1、函数的值域题型一：二次函数的值域例 1 求 的值域6a)(2xxf解答：配方法： 4a62a222 xf所以值域为 ，4a62例 2 求 在 上的值域)(2xxf 1，解答：函数图像法： 42316)(2 xf画出函数的图像可知， , 在 时6)(2xxf 21取到最小值 ，而在 时取到最大值 8，可得值域为 。4231x 843，例 3 求 在 上的值域6a)(2xxf 1，解答：由函数的图像可知，函数的最值跟 a 的取值有关，所以进行分类讨论： 当 时，对称轴在 的左侧，所以根据图像可知，a，a7)1(maxff a7)1(minff所以此时的值域为 ， 当 时，对称轴在 与 y 轴之间，
2、所以根据图像可知，0a2x，7)1(maxff 4a6)2(2minff所以此时的值域为 a462， 当 时，对称轴在 y 轴与 之间，所以根据图像可知，a01x，a7)1(maxff 4a6)2(2minff所以此时的值域为 462， 当 时，对称轴在 的右侧，所以根据图像可知，a21x，7)1(maxff a7)(minff所以此时的值域为 a，题型二：指数、对数函数的值域例 4 求 的值域62log)(2xxf解答：复合形式用换元：令 ，则由例 1 可知，t ,5t根据单调性，可求出 的值域为2l,5log2例 5 求 的值域64)(1xxf解答：因为 ，所以，采用换元发，令 ，则24x
3、xxt2,0t则原函数变为 ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为6t 6题型三：分式函数的值域例 6 求函数 的值域132)(xf解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令，原函数变为 ，由反比例函数的性质可知，值域为1xt tt2,2,解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令，则 ，得到 ，可知13)(xfy 32xy23yx2y解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式 表示两点间连线的21x斜率，则讲原函数写为 ，可以看成是 两点连线的132x,3,斜率，其中 是动点，构成 直线轨迹，则连线必须与 相交，x, xy2xy2所以连线斜率
4、不能是 2，得到值域。例 7 求函数 在 的值域13)(xf0，解法一：分离变量之后采用函数图像法，令 ， ，原函数变为1xt2,t，可以画出 的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为tt12t2325，解法二：反函数法，将 代入 中，求解 不等式，23yx10， 1230y可以得到值域范围 。25，解法三：解析几何法。 ，可以看成是 两点连线的13xx2,3,1斜率，其中 是动点，不在构成直线，而是构成 在 区间的线x2, y10，段，画出图像后观察可得斜率的范围为 325，例 8 求函数 的值域13)(2xf解法一：分离变量法，令 ，原函数变为t 12tt由均值不等式可知当 ，当 ，可以得
5、到原函数21,0tt 1,0tt的值域为 ,31,解法二：判别式法，令 ，则 ，13)(2xfy 32xyx整理得关于 的一元二次方程 ，满足方程有解，该x02y方程的判别式 可得 ,即函数的值0343y 3y或域为 ,1,解法三：解析几何法， ，可以看成)1(0313)(22 xxf是两点 之间连线的斜率，而 是动点，0,3,2x ,2恰好构成 的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得y到函数的值域。例 9 求函数 在 的值域13)(2xf 0，解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令 ， ，原函数变为t2,t12tt画出对勾函数的图像，可
6、以得到 的值域范围是 ，则最后函数的值t125，域为 273，题型四：三角函数的值域例 10 求函数 的值域2cos4sin3)(xxf解答：使用辅助角公式， ，可2sin5csi)( xxf知函数的值域为 7，例 11 求函数 的值域2cos4sin23)( xxf解答：先化简，都转为一次三角函数后使用辅助角公式， 42sin132cosico4sin23)(2 xxxf可知函数的值域为 134，例 12 求函数 的值域2coscs2)(xxf解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。 1cos4cs2cos41o4cs2)( 2 xxxf令 ，则原函数化为 ，则按前1,ott
7、1tt面的例题可得函数的值域为 ，3，例 13 求函数 的值域xxf sin2cosin2)(解答：利用 来换元。2cossi1cosi 2xx xxxxf cossincsincossin2sin2)( 令 ，则原函数化为 ，同理，按,cotxt 12t二次函数的值域求法，可得结果 。21，例 14 求函数 的值域3cosin)(xf解法一：辅助角公式法。类似于二次分式的判别式法，令 ，则3cosinxy可得 ，利用辅助角公式后xyyxyxy cossin3,sin3cos ，则要求 ，yi1,i1322 132y可解出值域范围 2，解法二：解析几何法。三角分式也可以看为 ，即两点3cos0
8、inx连线的斜率，其中 是动点，构成的轨迹xsin,co,03 i,是圆心在原点，半径为 1 的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域 2，例 15 求函数 在 上的值域3cosin)(xf 2，解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点 构xsin,co成的轨迹为右半圆，这样，可得结果 3，题型五：绝对值函数的值域例 16 求函数 的值域15)(xxf解法一：零点分类讨论法。当 时， ；当 时，6)(xf5x；当 时， 。所以函数的值域为6)(xf x426，解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴， 分别表示 到-515x与 x与 1 的距离，根据
9、数轴图像，可以直接得到值域为 6，例 17 求函数 的值域32)(2xxxf解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令 ，,1,2txt则原函数化为 ，则根据数轴法，可以得到函数的值域为3t 3，题型六：根式函数的值域例 18 求函数 的值域xxf1)(解法一：换元法，令 ，则原函数化为 ，根,0,tt 12t据二次函数值域的求法，可得原函数值域为 。,45解法二：解析几何法，令 ， ，可,0,1yxy yxfz)(得 ，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过zxy上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的,0,1值域 ,45例 19 求函数 的值域xxf1)(解法一解法二同上一例
10、题，注意换元时的等价性，结果 ,1解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域 ，代,入可得函数的值域 。,1例 20 求函数 的值域2)(xxf解法一：三角换元法，令 ，这样换元既可以保证换2,sin元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号， 4sin2cossincosisi1sin122 x注意 ，画出三角函数图像可得值域为 。2, 2,1解法二：解析几何法，令 ， ，可得1,0,12yxy yxfz)(，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过zxy，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域,0,12y,例 21 求函数 的值域21)(xxf解法一：三
11、角换元，类似于上一道题，令 ，这样可2,tan以得到 ， cosincstt12tan1222 xx化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为 ,3解法二：解析几何法，类似于上一道题，令 ，,1,12yxy，可得 ，即函数的值可以看成是直线的截距yxfz2)(2zx的 2 倍，而直线必须通过 即双曲线的上半支，通过作,1,1y图可知相切时取得截距的最小值，得到值域 。3解法三：对勾换元法，利用 进行换元，令1221xx，则原函数化为 ，,0,21ttx ttt 213根据均值不等式可得值域 ,3例 22 求函数 的值域25652)( 2xxxf解答：先配方，可得 ，利用解析几22431)( xxf何法，类比两点距离公式可以转化为 到 两点距离和，作0,图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为 。,102部分练习求下列函数的值域：1. 2x-)(2xf2. 64log213. )(2xxf4. 13)(xf5. x-1)(f6. cos762)(xf7. 2inxf8. 6sico2)( xf9 912xxf10. x43)(
