1、函数值域复习-日期函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1. 求函数 x1y的值域。解： 0显然函数的值域是： ),0(),(例 2.
2、求函数 x3y的值域。解： 0,x故函数的值域是： ,2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数 2,1x,52y的值域。解：将函数配方得： 4)( ,1x由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ymin，当 1x时， 8ymax故函数的值域是：4，83. 判别式法例 4. 求函数 2x1y的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程0)(x)(2（1）当 时， R1y4解得： 23（2）当 y=1 时， 0x，而 23,函数值域复习-日期故函数的值域为 23,1例 5. 求函数 )x(y的值域。解：两边平方整理得： 0y)1(22（1） Rx 08)1(42解得：
3、 y但此时的函数的定义域由 0)x2(，得 2x由 0，仅保证关于 x 的方程： 0y)1(2在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比 y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 3,。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 2x00)(y1,min代入方程（1）解得：2,x4即当 21时，原函数的值域为： 1,0注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数 6x543值域。解
4、：由原函数式可得： 3y56则其反函数为： x4，其定义域为： 53x故所求函数的值域为：5,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数 1eyx的值域。函数值域复习-日期解：由原函数式可得： 1yex 0ex 1y解得： 故所求函数的值域为 )1,(例 8. 求函数 3xsincoy的值域。解：由原函数式可得： y3xcosi，可化为：)(i12即 1yxsn2 R ,)(i即 1y32解得： 4故函数的值域为 2,6. 函数单调性法例 9. 求函数 )10x2(log2y35x的值域。解：令 ,1则 2,在2，10上都是
5、增函数所以 在2，10上是增函数当 x=2 时， 812logy3min当 x=10 时， 95ax故所求函数的值域为： ,81例 10. 求函数 xy的值域。解：原函数可化为： 12令 1,x21，显然 2y,在 ,上为无上界的增函数所以 y， 在 ,上也为无上界的增函数函数值域复习-日期所以当 x=1 时， 21y有最小值 ，原函数有最大值2显然 0y，故原函数的值域为 ,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数 1xy的值域。解：令 t1x
6、， )0(则 t2 43)2t(又 0t，由二次函数的性质可知当 时， 1ymin当 t时， 故函数的值域为 ),例 12. 求函数 2)1x(2xy的值域。解：因 0)1(即 2故可令 ,cos 1cosiny21)4sin(250,21)4sin(20故所求函数的值域为 ,0例 13. 求函数 1x2y43的值域。解：原函数可变形为： 22x可令 tgx，则有2cos1,sinx14cosin2y函数值域复习-日期当 82k时， 41ymax当时， in而此时 tan有意义。故所求函数的值域为 41,例 14. 求函数 )1x)(cos(siny， 2,的值域。解： 1xicosin令 t
7、，则)t(2csi2)1t(2)1t(y由 4/xsincoxsin且 ,可得： 2t当 t时，3ymax，当 2t时， 243y故所求函数的值域为 ,24。例 15. 求函数 x5y的值域。解：由 0x52，可得 |故可令 ,cos4)sin(10i4y 05当 4/时， 104ymax当 时， in故所求函数的值域为： ,58. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。函数值域复习-日期例 16. 求函数 22)8x()(y的值域。解：原函数可化简得： |8x|2|y上式可以看成数轴上点
8、 P（x）到定点 A（2） ， )(B间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|A|8x|y当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |B2故所求函数的值域为： ,10例 17. 求函数 5x43x6y22的值域。解：原函数可变形为： 2)10()()0()3x(上式可看成 x 轴上的点 ,P到两定点 ),(B,3A的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 43)12(3|ymin ，故所求函数的值域为 ,43例 18. 求函数 5x413x6y22的值域。解：将函数变形为： 222)10()()0()( 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x
9、，0）的距离与定点 ,B到点 )0,x(P的距离之差。即： |BP|y由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 26)1()23(| 即： 6y2（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 26|AB|P|综上所述，可知函数的值域为： ,(注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两函数值域复习-日期侧，而求两距离之差时，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， )1,2(，在 x 轴的同侧；
10、例 18 的A，B 两点坐标分别为（3，2） ， )1,(，在 x 轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式 abc3a,b2a)R,(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19. 求函数4)xcos1()xsin1(iy22的值域。解：原函数变形为： 52xcottan3se1si)cox(in22222当且仅当 即当 4k时 )z(，等号成立故原函数的值域为： ,5例 20. 求函数 x2siny的值域。解： coxsi4n227643/)xsin2xsi(i8(i12当且仅当 xsin2xsin2，即
11、当 32si时，等号成立。由 764y2可得： 98y3故原函数的值域为： ,10. 一一映射法原理：因为)0c(dxbay在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。函数值域复习-日期例 21. 求函数 1x23y的值域。解：定义域为 21x|或由 1x23y得 3y2故或 21x解得 2y3或故函数的值域为,3,11. 多种方法综合运用例 22. 求函数 3x2y的值域。解：令 )0t(t，则 1t2（1）当 t时， t1t2，当且仅当 t=1，即 1x时取等号，所以2y0（2）当 t=0 时， y=0。综上所述，函数的值域为： 21,0注：先换元，后用不等式法例 23. 求函数 423x1y的值域。解： 42x1令 2tanx，则22cosxsi1 1sin2sin21coy674si函数值域复习-日期当 41sin时， 167ymax当 时， 2in此时 2ta都存在，故函数的值域为 167,2注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
