1、 一、 随机向量及其联合分布函数 第一节 二维随机向量 第四章 随机向量及其分布 在第三章，我们讨论了随机变量及其分布，但在实际应用中往往必须同时考虑几个随机变量及它们之间的相互影响。例如，在气象中气温、气压、温度、风力等都是需要考察的气象因素，它们的数值都是随机变量。当然可以分别地去研究它们，一个一个地处理，那么第三章提供的方法就可用了。然而这些随机变量之间有着甚为密切的关系，发掘并利用它们之间的关系显然是有重要意义的课题。因此有必要把这些随机变量作为一个整体来考虑。设n个随机变量X1 ，Xn描述同一个随机现象，一般地它们之间存在一定的联系，因而需要把它们作为一个整体来研究，我们称 n 个随
2、机变量 X1 ， Xn 的整体X（X1 ，Xn)为： 随机向量。定义 随机变量 X 为：第一个骰 现的 数。： X 有可 值为 1， ， ，其分布 为：有可 值为 1， ， 。其分布 为：考察 二个骰 的随机 ，其 间为 定义 随机变量 为： 个骰 中的 数。XP1 2 66 / 13 4 56 / 1 6 / 1 6 / 1 6 / 1 6 / 1)6,1).(2,1(),1,1()6,6).(2,6(),1,6()6,2).(2,2(),1,2(,)6,3).(2,3(),1,3( )6,4).(2,4(),1,4(,)6,5).(2,5(),1,5(YP1 2 63 4 53 61 13
3、 693 613 633653 67现 定义 间 二维随机向量X， ：X ：第一个骰 现的 数。 为： 个骰 中的 数。同时 定： X ， X 的。如 X， currency1 ， ，：定义 随机变量 X 为：第一个骰 现的 数。定义 随机变量 为： 个骰 中的 数。XP1 2 66 / 13 4 56 / 1 6 / 1 6 / 1 6 / 1 6 / 1)6,1).(2,1(),1,1()6,6).(2,6(),1,6()6,2).(2,2(),1,2(,)6,3).(2,3(),1,3( )6,4).(2,4(),1,4(,)6,5).(2,5(),1,5(YP1 2 63 4 53 6
4、1 13 693 613 633653 67现 定义 间 二维随机向量X， ：X ：第一个骰 现的 数。 为： 个骰 中的 数。同时 定： X ， X 与的。如 X， currency1 ， ，“Xcurrency1 ， currency1，：第一个骰 现的 数是 。 个骰 中的 数是 。相应的 为：1fifl 。二维随机向量 X， 的联 分布为：例 二个骰 ，第一个骰 现的 数为 X，个骰 数为 ， X， ） 的联 分布。 006/1|, iXjYPiXPjYiXP解 X 有可 值为 1， ， ，有可 值为 1， ， 。当 时，当 时，当 时， 36/16/16/1|, iXjYPiXPjY
5、iXP 36/6/6/1|, iiiXjYPiXPjYiXP 其中，1， ， 。 X， 的联 分布为 1 fl 36 / 121X Y34563 6 / 1 3 6 / 1 3 6 / 1 36 / 1 3 6 / 13 6 / 1 36 / 1 36 / 1 3 6 / 136 / 23 6 / 13 6 / 13 6 / 13 6 / 13 6 / 1 3 6 / 13 6 / 33 6 / 63 6 / 43 6 / 500 00 000 00000000P 3 6 / 1 36 / 3 3 6 / 5 36 / 7 3 6 / 9 36 / 1 1 16 / 16 / 16 / 16
6、/ 16 / 16 / 1P定义 1 随机 的 间为 ，” 一个 ，有定的二个实值值 数X（ ）， （ ）与之应， 称 X（ ）， （ ）为二维随机向量，简为（X， ）。 dimensionalrandomvector 在定义1 中要 意 X 和 是定义在同一个 间 的二个随机变量。现在定：二维随机向量 X， ）， X， X 的，其中X 是 间 的 。同 ， X ， X 的。 定义 X， ）是一个二维随机向量， ，是二个意实数， 称二 数为 X， ）的联 分布 数（n nn n）。一维的 一 ， 了联 分布 数 就 了二维随机向量的 。 2)( ),(),( Rx,yyYxXPyxF 联 分布
7、 数 （ ，） 有 个 ：（1）2)( ,1),(0 Rx,yyxF 1 ， 一维随机变量分布 数的（ ） （ ，）”个变量都是的 （fl 一切实数 和 ， 有（） （ ，） ”个变量都是 的 1),( ,0),(),( FxFyF（ 一切实数 1 ，1 有0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF个 ， 我们 。 xyyx,(D（ 一切实数 1 ，1 有0),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF： 定义 知：),(),( yYxXPyxF 是 X， ） 在 的 ： ),( 2121 yYyxXxP ),(),( 121221 yYxXx
8、PyYxXxP ),(),( 2122 yYxXPyYxXP ),(),( 1112 yYxXPyYxXP ),(),(),(),( 11122122 yxFyxFyxFyxF 的 ， 。 xy22,( yx0 2x1x1y2y这是用 （ ， ） 来 X， ） 在 1 X ， 1 的 式 。2x1x1y2y),( yxF何一个联 分布 数 （ ，）一定 有以 五个 反之，何 有以 五个 的二 数必可作为某一二维随机向量 X， ）的联 分布 数。联 分布 数 （ ，）全 描述了随机向量（X， ）的 ，显然 X， ） 的联 分布 数（ ，）， 我们可以得到随机变量 X 和 各的分布 数，)()(
9、xXPxFX ),( xXP),( yxXP ),( xF同 ，).,(lim yxFy 我们把).,(lim),()( yxFyFyFxY 分别称为 X， ） 关 X， )(,)( yFxF YX的边际分布 数（magnal n n n）。我们经常讨论的随机向量有 种 型：离散型 型。二、 二维离散型随机向量及其联合概率分布 定义 fl 若二维随机向量 X， ）的 有可 值是有 限或可 无限多， 称 X， ）为二维离散型随机向量（ mennal ee an m ve ）。定义 X， ）的 有可 值为称.,.2,1.;,.,2,1 ),( njmiyx ji 为二维离散型随机向量 X， ）的联
10、 分布（n.,.2,1.;,.,2,1 ),( njmiyYxXPP jiij pal n ）， 常用 格 ：1 xX Y2 xm x2 y1 y n y1 1 p 1 2 p n p 12 1 p 2 2 p n p 2m n p1 m p 2 m p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .联 分布完整地描述了离散型随机向量的 。联 分布 有 个 ：.,.2,1.;,.,2,1 0 njmip ji （ ） 1 显然 。11 1i jjip（ 1 1,i jji yYxXP1 1),(i jji yYxXP 的可 可加 ， 1 1),(i jji yYxXP1)(1 1Ppi jij联 分布一定 有以 二个 。反之，若一串（1）有以 二个 ，.,.2,1.;,.,2,1 0 njmip ji 则一定可作为某一二维离散型随机向量的联 分布。
