1、函数 一、 函数的定义域及求法1、 分式的分母0；偶次方根的被开方数0；2、 对数函数的真数0；对数函数的底数0 且1；3、 正切函数：x k + /2 ,kZ；余切函数：x k ,kZ ；4、 一次函数、二次函数、指数函数的定义域为 R；5、 定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；6、 复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论例题：1、 求下列函数的定义域3、已知函数 y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为 R，求实数 m 的取值范围解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论当 m=0 时，则 mx2-4mx+m+3=3， 原函数的定义域为 R；当 m0
2、时，则 mx 2-4mx+m+30，m0 时，显然原函数定义域不为 R；m0，且(-4m) 2-4m(m+3)1 或 y9 当-3x1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 5y9 当 1x2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 5y6 当 x 2 时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x y6 综合前面四种情况可得，原函数的值域是5,+) 6、利用函数的有界性三、 函数的单调性及应用1、 A 为函数 f(x)定义域内某一区间，2、 单调性的判定：作差 f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增
3、、同减，f(g(x) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x) 为减函数例题：2、设 a0 且 a1，试求函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可得原函数的定义域是（，），设 u=4+3x-x2 ，其对称轴是 x=3/2 ，所以函数 u=4+3x-x2 ，在区间（，3/2 上单调递增；在区间3/2 ，4）上单调递减a时，y=log au 在其定义域内为增函数，由 xuy ，得函数 u=4+3x-x2 的单调递增区间（，3/2 ，即为函数y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间a时，y=log au 在其定义域内为减函数，由 x
4、uy ，得函数 u=4+3x-x2 的单调递减区间3/2 ，4），即为函数 y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间3、已知 y=loga(2-ax) 在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围。解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可知，a设 ug(x)=2ax，则 g(x)在，上是减函数，且 x=时，g(x)有最小值 umin=2-a 又因为 ug(x)2ax，所以， 只要 u min=2-a则可，得a又 y=loga(2-ax) 在0，1上是 x 减函数，ug(x)在，上是减函数，即 xuy ，所以 y=logau 是增函数，故 a综上所述，得a2、已知 f(x)的定义域为（，）
5、，且在其上为增函数，满足 f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式 f(x)+f(x-2)3 解析：此题的关键是求函数值所对应的自变量的值 由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(42)=f(8) 又 f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成 f(x2-2x)f(8) 所以原不等式的解集为x|2x4四、函数的奇偶性及应用1、 函数 f(x)的定义域为 D，xD ，f(-x)=f(x) f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)是奇函数 2、 奇偶性的判定：作和差 f(-x) f(x)=0 判定；作商 f(x)/f(-x)= 1,f(x)0 判定3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、 函数的图象关于原点对称 奇函数；函数的图象关 y 轴对称 偶函数5、 函数既为奇函数又为偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称;6、 复合函数的奇偶性：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇例题：解析：利用作和差判断由题意可知，函数的定义域是 R，设 x 为 R 内任意实数，即，f(x) = -f(x) ，原函数是奇函数利用作商法判断由题意可知，函数的定义域是 R，设 x 为 R 内任意实数，
