1、第三章 统计热力学基础,一、统计体系的分类 按统计单位（粒子）是否可以分辨，可分为：,定位体系：粒子可以分辨，如晶体；非定位体系：粒子不可分辨，如气体。,按统计单位（粒子）之间是否有作用力，可分为：,独立子体系：如理想气体；非独立子体系：如实际气体、液体等。,二、微观状态和宏观状态,体系的宏观状态由其宏观性质 ( T、P、V 等) 来描述；体系的微观状态是指体系在某一瞬间的状态；在经典力学中体系的微观状态用相空间来描述；在量子力学中体系的微观状态用波函数来描述；相应于某一宏观状态的微观状态数（）是个很大的数，若知体系的 值，则由玻尔兹曼公式：,可计算体系的熵。,三、分布（构型、布居）,一种分布
2、: 指 N 个粒子在许可能级上的一种分配；每一种分布的微观状态数（ti）可用下列公式计算：,定位体系：,非定位体系：,四、最概然分布,微观状态数（ti）最多的分布称最概然分布；可以证明：当粒子数 N 很大时，最概然分布的微观状态数（tmax）几乎等于体系总的微观状态数（ ）。,五、热力学概率和数学概率,热力学概率：体系的微观状态数（）又称热力学概率，它可以是一个很大的数；数学概率：数学概率 ( P ) 的原始定义是以事件发生的等可能性为基础的。某种分布出现的数学概率为：,且有：0 P 1,六、统计热力学的基本假定,在 U、V、N 一定的体系中，每一种微观状态出现的概率相等（等概率原理）。体系的
3、宏观量是相应微观量的统计平均值，如用 表示某一宏观量，则,Pi 是体系第 i 个微态出现的概率；Ai 是相应物理量在第 i 个微态中的取值。,七、玻尔兹曼分布,玻尔兹曼分布是自然界最重要的规律之一，其数学表达为：,玻尔兹曼分布是微观状态数最多（由求 ti 极大值得到）的一种分布；根据等概率原理，玻尔兹曼分布为最概然分布；,（定位或非定位）,通过摘取最大相原理可证明：在粒子数 N 很大（N 1024）时，玻尔兹曼分布的微观状态数 (tmax)几乎可以代表体系的全部微观状态数 ()；故玻尔兹曼分布即为宏观平衡分布。,在 A、B 两个能级上粒子数之比：,玻色-爱因斯坦统计*；（如空腔辐射的频率分布）
4、,费米-狄拉克统计*（金属半导体中的电子分布）,由 gi Ni e i 1 1 e i 1 e i 当温度不太高或压力不太高时，上述条件容易满足。 此时玻色-爱因斯坦及费米-狄拉克统计可还原为玻尔兹曼统计。,八、分子配分函数 q 的定义, i 为能级 i 的能量；gi 为能级 i 的简并度, i 量子态 i 的能量,配分函数 q 是无量纲量，是对体系中一个粒子的所有可能状态的玻尔兹曼因子求和。由于是独立粒子体系，任何粒子不受其它粒子存在的影响，所以 q 这个量是属于一个粒子的，与其余粒子无关，故称之为粒子的配分函数。,九、分子配分函数 q 的表达式,1. 平动：当所有的平动能级几乎都可被分子达
5、到时：,一维：,二维：,三维：,2. 振动：,双原子分子,线型多原子,非线多原子型,3. 转动：,线型,非线型,对称数 ：同核双原子为 2；异核双原子为 1。,4. 电子（基态）运动 ：,（ j 为量子数）,5. 原子核（基态）运动 ：,（ Sn 为核自旋量子数）,十、能级能量计算公式：,平动：,振动：,转动：,十一、配分函数 q 的分离：,q = q n q e q t q v q r这是配分函数的重要性质。,十二、利用配分函数 q 直接计算体系的宏观性质,热力学函数表达式：,从这些公式可以看出，由热力学第一定律引出的函数 U、H、Cv 在定位和非定位体系中表达式一致；而由热力学第二定律引出
6、的函数 S、F、G 在定位和非定位体系中表达式不一致，但两者仅相差一些常数项。,例1：双原子分子 Cl2的振动特征温度v = 803.1 K，用统计热力学方法求算 1 mol 氯气在50时的CV,m 值。（电子处在基态）,答 q = qt.qr.qv U = RT2(lnq/T)V (lnq/T)V = (lnqt/T) V + (lnqr/T)V + (lnqv/T)V = (3/2T) + (1/T) + (1/2)h/(kT2)+ h/(kT2) / exp(h/kT)-1所以 U = (5/2)RT + (1/2)Lh + Lh/exp(h/kT)-1 CV = (U/T)V = 25.88 JK-1mol-1,例2. O2的 v = 2239 K, I2的 v = 307 K，问什么温度时两者有相同的热容? (不考虑电子的贡献) 答若平动和转动能经典处理，不考虑O2的电子激发态,这样两者CV的不同只是振动引起，选振动基态为能量零点时， UV,m = Lh/exp(r/T)-1 CV,m()=(UV,m/T)V,N =R(v/T)2exp(v/T) / exp(v/T)-12由于两者v不同，故不可能在某一个 T 有相同的CV,m()。但当 T , exp(v/T) 1 +v/ T 时，CV,m() R，即温度很高时两者有相同的 CV,m()。,
