1、1第 2 章习题解答2.2 已知半径为 、长为 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度 ，al 0Va。试求总电量 。0Q解： 2 2000dd3laVQzla2.3 半径为 的球面上均匀分布着电荷，总电量为 。当球以角速度 绕某一直径( 轴)旋转时，试求RQz其表面上的面电流密度。解：面电荷密度为 204SR面电流密度为 0020sinsinsi44S QJvR2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流 。已知导线的直径为 ，导线中的电流为 ，SJed0I试求 。0SJ解：每根导线的体电流密度为 002(/)IId由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 4SJ因此，等效面电流密
2、度为 0Ied2.6 两个带电量分别为 和 的点电荷相距为 ，另有一带电量为 的点电荷位于其间。为使中间的0q2dq点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为- 时，结果又如何？0解：设实验电荷 离 为 ，那么离 为 。由库仑定律，实验电荷受 的排斥力为x0qx020124F实验电荷受 的排斥力为0q 022()qdx要使实验电荷保持平衡，即 ，那么由 ，可以解得1F0214()x58.2如果实验电荷为 ，那么平衡位置仍然为 。只是这时实验电荷与 和0q d.010q不是排斥力，而是吸引力。02q2.7 边长为 的正方形的三个顶点上各放置带电量为 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强
3、度 。a 0q E解：设点电荷的位置分别为 ， 和 ，由库仑定律可得点 处的电0,0,a,a,Pa场为 00022202111448xy yxxy qEeeeqa22.9 半径为 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为 ，试求球心处的电场强度；若同样的电荷0R0S均匀分布在半径为 的半球内，再求球心处的电场强度。0解：面电荷密度产生的电场强度为 0301d4SSrEr根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着 方向。由于 ，那么z2sindR2/20 00dsi 4S Sz zree如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为 2003302/SQRR把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为
4、 的球壳产生的电场强度为dr0d4zEre那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为 0 003)44RSzzzrere2.14 如题 2.14 图所示，两个半径分别为 和 的球面之间均匀分布ab着体电荷，电荷密度为 。两球面的球心相距为 ，且 。试求空腔0 da内的电场。解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为 和 的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为0、半径为 的大圆球产生的场和电荷密度为 、半径为 的小圆球查收的场的叠加。由高斯定0b0理，大圆球产生的电场为 23bbbQEr而小圆球产生的电场为 0aaab因此合成场为 0rd2.22 如题 2.22 图所示，在半径为 的圆
5、柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为 的圆柱形空腔。b两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为 ，且 。当导体通以均匀分布的电流 时，试bI求空腔内的 。H解：假设导体中的电流是 方向的。由于导体的电流密度为 ，所以可以把空腔看ze20/JIa成是两个电流密度也为 的 方向的导体柱。那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为0Jz，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。利用安培环路定律，可以分别得到大圆柱在两个空a腔内产生的磁场以及两个小导体柱在两个空腔内产生的磁场，最后得到左腔内 左 右大 2 22 222xyxyxyxyIIeedababeddIeaby3右腔内 H左 右大 2
6、2 2222xy xyxyxyIIbe edabaxddxbIeeabdy2.30 已知无源的自由空间内 ，其中 ， 和 为常数。试求磁场强度 和位0cosEtz0EH移电流 。dJ解：由麦克斯韦第二方程可得 00sinxyzxyzyxxyzeeBetzt E 于是有 0001sindcosty yEHetztetz而位移电流 d00sinxDEJtztt2.31 已知无源的自由空间内 ，其中 和 为常数。试求 和 。0cosinyeza0,HaEdJ解：由于在无源的自由空间 ，由麦克斯韦第一方程可得J0xyzxyzyyxzyxyzeeDHet H00cossinzet taa于是有 0 00
7、 1dcosincotx zHxEetetza而位移电流 0d0cssix zDxJeHt tt2.32 已知介电常数为 ，磁导率为 的空间内0oyxzEtk试求：电荷密度 和电流密度 ， 的条件是什么？J解：由麦克斯韦第四方程可得 0DE而由麦克斯韦第二方程可得40 0sinsinxyzxyzyxyzyxzxxzxxzeeBEt EeektkekEtk于是有 00 0 01dcocot zz xzBHt tk 而 2 20 0sinsinxyzxyzxzyxzxyzz xz xzeeHeHkEkEet tk 代入麦克斯韦第一方程可得 20siyxy xyDJ tt由此可见， 的条件是 。02
8、2xk2.33 已知无源的自由空间内 1 2sin4cocos4inx zHeAtkeAtk试求相应的位移电流密度。解：由于在无源的自由空间 ，由麦克斯韦第一方程可得J0xyzxyz xzzxyxyzxzeHDetHH2 21cos44sinsin4y zekAtkeAtkAtky于是有 02 2 101dcos4in4sincosin4cotx y zEtekkextkyextky 而位移电流 d2 2 1ssi six y zDJAtAtAtt2.34 已知半径为 的球面内外的电场分别为0R003cosin2rrerRREB假设球内外的介电常数均为 。试求：（1）满足边界条件的 ；（2）球
9、面上的面电荷密度及其总0B电量；（3）球面内外的体电荷密度。解：由电场切向分量连续的边界条件可得 5000021t2t 120rRrRrRrREEBA代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 00 00001n2n 1n2n12SS rrrr rrRRDDE03cosSAR2.35 已知半径为 、磁导率为 的球体内外的磁场强度为0R032cosinrerHAe且球外为空气。试求：（1）满足边界条件的 ；（2）球面上的面电流密度 。SJ解：由磁场法向分量连续的边界条件可得 00 0031n2nr012r0rrrRrRRRBHA代入磁场切向方向分量满足的边界条件可得 n12 12rsinSSreHJee
