1、1求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义:设集合 A 和 B 是非空数集,按照某一确定的对应关系 f,使得集合 A 中任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应。则称 f:为 A 到 B 的一个函数。2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是确定的对应关系(f),集合 A 的取值范围。由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围y|y=f(x),xA。3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是:(1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。(2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法” ;
2、一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。(1 )明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合:y|y=f(x),xA。(2)明白定义中集合 B 是包括值域,但是值域不一定为集合 B。二、求函数定义域(一)求函数定义域的情形和方法总结1 已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。(1)常见情况简总:表达式中出现分式时:分母一定满足不为 0;表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于 0(非负数) 。2表达式
3、中出现指数时:当指数为 0 时,底数一定不能为 0.根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于 0.表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有 x,必须满足指数底数大于 0 且不等于 1.(01)表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于 0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于 0,底数要大于 0 且不等于 1.()2()log(1)xf注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。(2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形如: )2(xf练习
4、1、求下列函数的定义域: 2153xy1、 (1) |536xx或 或3 21()xy(2) |0x 021(2)4yxx(3) 1|20,2xxx且2.抽象函数(没有解析式的函数)解题的方法精髓是“换元法” ,根据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为:(1)给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围;4(2)在同一个题中 x 不是同一个 x;(3)只要对应关系 f 不变,括号的取值范围不变。(4)求抽象函数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围,及括号的取值范围。例 1:已知 f(x+1)的定义域为-1,1,求 f(2x-1)的定义
5、域。解:f(x+1)的定义域为-1,1;(及其中 x 的取值范围是-1,1) ; (x+1 的取值范围就是括号的取值范围)02xf(x)的定义域为0,2;(f 不变,括号的取值范围不变)f(2x-1)中021x 3f(2x-1)的定义域为 13|2x练习2、设函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为()fx01, 2()fx_、 ; _;函数 的定义域为_ _; 1,(f4,93、若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是 (1)fx23, (21)fx5;函数 的定义域为 50,;21(2)fx1(,)32。3.复合函数定义域复合函数形如: ,理解复合函数就是可以看作由几个我们()yfgx熟悉的
6、函数组成的函数,或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例 2: ()(2,3)(1)(2),fxfxf若 函 数 的 定 义 域 为求 g的 定 义 域 。分析:由题目可以看出 g(x)是由 y=x+1、y=x-2 和 y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算,所以只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出 f(x+1)和 f(x-2)的定义域的交集即可。解:由 f(x)的定义域为(-2,3) ,则f(x+1)的定义域为(-3,2) ,f(x-2)的定义域为(0,4) ;,解得 0x23204x所以,g(x)的定义域为(0,2
7、).(一)求函数值域方法和情形总结1.直接观察法(利用函数图象)6一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出 y 值的取值范围。练习(1) 求值域。 23yx1,2x0,5y2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在定义域范围内(以 a0 为例) ,此时对称轴的地方为最大值,定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值;对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点:(1)含参数的二次型函数,首先判断是否为二次型,即讨论 a;(2)a 不为 0 时,讨论开口方向;(3)注意区间,即讨论对称轴。例 1:求 2()46fx在 1,5上 的
8、值 域 .解:配方: 2)ff(x)的对称轴为 x=2 在1,5中间min(2)yf(端点 5 离 x=2 距离较远,此时为最大值)7max(5)1yf所以,f(x)的值域为2,11.练习(2) 求值域。23yx()xR|4y3.分式型(1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量 x 的次数为 1,或是可以看作整体为 1 的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为 。dyabc例 2: 5()42xf求 的 值 域 .解:10()1574()22()xf xx由于分母不可能为 0,则意思就是函数值不可能取到 ,48即:函数 f(x)的值域为
9、.5|4y练习 求值域 31xy(3) |3y(2)利用 来求函数值域:适用于函数表达式为分式形式,并且只20x出现 形式,此时由于为平方形式大多时候 x 可以取到任意实数,显然用分离常量法是行不通,只有另想它法(有界变量法) 。例 3:求函数 的值域.231()xf解:由于 不等于 0,可将原式化为2x92231yx即 (由于 )2()y20x只需 ,则有3y210xy(3)y12)0y所以,函数值域 .,2练习(4) 求值域25941xy1|52y且10(3)方程根的判别式法:适用于分式形式,其中既出现变量 x 又出现混合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域2x为 R 的情形,可以使用根的判别式法。例 4:求函数 的值域21xy解:由于函数的定义域为 R,即 210x原式可化为 2y(由于 x 可以取到任意的实数,那么也就说总有一个 x 会使得上述方程有实数根,即方程有根那么判别式大于或等于 0,注:这里只考虑有无根,并不考虑根为多少)所以, 24y所以,函数值域为 1,练习 :求值域(5) 21yx