1、导数、微分部分可选用例,北京邮电大学理学院张文博,影子的速度,张文博，孙洪祥,假设一盏路灯高度为 H，一个人从路灯下走过，他的身高为 h，假设他行走的速度是固定的，试考虑他在地面上的影子头顶移动的速度。,影子的速度,P,Q,O,Q,P,H,h,假定他行走的速度为 v ，且当 t = t0 时，P 点的坐标为 (a, 0)，则影子头顶的位置 Q 的坐标为,为讨论这个问题，首先如图所示建立坐标系统。,影子的速度,P,Q,O,Q,P,H,h,点 Q 移动到 Q，Q 坐标可求得为,如果 Dt 小时后，P 点移动到 P，则 P 的坐标为,影子的速度,P,Q,O,Q,P,H,h,当 Dt 0 时，若上式右
2、端的极限存在，即可得任意一点处影子头顶的速度。,综上，影子头顶位置的平均速度就是,影子的速度,接下来的事情就是可以引入导数的定义了。,返回舱外壳材料选择,张文博,2001年1月10日1时0分前，“神舟二号”飞船正与“长征2号F”运载火箭对接。,2003年1月5日晚7时许，“神舟”四号飞船顺利回收。,返回舱外壳材料选择,为对材料进行选择，假设工程师已经确定了在任意给定的深度 x，温度 u 在材料内的分布（其中，温度是无量纲化后的，0 u 1；深度也是无量纲化后的， 0 x 1），工程师需要确定温度变化最快的位置。,工程师需要设计返回舱的材料，以适应返回舱在进入大气层的时候强烈的高温。然而，除了对
3、材料本身要求耐高温之外，对材料的韧性还有着重要的要求。,返回舱外壳材料选择,然而，这个平均值无法告诉我们在点 P 温度的变化率。为此，考虑当 Q 点逐渐接近 P 点时，平均温度变化的趋势。,从图中容易看出，在点 P(0.5, 0.5) 处，函数的斜率是最大的。事实上，从下图容易看出，从 Q 到 P 温度的平均变化率为,返回舱外壳材料选择,返回舱外壳材料选择,接下来的事情就是可以引入导数的定义了。,滑雪中的数学问题,滑雪场通常是建在山坡上的，而且为保证滑雪者的安全，通常都对滑雪道的难度进行了规定。例如根据滑雪者下坡的角度不同，通常分为练习道、普通道和高级道。,如何在给定的山坡上建立满足规定的滑雪道？,张文博,滑雪中的数学问题,假定，如图所示，整个山坡可以表示成为一个曲面 z = f (x, y)（函数 z = f (x, y) 可微），且其在 xOy 坐标系中的投影区域为 D；又假设滑道下降的坡度不超过 5 度。,这个问题等价于问，在山坡上，任意一个给定点 (x, y) 处，沿什么方向走单位步长，函数 z = f (x, y)下降的值不超过 arctan 5o ？,滑雪中的数学问题,接下来的事情就是可以引入方向导数的定义了，并且可以指出，梯度方向是函数增加最快的方向，其相反方向是函数减少最快的方向。,
