1、高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例 1 求函数 的定义域。8|3x|152y解：要使函数有意义，则必须满足08|3x|52由解得 或 。 x由解得 或 1和求交集得 且 或 x5。3故所求函数的定义域为 。5x|1x|且例 2 求函数 的定义域。216xsiny解：要使函数有意义，则必须满足0x16sin2由解得 Zk2k，由解得 4由和求公共部分，得 4或故函数的定义域为 0(， 评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，
2、不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知 的定义域，求 的定义域。)x(f)x(gf（2）其解法是：已知 的定义域是a，b求 的定义域是解 ，)( )x(gf b)x(ga即为所求的定义域。例 3 已知 的定义域为2，2 ，求 的定义域。)(f 1(2解：令 ，得 ，即 ，因此 ，从而1x3x2303|0，故函数的定义域是 。 |（2）已知 的定义域，求 f(x)的定义域。)(gf其解法是：已知 的定义域是a，b ，求 f(x)定义域的方法是：由 ，求bxag(x)的值域，即所求 f(x)的定义域。例 4 已知 的定义域为1，2
3、，求 f(x)的定义域。)x(f解：因为 。51x34，即函数 f(x)的定义域是 。|三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例 5 已知函数 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。8mx6y2分析：函数的定义域为 R，表明 ，使一切 xR 都成立，由0m8x62项的系数是 m，所以应分 m=0 或 进行讨论。2x 0解：当 m=0 时，函数的定义域为 R；当 时， 是二次不等式，其对一切实数 x 都成立的充要条08x62件是 1m00)(4)(2综上可知 。评注：不少学生容易忽略 m=0 的情况，
4、希望通过此例解决问题。例 6 已知函数 的定义域是 R，求实数 k 的取值范围。3kx47)x(f2解：要使函数有意义，则必须 0 恒成立，因为 的定义域为 R，即)x(f无实数03k4x2当 k0 时， 恒成立，解得 ；16243k当 k=0 时，方程左边=3 0 恒成立。综上 k 的取值范围是 。43k四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为 x，则另一边长为 于是可得矩形面积。)x2a(12a1)2a
5、(xy。2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足 0x2a0)x2a(1。故所求函数的解析式为 ，定义域为（0， ） 。ax21y2a例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为 CD=AB=2x，所以 ，所以 ，xCD 2xL2CDABL故 2xL2y)(根据实际问题的意义知 2Lx02xL0故函数的解析式为 ，定义域（0， ） 。)(y2L五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例 9 已知 的
6、定义域为0，1 ，求函数 的定义域。)x(f )ax(f)(f)xF解：因为 的定义域为0，1 ，即 。故函数 的定义域为下列不等式10组的解集：，即axax即两个区间a，1a 与a ，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当 时，F（x）的定义域为 ；02 a1x|（2）当 时，F（x）的定义域为 ；1a|（3）当 或 时，上述两区间的交集为空集，此时 F（x）不能构成函数。a六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例 10 求函数 的单调区间。)3
7、x2(logy2解：由 ，即 ，解得 。即函数 y 的定义域为03x203x1（1，3） 。函数 是由函数 复合而成的。)(l2 2tlogy2，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知 t 在区间41t 2上是增函数；在区间 上是减函数，而 在其定义域上单调增；(， tl，所以函数 在3)1)3()31 ， )3x2(logy2区间 上是增函数，在区间 上是减函数。， ，函 数 值 域 求 法 十 一 种 1. 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ， 其 值 域 可 通 过 观 察 得 到 。例 1. 求 函 数 x1y的 值 域 。解 ： 0 x显 然 函 数 的
8、 值 域 是 ： ),0(),(例 2. 求 函 数 x3y的 值 域 。解 ： 0,x故 函 数 的 值 域 是 ： 3,2. 配 方 法配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。例 3. 求 函 数 2,1x,52y的 值 域 。解 ： 将 函 数 配 方 得 ： 4)( ,1x由 二 次 函 数 的 性 质 可 知 ： 当 x=1时 ， 4ymin， 当 1x时 ， 8ymax故 函 数 的 值 域 是 ： 4， 83. 判 别 式 法例 4. 求 函 数 2x1y的 值 域 。解 ： 原 函 数 化 为 关 于 x的 一 元 二 次 方 程0)(x)
9、1y(2（ 1） 当 时 ， R)1y(4)(2解 得 ：3（ 2） 当 y=1时 ， 0x， 而 23,1故 函 数 的 值 域 为 23,例 5. 求 函 数 )x(y的 值 域 。解 ： 两 边 平 方 整 理 得 ： 0yx)1(22（ 1） Rx 0y8)1(42解 得 ： 但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 0)x2(， 得 2x由 0， 仅 保 证 关 于 x的 方 程 ： 0y)1(2在 实 数 集 R有 实根 ， 而 不 能 确 保 其 实 根 在 区 间0， 2上 ， 即 不 能 确 保 方 程 （ 1） 有 实 根 ，由 求 出 的 范 围 可 能 比 y的 实
10、际 范 围 大 ， 故 不 能 确 定 此 函 数 的 值 域 为23,1。可 以 采 取 如 下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 域 。 x00)2(y1,min代 入 方 程 （ 1）解 得 ： 2,x4即 当 241时 ，原 函 数 的 值 域 为 ： 1,0注 ： 由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时 ， 若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实数 集 时 ， 应 综 合 函 数 的 定 义 域 ， 将 扩 大 的 部 分 剔 除 。4. 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域
11、 来 确 定原 函 数 的 值 域 。例 6. 求 函 数 6x543值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 3y564x则 其 反 函 数 为 ： y， 其 定 义 域 为 ： 53x故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 5,5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ， 反 客为 主 来 确 定 函 数 的 值 域 。例 7. 求 函 数 1eyx的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 1yx 0ex 1y解 得 ： 故 所 求 函 数 的 值 域 为 )1,(例 8. 求 函 数
12、 3xsincoy的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： y3xcosiy， 可 化 为 ：)(i12即 1y3xsn2 R ,)(si即1y312解 得 ： 4故 函 数 的 值 域 为 2,6. 函 数 单 调 性 法例 9. 求 函 数 )10x2(log2y35x的 值 域 。解 ： 令 ,1则 2,在 2， 10上 都 是 增 函 数所 以 y在 2， 10上 是 增 函 数当 x=2时 ， 81log3min当 x=10时 ， 95ax故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,例 10. 求 函 数 1xy的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 为 ：2令 ,x21
13、， 显 然 21y,在 ,上 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 y， 在 ,1上 也 为 无 上 界 的 增 函 数所 以 当 x=1时 ， 21y有 最 小 值 ， 原 函 数 有 最 大 值 2显 然 0， 故 原 函 数 的 值 域 为 ,0(7. 换 元 法通 过 简 单 的 换 元 把 一 个 函 数 变 为 简 单 函 数 ， 其 题 型 特 征 是 函 数 解析 式 含 有 根 式 或 三 角 函 数 公 式 模 型 ， 换 元 法 是 数 学 方 法 中 几 种 最 主要 方 法 之 一 ， 在 求 函 数 的 值 域 中 同 样 发 挥 作 用 。例 11. 求 函 数
14、1xy的 值 域 。解 ： 令 tx， )0(则 t2 43)21t(y又 0t， 由 二 次 函 数 的 性 质 可 知当 时 ， min当 t时 ， y故 函 数 的 值 域 为 ),1例 12. 求 函 数 2)1x(2x的 值 域 。解 ： 因 0)(即 )x(故 可 令 ,cos1 1cosiny2)4sin(2 50,21)4sin(20故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,0例 13. 求 函 数 1x2y43的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 22x1y可 令 tgx， 则 有 2cos,sinx14icos2sin1y当 8k时 ， ymax当 2时 ， 4
15、1in而 此 时 tan有 意 义 。故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 14. 求 函 数 )1x)(cos(siny， 2,的 值 域 。解 ： )1x(icosin令 ti， 则 )1t(2xcosin2)1t(2)1t(y由 4/xsincoxsin且 ,1可 得 ： 2t 当 t时 ，3ymax， 当 2t时 ， 243y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,4。例 15. 求 函 数 2x5y的 值 域 。解 ： 由 0x2， 可 得 |故 可 令 ,cos4)sin(10i545y 045当 /时 ， 10ymax当 时 ， in故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 4,
16、58. 数 形 结 合 法其 题 型 是 函 数 解 析 式 具 有 明 显 的 某 种 几 何 意 义 ， 如 两 点 的 距 离 公式 直 线 斜 率 等 等 ， 这 类 题 目 若 运 用 数 形 结 合 法 ， 往 往 会 更 加 简 单 ，一 目 了 然 ， 赏 心 悦 目 。例 16. 求 函 数 22)8x()(y的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 化 简 得 ： |8x|2|y上 式 可 以 看 成 数 轴 上 点 P（ x） 到 定 点 A（ 2） ， )8(B间 的 距 离 之 和 。由 上 图 可 知 ， 当 点 P在 线 段 AB上 时 ， 10|A|x|y当 点 P
17、在 线 段 AB的 延 长 线 或 反 向 延 长 线 上 时 ，10|8x|2|y故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： ,例 17. 求 函 数 5x43x6y22的 值 域 。解 ： 原 函 数 可 变 形 为 ： 2222 )10()()0()3x(y 上 式 可 看 成 x轴 上 的 点 ,xP到 两 定 点 )1,2(B),3A的 距 离 之 和 ，由 图 可 知 当 点 P为 线 段 与 x轴 的 交 点 时 ，43)12()3(|ABymin ，故 所 求 函 数 的 值 域 为 ,例 18. 求 函 数 5x413x6y22的 值 域 。解 ： 将 函 数 变 形 为 ： 2
18、222 )10()x()0()3x(y 上 式 可 看 成 定 点 A（ 3， 2） 到 点 P（ x， 0） 的 距 离 与 定 点 ,B到 点)0,x(P的 距 离 之 差 。即 ： |BP|y由 图 可 知 ： （ 1） 当 点 P在 x轴 上 且 不 是 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ，如 点 P， 则 构 成 A， 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 有26)1()23(|A即 ： 6y2（ 2） 当 点 P恰 好 为 直 线 AB与 x轴 的 交 点 时 ， 有 26|AB|P|综 上 所 述 ， 可 知 函 数 的 值 域 为 ： 26,(注 ：
19、由 例 17， 18可 知 ， 求 两 距 离 之 和 时 ， 要 将 函 数 式 变 形 ， 使A、 B两 点 在 x轴 的 两 侧 ， 而 求 两 距 离 之 差 时 ， 则 要 使A， B两 点 在 x轴 的 同 侧 。如 ： 例 17的 A， B两 点 坐 标 分 别 为 ： （ 3， 2） ， )1,(， 在 x轴 的 同侧 ； 例 18的 A， B两 点 坐 标 分 别 为 （ 3， 2） ， ),， 在 x轴 的 同 侧 。9. 不 等 式 法利 用 基 本 不 等 式 abca,b2a)R,(， 求 函 数 的 最 值 ，其 题 型 特 征 解 析 式 是 和 式 时 要 求 积 为 定 值 ， 解 析 式 是 积 时 要 求 和 为定 值 ， 不 过 有 时 需 要 用 到 拆 项 、 添 项 和 两 边 平 方 等 技 巧 。例 19. 求 函 数 4)xcos1()xsin1(iy22的 值 域 。解 ： 原 函 数 变 形 为 ：52xcottan3se1cosi)cox(iny22222
