1、1函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数 中的自变量 x 的范围。 yfx求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的底数大于 0,且不等于 1 (5)y=tanx 中 xk+/2;y=cotx 中 xk 等等。( 6 ) 中 x0二、值域是函数 中 y 的取值范围。 yf常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法)(7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法(10)不等式法 (11)平方
2、法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例 1 求下列函数的定义域: ; ; 21)(xf 23)(xf xxf21)(解:x-2=0,即 x=2 时,分式 无意义,1而 时,分式 有意义,这个函数的定义域是 .x |3x+2 定义域为:37|例 3 若函数 的定义域是 R,求实数 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆 axy12解:定义域是 R, 为023 20142aa等 价 于例 4 若函数 的定义域为1,1 ,求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(xfy )41(xfy)(f解:要使函数有意义,必须: 345314xxx函数 的定义域为:)(fy
3、)(f 4|例 5 已知 f(x)的定义域为 1,1,求 f(2x1)的定义域。分析:法则 f 要求自变量在1,1内取值,则法则作用在 2x1 上必也要求 2x1 在 1,1内取值,即12x11, 解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x1)中 2x1 与 f(x)中的 x 位置相同,范围也应一样,12x11,解出 x 的取值范围就是复合函数的定义域。(注意:f(x)中的 x 与 f(2x1)中的 x 不是同一个 x,即它们意义不同。 )解:f(x)的定义域为1,1,12x 11,解之 0x1,f(2x1)的定义域为0,1。例 6 已知已知 f(x)的定义域为 1,1
4、,求 f(x2)的定义域。答案:1x 21 x21 1x1练习:设 的定义域是3, ,求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(f )2(xf解:要使函数有意义,必须: 得: 2x21x 0 x460 函数 的定域义为:)2(f 2|例 7 已知 f(2x1)的定义域为0 ,1,求 f(x)的定义域因为 2x1 是 R 上的单调递增函数,因此由 2x1, x0,1求得的值域1,1是 f(x)的定义域。已知 f(3x1)的定义域为 1,2) ,求 f(2x+1)的定义域。 )2,5(提示:定义域是自变量 x 的取值范围)4练习:已知 f(x2)的定义域为1 ,1,求 f(x)的定义域若 的定义
5、域是 ,则函数 的定义域是 ( )yfx0,212fxfx 1,1, , 10,2已知函数 的定义域为,函数 的定义域为,则 ( )xfyfx B AABAB2、求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R,值域为 R;反比例函数 的定义域为x|x 0,值域为y|y 0;)0(kxy二次函数 的定义域为 R,)2acbf当 a0 时,值域为 ;当 a0, = ,xy12)(当 x0 时,则当 时,其最小值 ;ax2abcy4)(2min当 a0)时或最大值(a0)时,0)(0f再比较 的大小决定函数的最大(小)值.),bfa若 a,b,则a,b 是在
6、 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值.0x)(xf )(,bfa321-1-23 654321-2 xOy6注:若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习:1、求函数 y=3+(2 3x)的值域解:由算术平方根的性质,知(23x) 0,故 3+(23x)3。函数的值域为 .,2、求函数 的值域5,02xxy解: 对称轴 120,45,maxin值 域 为时时yx例 3 求函数 y=4x1-3x(x1/3)的值域。解:法一:(单调性法)设 f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3
7、),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为 x1/3 上也为增函数,而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为y|y4/3 。小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习:求函数 y=3+4-x 的值域。( 答案:y|y 3)法二:换元法(下题讲)例 4 求函数 的值域 xy12解:(换元法)设 ,则t )0(12tty2,1,0max值 域 为 ,时当 且 开 口 向 下,对 称 轴 yt点评:将无理函数或二次型的函数转
8、化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习:求函数 y=x-1 x 的值域。 (答案:y|y 3/4例 5 (选)求函数 的值域xy53解:(平方法)函数定义域为: ,72,4,21,05853)(222原 函 数 值 域 为得由yxx例 6 (选不要求)求函数 的值域21xy解:(三角换元法) 设,0cosx2,12,1)4sin(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结:(1)若题目中含有 ,则可设a)0,cos(2,sin a或 设(2)若题目中含有 则可设 ,其中1bsin,ba20(3)若题
9、目中含有 ,则可设 ,其中2xcosx0(4)若题目中含有 ,则可设 ,其中ta2(5)若题目中含有 ,则可设),0(ryxry 2sin,cosryrx其中 2,0例 7 求 的值域13xy解法一:(图象法)可化为 如图, 3,412,xy观察得值域 解法二:(零点法)画数轴 利用 可得。在 数 轴 上 的 距 离表 示 实 数 baba,解法三:(选) (不等式法)-1 0 3-1 0 1 34-4xyx8同样可得值域4114)(13)(3xxxx练习: 的值域呢? ( ) (三种方法均可)y ,例 8 求函数 的值域),0(29xx解:(换元法)设 ,则 原函数可化为t331t8,28,
10、;12, maxmin2值 域 为 时时 对 称 轴ytyty例 9 求函数 的值域xy231解:(换元法)令 ,则1)(22xxt )1(3ty由指数函数的单调性知,原函数的值域为 ,3例 10 求函数 的值域)0(2xy解:(图象法)如图,值域为 1,例 11 求函数 的值域2xy解法一:(逆求法) 112, yyx原 函 数 值 域 为观 察 得解 出解法二:(分离常数法)由 ,可得值域123x小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为)0(cdxbay;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) ,采用部分分式法将原函数化为c,用复合函数法来求值域。)(b
11、cadxbay例 12 求函数 的值域13x解法一:(逆求法) 10yyx1,0原 函 数 的 值 域 为0 11tt10 xy9小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。解法二:(换元法)设 ,tx13则 113tyxx001ytt原 函 数 的 值 域 为练习:y= ;(y(-1,1) ).12x例 13 函数 的值域2解法一:(逆求法) 1012 yyx,为解法二:(换元法)设 ,则 tx2原 函 数 值 域 即 得 101ytt解法三:(判别式法)原函数可化为 010)(2yx1) 时 不成立y2) 时,)1(40yy1y综合 1) 、2)值域 |解法四:(三角换元
12、法) 设 ,则Rx2,tanx1,2cos,2costa12 y 2 0 1t2t10原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425xy解法一:(判别式法)化为 0)53(2yxy1) 时,不成立0y2) 时, 得50)53(8)4( yy0综合 1) 、2)值域 |y解法二:(复合函数法)令 ,则tx342ty51)(t所以,值域50y 50|y例 15 函数 的值域1xy解法一:(判别式法)原式可化为 1)(2xy,31,04)(02原 函 数 值 域 为 或y解法二:(不等式法)1)当 时,x32yx2) 时,0x 1)(1x综合 1)2)知,原函数值域为 ,31,例 16 (选) 求函数 的值域)(22xxy解法一:(判别式法)原式可化为 02(2yx ,210)4)(02原 函 数 值 域 为 舍 去 或yxy51 tt0