1、函数定义域的类型和求法本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例 1 求函数 的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 或 。 由解得 或 和求交集得 且 或 x5。故所求函数的定义域为 。例 2 求函数 的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 由解得 由和求公共部分，得故函数的定义域为评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法
2、求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知 的定义域，求 的定义域。其解法是：已知 的定义域是a，b求 的定义域是解 ，即为所求的定义域。例 3 已知 的定义域为2，2，求 的定义域。解：令 ，得 ，即 ，因此 ，从而，故函数的定义域是 。（2）已知 的定义域，求 f(x)的定义域。其解法是：已知 的定义域是a，b，求 f(x)定义域的方法是：由，求 g(x)的值域，即所求 f(x)的定义域。例 4 已知 的定义域为1，2，求 f(x)的定义域。解：因为 。即函数 f(x)的定义域是 。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
3、特别是对于已知定义域为 R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例 5 已知函数 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。分析：函数的定义域为 R，表明 ，使一切 xR 都成立，由项的系数是 m，所以应分 m=0 或 进行讨论。解：当 m=0 时，函数的定义域为 R；当 时， 是二次不等式，其对一切实数 x 都成立的充要条件是综上可知 。评注：不少学生容易忽略 m=0 的情况，希望通过此例解决问题。例 6 已知函数 的定义域是 R，求实数 k 的取值范围。解：要使函数有意义，则必须 0 恒成立，因为 的定义域为R，即 无实数当 k0 时， 恒成立，解得 ；当 k=0 时，方程左边=3
4、0 恒成立。综上 k 的取值范围是 。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长 x 的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为 x，则另一边长为 于是可得矩形面积。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。故所求函数的解析式为 ，定义域为（0， ）。例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 2x，求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面
5、积，如图。因为 CD=AB=2x，所以 ，所以 ，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为 ，定义域（0， ）。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例 9 已知 的定义域为0，1，求函数 的定义域。解：因为 的定义域为0，1，即 。故函数 的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间a，1a与a，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当 时，F（x）的定义域为 ；（2）当 时，F（x）的定义域为 ；（3）当 或 时，上述两区间的交集为空集，此时 F（x）不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例 10 求函数 的单调区间。解：由 ，即 ，解得 。即函数 y 的定义域为（1，3）。函数 是由函数 复合而成的。，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知 t 在区间 上是增函数；在区间 上是减函数，而 在其定义域上单调增；，所以函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数。
