，当试验次数越来越多，事件A出现的频率稳定在某一常数p附近作微小摆动，称常数p为事件A的概率。记作P(A)=p.,定义3（概率的统计定义）,例5人类的血型可以分成A、B、O和AB四种类型，伦敦的一个血液中心记录了若干年里供血者的血型，其O型频率0.467，A型频率0.417，B型频率0.086，AB型频率
7、0.030，那么以频率表示概率，从英国人中随意抽出一人验血型是B型的概率为：P（B）=0.086，同理P（AB）=0.03， P（O）=0.467， P（A）=0.417,医学应用,1.非负性：0P(A) 1,2.规范性: 为必然事件，则 P()=1，为不可能事件，则P()=0,3.可加性: 若A与B是两个不会同时发生的事件，以A+B表示A或B至少出现其一这个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B),（统计）概率的性质：,二、概率的古典定义,定义4：若随机试验有且只有n个基本事件，且每个基本事件的概率都为1/n, 则称为等概基本事件组.如B事件是其中m个基本事件之和，则B发生的概率为: P(
8、B)=m/n,例6 瓶中装有30片药，其中6片已经失效，现从瓶中任取5片，求其中2片失效的概率？,解：设B为“现从瓶中任取5片，其中2片失效”的事件 n=C305=142506 m=C62C243=30360,P(B)= C62C243 /C305=0.213,例7 设有n个球，每个都能以同样的概率1/m落到m个格子（mn）的每一个格子中，试求:,2.任何n个格子中各有一球的概率？,1.指定的n个格子中各有一球的概率；,解：每个球可落入m（n）个格子中的任一个,n个球在m个格子中的排列相当于从m个元素中选取n个进行有重复的排列，,故共有mn种基本事件总数,第一题，n个球在指定的n个格子中全排列
9、n！因此概率为n！/mn,第二题，从m个格子中任意选出n个格子，有Cmn种，对于每种选定的n个格子，如第一题的全排列n！，所求基本事件的个数为Cmnn!,故概率为Cmnn！/ mn,第二节 概率基本运算法则 及其应用,7.2.1 概率的加法定理,7.2.2 条件概率和乘法公式,7.2.3 事件的独立性,7.2.4 全概率公式与贝叶斯公式,问题提出,则 A+B包含的基本事件共有M1M2个，于是得,证：,按概率的古典定义来证明,设试验的可能结果是由N个基本事件总数构成，其中事件A包含M1个，事件B包含M2个，,由于事件A与B互不相容，所以A包含的基本事件与B包含的基本事件一定是完全不相同的，,7.
10、2.1 概率的加法定理,定理1 两个互不相容事件A与B的和事件的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和，即P(A+B)P(A)+P(B)。,推论1 若A1, A2,，An是n个两两互不相 容事件，则有 P(A1+A2+An) P(A1)+P(A2)+P(An),推论2 事件A的逆事件 的概率为,定理2 设A，B为任意二事件，则P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB),证明：如图 A+B=A+(B-A) B=AB+(B-A),事件A与事件B-A互不相容，事件AB与事件B-A互不相容,根据定理1 得P(A+B)=P(A+(B-A)=P(A)+P(B-A) P(B)=P(AB+(B-A)=P(AB
11、)+P(B-A),所以 P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB),推论3 若A，B，C为任意三个事件，则P(A+B+C)P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(AC)-P(BC)+P(ABC),例8 一批针剂共50支，其中45支是合格品，5支是不合格品，从这批针剂中取3支.求其中有不合格品的概率。,解: 设A为“取到3支针剂中有不合格品”事件, Ai为“取到3支针剂中有i支是不合格品”事件,i=1,2,3,显然A1,A2,A3互不相容,且A= A1+A2+A3,由定理1知P(A)=,另解法:由推论2可得P(A),P(A1)+P(A2)+P(A3),= 0.276,例9 胃癌病人接受过
12、手术(A)、放疗(B)、中药治疗(C)的各有1/2同时受过两种治疗方法的各有1/4 ，接受过三种治疗有1/8，另有部分病人因误诊等原因而未得到治疗，这样的可能性有多大?,解：先求至少得到一种治疗的概率,于是所求的概率,722 条件概率和乘法公式,有许多实际问题，除要知道事件B的概率外，往往还要知道在事件A已发生的条件下B出现的概率则这种概率可认为条件概率,简记为P(BA)。,例如，在美国某大学高血压研究中心就诊的306名有末端器官损害的高血压病人，按严重程度和有无心绞痛分类。各组病人数如下表,以A表示任选一名高血压病人是重型患者，以B表示病人无心绞痛史， P(A)=45306，P(B)281/
13、306，P(AB)38/306,如果已经知道一名病人是重型，且无心绞痛史的条件概率P(BA)是多少?,重型且无心绞痛的人数,重型人数,重型且无心绞痛人数占总人数的概率,重型人数占总人数的概率,定义5 对事件A，B， 若P(A)0，则称 P(B/A)P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B的条件概率,同理 对事件A，B， 若P(B)0，则称 P(A/B)P(AB)/P(B)为在事件B发生的条件下事件A的条件概率,定理3 两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积： P(AB)P(A)P(BA)P(B)P(AB),概率的乘法公式可以推广有限多个事件的
14、情形。例如，对于三个事件A,B,C P(ABC)P(AB)C)P(AB)P(C/AB) P(A)P(BA )P(C/AB),例10 在某一人群中，聋子(A)的概率是0.005，盲人(B)的概率是0.0085，而聋子中是盲人的概率为0.12，求盲人中聋子的概率?,解： P(A)=0.005 P(B)=0.0085 P(B/A)=0.12 P(A/B)=?,P(A/B)=,7.2.3事件的独立性,对于任意事件A，B,通常条件概率P(BA)与概率P(B)是不相等的，即一个事件发生改变了另一个事件发生的概率，说明事件A与B有联系，但是生活中也有另外的一种情况存在，一个事件的发生与否不会影响另一事件的概
15、率(P(BA)P(B)。,问题提出,定义6 设A，B 两事件，如果P(BA)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。,若A与B相互独立，则P(BA)=P(B)，又有乘法公式P(AB)P(A)P(BA)于是，P(AB)P(A)P(B)成立。反之亦然。,定理4 事件A与事件B相互独立的充分必要条件是P(AB)P(A)P(B).,例11 有种治疗流行性感冒的新药，在500名流行病人中，有的服了这种药(A)，有的没有服这种药( )，经5天后，有的痊愈(B)，有的未痊愈( )，各种情况的人数见下表，其中170表示服药后痊愈(AB)的人数，其余类似。试判断这种新药对流感是否有效？,解：,因为P(B)与P(B
16、/A)几乎相等，故认为A与B相互独立。表明服药和不服药对疗效影响不大，新药对流感没有意义。,例12 考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，第一次出生的是女孩的用A表示，第二次出生是男孩的B表示，说明A与B二事件是否相互独立。,解： 两个孩子家庭按出生先后顺序排列共有四种可能结果：(女、女)，(女、男)，(男，女)，(男，男)；P(A)=2/4 P(B)2/4 P(AB)1/4 显然P(AB)P(A)P(B)，所以A与B相互独立，即A发生的条件下，不影响B的概率。,例14 某药厂的针剂车间灌装批合格注射液，需经4道工序，从长期生产经验知，由于切割时掉入玻璃屑成废品的概率为0.4。由于安 洗涤
17、不洁成废品的概率为0.2灌装时污染剂液成废品的概率为0.1，由于封口不密成废品的慨率为0.6，求四道工序都合格概率。,解: 4个工序相互独立。设Ai表示“第i道工序合格品”，i=1,2,3,4,P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=(1-0.004)(1-0.002)(1-0.001) (1-0.006)=0.9871,7.2.4 全概率公式与贝叶斯公式,定理5（全概率公式）设A1 A2,An是两两互不相容事件，且P(Ai)0；,A2,A1,A3,A5,A4,An,B,证明： 如图,A1 A2,An是两两互不相容事件,例15 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已
18、知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的该种X光片的次品率分别是 110，115，120，从这10盒中任取盒，再从取出的这盒中任取一张X光片，抽到的X光片是正品的概率?,解： 设A1,A2,A3分别表示取得的X光片是甲、乙、丙厂生产的，B表示x光片是正品。,P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20,例17 设某医院仓库中有10盒同样规格的x光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的该种x光片的次品率分别是 110，115，
19、120,从这10盒中任取一张X光片是正品，问抽到的X光片是甲厂生产的概率?,解： 设A1,A2,A3分别表示取得的x光片是甲、乙、丙厂生产的，B表示x光片是正品。,P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 问P(A1/B)=?,定理6（贝叶斯公式）设A1 A2,An是两两互不相容，且P(Ai)0，P(B)0,例16 经大量临床应用知道，某种诊断肝癌的试验有下述效果：“试验反应为阳性”记为事件B，“被诊断患肝癌”的事件为A。据统计资料，肝癌患者试验反应为阳性的概率为0.94，即真阳性率为P
20、(BA)0.94，非肝癌患者试验为阴性的概率为0.96，即真阴性率为P( )0.96，对一群人进行癌症普查，假设被试验的人群中(指某一地区)患肝癌的发病率为0.003，今有一人经试验反应为阳性，求此人患肝癌的概率？,解：依题意，P(A)=0.003 P(B/A)=0.94P( )=1-P(A)=0.997,结论是:试验为阳性的人确实患肝癌的可能性并不大，仅为6.6。,例18 为探讨乳腺肿块的鉴别诊断,调查了186个病例,根据病理报告,其中乳癌(A1)29例,纤维腺瘤(A2)92例,乳腺病(A3)65例,由此可得各病的概率如下:P(A1)=29/186=0.1559 P(A2)=92/186=0
21、.4946 P(A3)=65/186=0.3495在各种并发病的条件下,有关重要症候出现的概率的经验估计如下表:,解：该病例所出现的有关症候表现的具体组合可用符号表示为：B=B11B21B32B41B53B61,假设各症候表现的出现与否彼此独立，则根据独立事件概率可得P(B)=P(B11)P(B21)P(B32)P(B41)P(B53)P(B61)在A1发生的条件下，B出现的概率,根据贝叶斯公式，可得在症候B表现的条件下，乳癌A1发生的概率,这说明是乳腺病的可能性最大，所以诊断该患者为乳腺病。,探讨乳腺肿块的鉴别诊断,我们用变量X 表示，,例2：抛一枚硬币，结果分为“正面”、“反面”,7.3
22、随机变量及其概率分布,目的：将随机试验的结果数量化以便于研究!,例1：生化检验结果分阳性和阴性，,X=0表正面；X1表反面。,X=0表阴性；X1表阳性。,将不同问题转化为研究相同取值的随机变量,例3 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,例1 观察投掷一个骰子出现的点数.,定义7 若对于随机试验的每一个可能的结果e，都有唯一的实数x(e)与之对应，则称x(e) 为随机变量，简记为x。,随机变量的分类,离散型：,取值为有限个或无限可列个；,取值为某一区间或整个实数轴。,连续型:,随机变量 X 的可能值是 :,1, 2, 3, 4, 5, 6.,例
23、2 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,则 X 的取值范围为,7.3.2 离散随机变量的概率分布和连续随机变量的概率密度函数,一、离散随机变量的概率分布,定义8 设X为个离散随机变量，可能取值为x1,x2,这些值对应的概率为P(X=xk)=pk(k=1,2),例19设盒中有2个白球3个黑球，从中随机取3个球，求抽得白球数的概率分布？,解：令X表示抽得的白球个数，由于只有2个白球，所以随机变量X可能取0、1、2数值，其相应概率为：,或者写成分布列,二连续随机变量概率密度函数,1频率直方图简介,例如为了研究某地区12岁男孩身高情况， 随机地抽取120名男孩测得身高数据见表76：,表7-6 120名1
24、2岁男孩身高数据（单位：）,表7-7 频率分布表,2连续随机变量的概率密度函数,定义9 对于连续随机变量x，如果存在非负可积函数f(x)，使对任意实数a,b(ab)，都有,则称f(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度.,概率密度函数的性质,这个频率直方图有明显的特点，所有的矩形面积之和等于1，且矩形面积就是频率。,解：由概率密度函数的性质:,=a/2,因此，a=2，将其代入到密度函数中，得,7.3.3 随机变量的分布函数,对于离散型随机变量：F(x)=PXx=,对于连续型随机变量：F(x)=PXx=,实际生活中有时也要解决随机变量,X,在区间,(-, x,上,取值的概率，,例21
25、求本章例19中的分布列,的随机变量X的分布函数,解：当x0时，Xx是不可能事件，,=0,F(x)=PXx=,当0x1时， F(x)=PXx=PX=0=0.1,当1x2时， F(x)=PXx=PX=0+PX=1=0.7,当x2时， F(x)=PXx=1,（2）分布函数F(x)的导数就是密度函数f(x).,连续随机变量密度函数与分布函数关系是：,（1）密度函数f(x)的积分就是分布函数；,解:F(x)=PXx=,当0x1时，F(x)=,当x1时， F(x)=1,当x 0时，F(x)=0,=x2,一、二点分布,7.3.4五种常见的随机变量分布,离散型随机变量：二点分布、二项分布、泊松分布；连续型随机
26、变量：均匀分布和正态分布。,二、 二项分布,例如：重复n次抛一枚硬币；某药治某病分治愈或不治愈两种结果，对n个病人进行治疗；这些试验均属于n重伯努利试验。,求在3次重复试验中事件A刚好出现2次的概率?,，,例23 在100升经消毒的自来水中，只能含有10个大肠杆菌，今从中取出l升水进行检验，问在这一升水中检出 2个大肠杆菌的概率是多少?如果真的检查出有2个大肠杆菌，问这水是否合格?,=,(0.01)2(0.99)10-2=0.0041,根据小概率原理：小概率事件在一次试验中不可能发生，所以认为这水是不合格的。,例24 据报道，有10的人对某药有肠道反应，为考核该药疗效，现任选5人用此药，试求：
27、 (1)有肠道反应的人数的概率分布；,解： 设服药后有反应事件为A，则P(A)=0.1，P( )=0.9， 设5人中有肠道反应的人数为随机变量X，因此，,（1）XB(5,0.1)，即 = (0.1)k(0.9)5-k （k=0,1,2,5）,(2)不多于2人有肠道反应的概率；,(3)有人有反应的概率？,（3）PX1=1-P5(0)=1-0.59049=0.40951,三、 泊松分布,数学历史,适用条件:稀疏现象，如稀有元素含量；低发病的发病人数；单位时间内交换台呼叫的次数等 (n50)很 大，(p0.05)较小，,泊松(1781-1840) 法国数学家,青年时期曾学过医学,后因喜好数学于179
28、8年入巴黎综合工科学院深造。他的数学才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其单摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。 他对积分理论、热物理，弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。,例25 用车运送500件针剂药品，在运输途中药品受损坏的概率为0.002，(1)求运输途中小于3件药品损坏的概率；(2)求运输途中多于3件药品损坏的概率，(3)求运输途中恰有2件药品损坏的概率。,解： 设药品在运输途中损坏的件数为随机变量X，从而，XB(500,0.002),由于n=500很大，p=0.002很小
29、。所以可用泊松粉不近似计算，=np=1，查附录，所求的概率为：,四、均匀分布,性质：X落在a,b任意等长的子区间内的概率相等,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,3. 正态分布,正态概率密度函数的几何特征,正态分布的分布函数,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,正态分布的性质,一般正态分布函数通过变量代换可转化成标准正态分布,同理可计算另两个问题的解,思考题,学生A参加SAT中的数学部分考试，得分700分。SAT的分数
30、X服从正态分布N(500，1002)；学生B参加ACTP考试得了24分，而ACTP的分数Y服从正态分布N(18，62)，就考试得分而言，谁考得更好?,解题过程,显然A学生的成绩好,第四节 随机变量的数字特征7.4.1 随机变量的数学期望及其性质 一、数学期望的概念 二、五个常见分布的数学期望 三、数学期望的性质7.4.2 随机变量的方差及其性质 一、方差的概念 二、方差的性质 三、五种常见分布的方差 四、标准差及变异系数,一、数学期望的概念,实例：某班40人，其身高为随机变量X，X的分布情况如下,定义16 设X是离散型随机变量,其值取x1,x2,对应的概率为p1,p2,如果级数,存在,把他称为
31、X的数学期望,记作E(X),定义17 设X是连续型随机变量, 概率密度函数为f(x),如果积分存在,则把这个积分值称为X的数学期望,记作E(X),二、五种常见分布的数学期望1.两点分布的E(X),二、五种常见分布的数学期望,2.二项分布的E(X),二、五种常见分布的数学期望,3.泊松分布的E(X),4.均匀分布的E(X),二、五种常见分布的数学期望,5.正态分布的E(X),二、五种常见分布的数学期望1.两点分布的2.二项分布的3.泊松分布的4.均匀分布的5.正态分布,三.数学期望的性质设X,Y分别是随机变量,a,b,c是常数,由数学期望的定义容易得出下列性质.,例29 某种病毒性传染病可通过验
32、血检查。某单位为职工进行普查，共有1000人需要验血。假设一般人群中该病的阳性者比例为p0.1。医务人员把4个职工分为一组，把4人的血液混合检查，如果混合血样是阴性的，这样，4个人平均每人化验1/4次；如果混合血样是阳性的，则对4个人再逐个分别化验，这样4个人共作5次化验，相当平均每人化验5/4次。假定不同人之间的反应相互独立的，这种分组化验比以往每人化验1次可减少多少工作量?,解:4人混合成的血呈阴性反应的概率为 ;阳性为 设平均每人化验次数为随即变量X,则分布列为,试问哪个射手技术较好?,思考题 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,7.4.2 随机变量的方差及其性质一、方差的概念
33、二、方差的性质三、五种常见分布的方差四、标准差及变异系数,在许多实际问题中，除了考虑随机变量的数学期望外，还要研究随机变量以E(x)为中心的分散程度，比如生物体内的脉搏、血压及血球波动过大，表明该生物体处于病态。为了刻划随机变量x与数学期望的这种分散程度，通常用 XE(x)2 来表示,一、方差的概念定义18 设随机变量X的E(x)存在，若期望 存在，则把它称为x的方差，记为D(X)。,这个定义对离散型和连续型随机变量都是统一的，但具体表达形式不同。对离散型连续型,对离散型和连续型随机变量计算方差还有下述公式:,二. 方差的性质1.D(c)0，即常数c的方差为0；2.D(cX)c2D(x)；3.
34、D(X十b)D(X)；4.若X、Y相互独立，则D(X+Y)D(X)+D(Y),三、五种常见分布的方差1、二点分布,三、五种常见分布的方差,2、二项分布,3、泊松分布,三、五种常见分布的方差,4、均匀分布的方差,三、五种常见分布的方差,5、正态分布的方差,例30 在同样的条件下，用两种方法测定某一容器内细菌个数(单位：万)为随机变量，分别用Xl、X2表示，由大量测定结果得到分布列如下表，试比较两种方法的精度?,解：两种方法的数学期望是相同的，都是50， 为了比较精度，还要考虑方差的大小经过计算D(X1)=2*0.1+1*0.1+0*0.6+1*0.1+2*0.1=1D(X2)=2*0.2+2*0
35、.2+2*0.2+2*0.2+2*0.2=2显然方法2的精度高,分布,参数,数学期望,方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,三、五种常见分布的方差,四、标准差及变异系数定义19 设随机变量X的方差为D(X)，则称 为X的标准差，记做 ，即 =,定义20 设随机变量X的数学期望为E(X), 标准差为 ，则称 为变异系数，记为CV(X).可以用百分数表示。,例31 某地20岁男子，其身高均数(数学期望)为166.06cm，标准差为4.95cm；其体重均数为53.72kg，标准差为4.96kg.试问该地区20岁男青年身高与体重的变异程度是否可认为相同?,解：设该地20岁男子身高和体
36、重都是随即变量，分别用X1,X2表示,由此可见，体重变异大于身高变异，或者说身高比体重均匀。,7.5* 大数定律和中心极限定理,大数定律和中心极限定理是数理统计、医学统计学、社会统计学的理论基石，并在工农业生产和科研中有广泛应用。,一、大数定律 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律（law of large numbers）.它是概率论和数理统计最基本最重要的核心定理。,定理8 （切贝雪夫大数定理）设随机变量 相互独立且服从同一分布，并且具有相同的有限数学期望 和方差 ，作n 个随机变量的算术平均数 ，则对任意 ，有,定理7 （伯努利大数定理）设m是n 次独立
37、重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，则对任意 ，有,切贝雪夫大数定律指出，n 充分大，经过算术平均以后得到随机变量可作为数学期望的估计。,伯努利大数定律指出，n充分大，通过随机试验确定某事件发生的频率可作为该事件的相应概率的估计,二中心极限定理,概率论中有关论证随机变量 的和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理。,从而 近似服从正态分布。也可解释为：若被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可以认为这个随机变量实际上是近似服从正态分布的。 生物医学中很多随机变量均服从正态分布就是这个原因。,大数定律和中
38、心极限定理是概率论与数理统计联系的核心定理，他们不仅是理论研究的依据，而且对数理统计和多变量分析在实际上的应用起到重要作用。知道这些定理的意义，会更加深刻掌握概率论的基础知识。,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(b1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。,课堂练习：,在伯努利大数定理中，求证：,证明 因为,由伯努利大数定理论，,就得到此题结果。,在中心极限定理中，,为什么 近似服从正态分布,答：在中心极限定理中，,服从标准正态分布,由相互独立性知,很大，,就近似服从正态分布,
