1、排列组合 二项式定理1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法2，排列 排 列 定 义 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m（ m n） 个 元 素 （ 被 取出 的 元 素 各 不 相 同 ） ， 按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列 ， 叫 做 从 n 个 不同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 排 列 。排 列 数 定 义 ； 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m（ m n） 个 元 素 的 所有 排
2、列 的 个 数 mA公 式 = 规 定 0！ =1n!()3，组合组合定义 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m（ m n） 个 元 素 并 成 一 组 ，叫 做 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 组 合组 合 数 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m（ m n） 个 元 素 的 所 有 组合 个 数 mC= n!()性 质 = mn 11mmnnC排 列 组 合 题 型 总 结一 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4 ，5， 6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千
3、位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择 ，其余 2 位有四个可供选择 ，由乘法原理：5A24A=24025A42特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有 =60，1 不在千位时，千位有 种选法，个位有 种，余下35A14A14的有 ，共有 =192 所以总共有 192+60=2524A412二 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252243546Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位
4、数？分析：任取三张卡片可以组成不同的三位数 个，其中 0 在3352AC百位的有 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数24CA- =432335 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）（2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻）（3） 两端不能排女生（4） 两端不能全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，
5、插入一个节目后，空档变为 10 个，故有 =100109A中插入方法。三 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（ ）324C,2，某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（ ） （注1928A意连续参观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 其余的就是 19 所学129校选 28 天进行排列）四 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，
6、适宜采阁板用法例 5 某 校 准 备 组 建 一 个 由 12 人 组 成 篮 球 队 ， 这 12 个 人 由 8 个 班 的 学 生 组 成 ， 每 班 至 少 一 人 ， 名 额分 配 方 案 共 种 。分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有 种71C五 平均分推问题 eg 6 本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？（1） 平均分成三堆，（2） 平均分给甲乙丙三人3,5 2,4 （3） 一堆一本，一堆两本，一对三本（4） 甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一
7、种方案）（5） 一人的一本，一人的两本，一人的三本分析：1，分出三堆书（a 1,a2）,(a 3,a4)， （a 5,a6）由顺序不同可以有 =63A种，而这 6 种分法只算一种分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有=15 种 3246AC2，六本不同的书，平均分成三堆有 x 种，平均分给甲乙丙三人就有 x 种 32643， 5， 126533A1235C五 合并单元格解决染色问题Eg 如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答） 。分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5下面分情况
8、讨论:() 当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 4个元素 的全排列数 A4（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法A4（）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有 种方法C34由加法原理知：不同着色方法共有 2 =48+24=72（种）A3练习 1（天津卷（文） ）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 1 2 3 4 52,4不同的种植方
9、法共 种（以数字作答） （72）2某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3） ，现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答） （120）图 3 图 43如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数 （540）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图 5 图 65将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420 ） 546 132EDCBA4321 DBCEA
