1、1,结晶学与矿物学,下面是第三章: 晶体的宏观对称 Next section: crystal symmetry,2,晶体的宏观对称,对称的概念晶体的对称要素对称要素的组合规律对称型(点群)及其符号晶体的对称分类,结晶学与矿物学,3,结晶学与矿物学,对称的概念,Symmetry是宇宙间的普遍现象是自然科学最普遍和最基本的概念是建造大自然的密码是永恒的审美要素,4,结晶学与矿物学,对称的概念,物体(或图形)中相同部分之间有规律重复,5,结晶学与矿物学,晶体的对称,晶体都是对称的晶体外形上对称晶体宏观性质上对称是晶体的基本性质之一是晶体科学分类的依据,6,结晶学与矿物学,对称操作(symmetry
2、 operation),能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复的动作(对称操作)some acts that reproduce the motif to create the patternMotif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern,7,结晶学与矿物学,对称元素,对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几何要素点、线、面等。对称元素种类对称中心(center of symmetry)对称面(symme
3、try plane)对称轴(symmetry axis)倒转轴(rotoinversion axis)映转轴(rotoreflection axis)对称元素的符号 国际、习惯、图示符号：教材之表3-1、表7-1,8,结晶学与矿物学,对称元素符号,宏观晶体的对称要素,9,结晶学与矿物学,晶体对称定律,只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴 轴次 n 的确定: n = 360/aa + 2a cosa = macosa = (m-1)/2 1m = 3, 2, 1, 0, -1a = 0, 60, 90, 120, 180n = 1, 6,
4、4, 3, 2,10,结晶学与矿物学,对称元素之对称操作,对称操作 对应点的坐标变换 (x, y, z) (X, Y, Z),or,对称变换矩阵,11,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴二次(two-fold rotation)= 360o/2 rotationto reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,12,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴二次(two-fold rotation)= 360o/2 rotationto reproduce a motif in a
5、 symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,Motif,Element,Operation,6,6,= the symbol for a two-fold rotation,13,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴二次(two-fold rotation)= 360o/2 rotationto reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,Motif,Element,6,6,= the symbol for a two-fold rotation,第一步,
6、第二步,14,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴二次(two-fold rotation)变换矩阵,A Symmetrical Pattern,6,6,第一步,第二步,15,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation)等效的例子,16,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation)等效的例子,17,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation)等效的例子,18,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation
7、)等效的例子,19,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation)等效的例子,20,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation)等效的例子,21,对称轴(Ln)之对称操作,结晶学与矿物学,对称轴二次(two-fold rotation)等效的例子,1st 180o rotation makes it coincident 2nd 180o brings the object back to its original position,22,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴三次(three-
8、fold rotation)= 360o/3 rotationto reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,6,23,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,对称轴三次(three-fold rotation)= 360o/3 rotationto reproduce a motif in a symmetrical pattern,A Symmetrical Pattern,6,6,6,step 1,step 2,step 3,24,6,1-fold,2-fold,3-fold,4-fold,
9、6-fold,变换矩阵：,结晶学与矿物学,对称轴(Ln)之对称操作,其他的对称轴(没有5-fold 和 6-fold 的),25,结晶学与矿物学,对称面(m)之对称操作,对称面(mirror) Reflection across a “mirror plane” reproduces a motif = symbol for a mirror,m,26,结晶学与矿物学,对称面(m)之对称操作,对称面(mirror) 变换矩阵,m,( m包含x、y轴),m包含x、z轴 ?m包含y、z轴 ?m在其他位置 ?,27,结晶学与矿物学,对称心之对称操作,对称心(C, 1)假想的几何点，相对于这个点的反伸
10、(x, y, z) (-x, -y, -z) 变换矩阵：,28,结晶学与矿物学,对称心之对称操作,对称心(C, 1)假想的几何点，相对于这个点的反伸(x, y, z) (-x, -y, -z),29,结晶学与矿物学,对称心之对称操作,对称心(C)假想的几何点，相对于这个点的反伸(x, y, z) (-x, -y, -z)Step 1: rotate 360o/1(identity)?,30,结晶学与矿物学,对称心之对称操作,对称心(C)假想的几何点，相对于这个点的反伸(x, y, z) (-x, -y, -z)Step 1: rotate 360o/1Step 2: invert,31,结晶学
11、与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸= 对称轴对称心 变换矩阵：,种类Li1 = CLi2 = PLi3 = L3 +CLi4Li6 = L3 +P,32,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,33,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,34,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,35,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,36,结晶学与矿
12、物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,37,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,38,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,39,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1:
13、 Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,40,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,Step 5: Rotate 360/4,41,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,Step 1: Rotate 360/4,Step 2: Invert,Step 3: Rotate 360/4,Step 4: Invert,St
14、ep 5: Rotate 360/4,Step 6: Invert,42,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li4为例,4-fold rotoinversion ( 4 ),43,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li3,3-fold rotoinversion ( 3 ),1,6,5,2,3,4,44,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴Li6,6-fold rotoinversion ( 6 ),Top View,45,结晶学与矿物学,倒转轴(Lin)之对称操作,倒转轴对称操作之图解,46,结晶学与矿物学,映转轴(Lsn)之对称操作?,L1i
15、= L2s = C；,L2i = L1s = P；,L3i = L6s = L3 + C；,L4i = L4s；,L6i = L3s = L3 + P,47,结晶学与矿物学,对称元素的组合,二次轴(L2)+对称面(P),48,结晶学与矿物学,对称元素的组合,二次轴(L2)+对称面(P)Step 1: reflect,49,结晶学与矿物学,对称元素的组合,二次轴(L2)+对称面(P)Step 1: reflectStep 2: rotate,50,结晶学与矿物学,对称元素的组合,二次轴(L2)+对称面(P)Step 1: reflectStep 2: rotate,Is that all?,No
16、! A second mirror is required !,So, L2 + P = L2 2P (2-D),51,结晶学与矿物学,对称元素的组合,四次轴(L4)+对称面(P),52,结晶学与矿物学,对称元素的组合,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,53,结晶学与矿物学,对称元素的组合,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,54,结晶学与矿物学,对称元素的组合,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,Step 3: rotate 2,55,结晶学与矿
17、物学,对称元素的组合,四次轴(L4)+对称面(P),Step 1: reflect,Step 2: rotate 1,Step 3: rotate 2,Step 4: rotate 3,56,结晶学与矿物学,对称元素的组合,四次轴(L4)+对称面(P),Any other elements?,Yes, two more mirrors,So, L4 + P = L4 4P (2-D),57,结晶学与矿物学,对称元素的组合,三次轴(L3)+对称面(P),L3 + P = L3 3P (2-D),58,结晶学与矿物学,对称元素的组合,六次轴(L6)+对称面(P),L6 + P = L6 6P (2
18、-D),59,结晶学与矿物学,对称元素的组合,Ln P(|) Ln n PLn L2() Ln nL2Ln P() = Ln C Ln P C (n =偶数)Lni P(|) = Lni L2() Ln i nL2 nP (n =奇数) Lni P(|) = Lni L2() Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数),60,结晶学与矿物学,对称元素的组合,几个实际的例子,61,结晶学与矿物学,点群(对称型)及其符号,什么是点群(point group)?,宏观晶体中所有对称元素的集合,10 unique 3-D symmetry elements: 1 2 3 4 6 i m 3 4 6
19、 And 22 possible combinations of these elements Totally, 32 point groups,62,结晶学与矿物学,点群 (对称型)及其符号,63,结晶学与矿物学,点群 (对称型)及其符号,有多少种点群? 32种 (见 .gif文件),如何得到的? 推导?,如何用符号表达? 习惯符号 国际(H-M)符号 圣佛利斯(Schoenflies)符号,参见教材: P33，表33,64,结晶学与矿物学,点群及其符号,教材：P3536,65,结晶学与矿物学,点群及其符号,点群的国际符号,最多有三个位, 分别代表不同方向如mmm, 432, 4/m了解不同
20、位之间的关系全面掌握(!)32种点群的国际符号,66,结晶学与矿物学,点群及其符号,点群的国际符号,4/mmm,1,2,3,1,1,2,3,3,2,P91, 表75,67,结晶学与矿物学,晶体的对称分类,晶族(crystal category)的划分根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族高级晶族(higher category)中级晶族(intermediate category)低级晶族(lower category),问题:什么是高次轴?最多有多少高次轴?,68,结晶学与矿物学,晶体的对称分类,晶系(crystal system)的划分根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，
21、总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族等轴晶系(isometric system), 又称立方晶系(cubic system)六方晶系(hexagonal system)四方晶系(tetragonal system)三方晶系(trigonal system)斜方晶系(orthorhombic system), 亦称正交晶系单斜晶系(monclinic system)三斜晶系(triclinic system),参见教材: P34，表34,69,结晶学与矿物学,晶体的对称分类,晶体的对称分类:参见教材: P34，表34 - the below and next page,70,71,32种点群的Wulff投影,See java applet,
