1、魅力与精髓,数学科学的,南京大学数学系,苏维宜,数 学,揭示宇宙的规律,用智慧的思维、严谨的逻辑,精湛的技巧、缜密的推理,我的目录 ,一、连续统假设,与牛顿微积分,二、分数维数,与分形微积分,先从一个故事开始 “惊天的成就” （王元的评价）,这样的数列,由素数构成的等差数列,素数等差数列,称为数列的长度,存在不存在 ？,为素数，,其中,为公差，,素数等差数列,数列,答案当然是肯定的 ！ 例如,项数,公差,目前，计算机 能找到的 最长的 等差素数列 为,素数等差数列,非常非常大的素数,738,095,860 7亿3千8百零9万,素数等差数列,56万2千1百13亿8千3百76万零3百97,44万5
2、千4百67亿3千8百另9万5千8百60,大约是1025万亿的数量级,等差素数列的存在性定理 定理：对于任意的,素数等差数列,素数集必包含长度为,的等差素数列。,“存在性” 的证明 方法之难、技巧之高、 思维之精、理论之深 令人叹为观止 达到数学科学的顶峰。,素数等差数列,世界舆论惊呼： “美丽的素数、伟大的证明” “一步登天的杰作” “惊天的杰作”,素数等差数列,“第二位华裔数学家出现 在Fields奖坛上”,陶泽轩、 B. Green（澳大利亚华裔数学家） (美国)用调和分析、数论、遍历理论等 证明了：任意长度 的 素数等差数列存在,陶泽轩、Green,陶泽轩,陶泽轩,31岁（2006年）获
3、 菲尔兹（Fields）奖 同年，获麦克阿瑟天才基金。,陶泽轩,他的一本书：,分析学,给我以启发，决定讲下面的内容。,中国老一辈、新一代的 数学家们的期盼： “实现中国本土 Fields奖零的突破”,期盼,这个突破，历史地,落到你们的肩上。,要达到科学的 顶 峰,必须 热爱科学，热爱数学 训练从小开始 用心去学 就像钢琴、体操、,一、,连续统假设 与牛顿微积分,从数集开始,自然数集,整数集,有限数集,非负数集,等等,早在公元前500多年，古希腊的数学家毕达哥拉斯和以他为首的毕达哥拉斯学派，对“数”进行了研究，他们认为 一切数都可表示为 两整数之比（quitient）至今还有人称有理数为比例数,
4、都是无限数集,把数放在“数轴”上,0,1,2,3,-1,-2,4,x,几个重要的问题,1、 何谓无限数集 ？2、无限数集中元的 “个数” 是多少 ？无限数集能比多少否3、 比有理数集更大的数集 存在吗 ？有不是有理数的数否,研究无限集及其中元的个数,自然数集与偶数集 哪个集的个数多 ？ 显然,回答：自然数集比偶数集 多出一倍,用“一对一”比较,自然数集比作无限多个椅子 偶数集中每个数代表一个人,一人坐一个椅子，不多也不少,有理数竟然能与自然数一对一,以0,1中的有理数为例,于是,无限集的定义,一个集合 ，若存在与它 一一对应的真子集,则称其为无限集,自然数集“个数”,将自然数集作为无限数集的
5、标准集，称其“个数”为 势 cardinal number,记为 读作 阿里夫零,下列数集都可建立一一对应,自然数集,整数集,有理数集,非负整数集,几个无限集的势,请同学们自行证明,势的运算规则,德国数学家Cantor发现：幂运算 也能推广到“势”,比阿里夫零更大的势,代表 自然数集的全体子集 所构成的集的“势”Cantor 证明了,回顾无理数的诞生 毕达哥拉斯 古希腊（Pythagoras, 约BC580BC500） 毕达哥拉斯学派对数学有巨大贡献如数论、几何（勾股定理）、数学的抽象思维研究方法等等。但却顽固 坚持：任何数都是有理数,付出血的代价 希帕索斯 的悲剧 （Hippasus） 相传
6、第一个发现 不能表示成分数的希帕索斯，被同一学派人投入大海而毙命。 习题：证明 不能表成分数,越来越多的数学家发现了无理数，这使得数学家的思想认识发生混乱，导致数学史上有名的 “第一次数学危机”。,直到19世纪七十年代，德国数学家 康托 （Cantor）、 戴德金（Dedekind）、 魏斯特拉斯（Weierstrass）分别独立地提出了三种不同方式 定义无理数使 实数理论得以真正公理化。,无理数的势,无理数诞生后， 数学家证明了 无理数的“势”就是,证明方法非常巧妙,1、个数为 的有限集合 的 所有子集共有 个,2、势为 的无限集 的所有 子集设为 ，记为,构造一个集合,1、设 为 的所有子
7、集的集合,2、设,为单点集所成的集,构造集合,导出矛盾！（练习题）,导出矛盾,是 的子集,从而导出矛盾！故得,是,的元,数学家的不断努力，使数集不断完善。 无理数的诞生使得数轴被 “填满”，获得了实数系,势为阿里夫的集,基数阿里夫也称为 连续统基数,连续统假设,Cantor猜想 基数阿里夫与阿里夫零 之间不存在其他基数,Hilbert 23问题,1900年巴黎的第二次国际数学家大会上，Hilbert 提出举世闻名的 23 问题，连续统假设显赫地排在 第一个 。,Hilbert 23问题的答案,1966年美国数学家科恩 p.J. Cohen因证明连续统假设与ZF集合公理系统彼此独立彼此相容，而获
8、Fields奖,成为微积分的基础,连续统假设是 独立的现代逻辑工具更成为 牛顿微积分的基础,连续统假设的本质,连续统假设与 ZF公理系统 （Zermelo）- (Fraenkel) 彼此独立,ZF公理系统,1、 空集存在2、元素相同的集相等3、两集的序对集（积集）存在4、集中的一些元素的并集存在5、集的所有子集（幂集）存在,ZF公理系统,6、集在单值映射下的像仍是集7、正则公理：集不是自己的元8、无限公理：无限集存在9、选择公理：不含空集的非空 集族,七种等价结论,连续统假设成为微积分的基础， 常用的是七个等价原理1、非空有界集的确界存在原理2、单调有界序列的收敛原理3、 Cantor 区间套
9、原理4、 Heine-Borel有限覆盖定理 （有界闭区间的紧致性）,七种等价结论,5、 Bolzano-Weiestrass 定理 （有界闭区间的序列紧性）6、 Weiestrass 聚点定理 （ 有界无限数集的列紧性）7、 Cauchy 序列的收敛性定理 （实数集的完备性）,我们只解释一下比较直观的 区间套原理：设递减闭区间序列,的长度,趋向于 0,当,则存在唯一一点属于所有区间。,用数学记号,区间套,存在唯一的一个公共点,当区间长度趋向于零时，应当,思考：为何以连续统假设为基础？,牛顿微积分,要解决的核心问题,英国 德国 （Newton, 16431727） （ Leibniz, 164
10、61716 ） 微积分 科学家联手，成为 微积分的 奠基人,牛顿,莱布尼兹,在牛顿微积分中 导数意义 曲线切线的斜率（数学） 运动物体的速度（物理） 积分意义 图形的长度面积 （数学） 物体的质量力矩 （物理）,导数 曲线切线的斜率（数学） 运动物体的速度（物理）都抽象地表示为一个 “极限”,这里,是曲线割线的斜率，,或运动质点的平均速度。,曲线切线的斜率（数学）,这里,是曲线割线的斜率,是切线的斜率,曲线也可视为运动质点的运动轨迹,积分 图形的面积（数学） 物体的质量（物理）也都抽象地表示为一个 “极限”,这里,是区间,的划分，,图形的面积（数学）,这里,是区间,的划分，,是红色矩形面积,是
11、图形面积的近似值,牛顿微积分,粗略地说,探索宇宙间 数与形（数学）、 运动体（物理） 变化率与度量的规律 的学科,牛顿微积分,核心问题是,如何处理 “近似值”（平均量） 与 “精确值” （极限）,因此极限是 至关重要的概念！,牛顿微积分,本质性质是什么？,也就是 要建立称为 “微分”、 “积分”,的概念，当满足什么 本质性质？,就称极限值,牛顿微积分,为,在,的导数，记为,几何意义：曲线,在点,的切线的斜率。,定义变化率的准则,作为变化率，视为求导运算， 应满足以下准则：（1）求导运算存在逆运算 积分运算（2）导数的Fourier变换满足 Fourier 变换公式,牛顿微积分,（3） 导数满足
12、逼近论中的 正、逆逼近定理（4） 固有方程的解 固有函数与固有值 是所对应的局部紧群的 特征群的特征函数 与特征值,数学表示,（1）求导运算的逆运算 积分运算,（1）的意义,正如，加法的逆运算 是减法,数学表示,（2）导数的Fourier变换 满足 Fourier变换公式,（2）的意义,函数的Fourier变换 理解为信号（函数）的 频谱,Fourier变换的意义,在实际应用中， 信号（函数）分析 非常重要雷达测量到的是信号的 频率（Fourier变换）,（3） 导数满足逼近论中 正、逆逼近定理,（3）的意义,亦即，函数愈光滑，最佳逼近,趋于零的速度愈快；反之亦然。,唯一的多项式，称为最佳近。
13、,则函数越光滑（存在导数的阶 越高），最佳逼近趋于零的速 度愈快；反之亦然。,其意思是：用多项式近似代替,（逼近）一个函数时，存在,（4） 固有方程的解 固有函数与固有值 是所对应的局部紧群的 特征群的特征函数 与特征值,（4） 的意义 物理背景强烈（振动的固有频率、 士兵过桥的故事） 数学意义深刻 （群与特征群理论）,二、,分数维数 分形微积分,Mandelbrot （美籍） 1967发表（Science, 155, p.636） 英国的海岸线 有多长 ？,为何在如此顶级的、 世界级科学期刊 “科学” 上， 发表几乎是中学地理课 都会讲到的一个 众所周知的内容呢？,更有甚者、 它的答案竟然是
14、 无穷大 ！,英国海岸线模拟,二十世纪中叶以后，诸多领域 的科学家们注意到大自然中出现的 现象 蝴蝶效应、孤立子、湍流、 月坑、河流、凝聚现象、 探矿、地震、海啸、 临床医学、生命科学、 市场行情、股票期货、,在其他科学领域中，如 物理学、天文学、 生命科学、 地球科学、 环境科学、 诸多领域中都也出现了,大自然中、 科学研究中出现了大量的 牛顿微积分 解决不了的问题！,数学家早就发现 连续但处处无导数,Weierstrass函数、,牛顿微积分无能为力！,Weierstrass 函数,Weierstrass函数,其图形为,蝴蝶效应： 撒哈拉大沙漠中的一只蝴蝶扇扇翅膀，就会在美国纽约掀起一场 狂
15、风暴雨 这是怎么一回事呢 ？,Lorentz 体系：,数学家研究了它的解：在三维空间中，解曲线上的点从原点出发，呈蝴蝶状向外扩张，然后又回到原点，解曲线上两点间的距离则按指数函数增大。“不稳定” ！,Lorentz 体系的解 不满足稳定性 混沌,产生奇怪吸引子,蝴蝶效应,这里说到 （1） 微分方程组：是指含几个未知 函数的导数的方程组； （2） 微分方程解的存在性、唯一性、稳定性 统称“适定性” 。 不是每个偏微分方程都能解出来的， 数学家能证明，在一定条件下，它的解 存在（一定有）、唯一（只有一个）、 稳定（不大起大落） ！,蝴蝶效应 就是当 Lorentz 系的 稳定性被破坏时产生的 自然
16、现象。,孤立子（波）,另一个现象,伦敦泰晤士河边 骑马散步的罗素发现了 孤立子,泰晤士河,在实验室里产生孤立波，这种现象的数学研究方法是研究一种可积系统，涉 及很深的数学理论。,如今已经可以,Mandelbrot,B.B. (1924-) 美籍波兰人，耶鲁大学教授 20世纪70年代中期提出 fractal (分形)( 来自拉丁语fractus，意为碎片),Mandelbrot,研究对象： 自然界中不规则、支离破碎、 经典数学难以研究的问题 例如：Cantor集、魔鬼阶梯、Weierstrass函数、Brown运动,Fractal分析,Cantor三分集,问题：Cantor三分集中还有点吗 ？,
17、魔鬼阶梯,能登着魔鬼阶梯的每一级从底到顶吗 ？,Cantor三分集,答案：Cantor三分集中 有无穷多个点， 多到 能与区间 0,1 中的点 一一对应；亦即，它的势是,答案（1）,答案：,不可能 登着魔鬼阶梯 每一个台阶上去！,答案（2）,（为什么？留给听众思考！）,Coch曲线（雪花曲线）,随机雪花曲线是 英国海岸线 的模拟,Fractal分析,气体分子Brown运动,水墨画,Fractal分析,Mandelbrot 心 脏,Fractal分析,Mandelbrot 心 脏,Fractal分析,动态的Mandelbrot心脏,树叶,风筝,抽象派项链,Fractal分析,龙的曲线,Fract
18、al分析,Julia集（兔子集）,Fractal分析,Julia集（兔子集）,Fractal分析,余弦树,Fractal分析,分形有大量的应用， 如物理、化学、天文、 地质、经济、生命科学、 临床医学、 等待着您！,Fractal分析,什么是分形呢？,分形图形或分形集指的是 具有以下特征性质的几何形体:（1）在任意小的尺度下 都有细结构 （无论如何细分，都含有 自身的特征性质）；,Fractal分析,（2）处处不可微 （没有经典意义下的导数、 或逐段导数0, 接点无导数）（3）通常的度量对它们失去意义 （如长度、面积、体积等, 或 = 0 ,或 = 无穷大）；,Fractal分析,（4） 有其
19、自身生成规律性 （自相似、自仿、递归、 随机自相似、随机行走等）例如, Cantor三分集, Cantor 三分函数 （魔鬼阶梯）, Julia集, Brown 运动, Weierstrass 函数, Koch 曲线, Mandelbrot 心脏, 龙的曲线, 等等.,Fractal分析,Fractal,向传统挑战,Fractal分析,经典微积分： 导数（微分） 切线斜率 运动物体的速度 积分 物体的度量 长度、面积、体积,牛顿微积分,但是，经典微积分： 求导数、求积分 必须有条件例如：有切线 无切线,牛顿微积分,求积分（长度、面积、体积） 度量单位给定，Cantor 三分集长度为零； 雪花曲
20、线长度为无穷大！对于不满足条件的曲线、曲面， 出现失去意义的情况。,牛顿微积分,英国的海岸线为无穷大， 是因为： 尺度不对正如：用称煤的大秤去秤金项链 得到金项链的重量为 0 用天平去秤铁块 得到铁块的重量为无穷,Fractal分析,我们从维数开始认识 “分形”点是 0 维，直线是 1 维， 平面是 2 维，空间是 3 维。有 4 维、5维、吗 ？,有 维吗？ 有分数维、无理数维吗 ？,Fractal分析,分形分析的思维,（1）各种分形维数 超越了经典几何的概念 例如，Cantor集,Fractal分析,这个维数称为 Hausdorff 维数 Cantor集在 Hausdorff 维数 之下，
21、其 Hausdorff 测度 （不再像Lebesgue测度那样为零了）,Fractal分析,Hausdorff 维数的引入：取定 a 为直线上的尺度， 平面上以 a 为边的正方形面积为 空间中以 a 为边的立体体积为,当,作为尺度不合适时，,取,，,就是一种新“维数”,，,Fractal分析,这种思维，显然 超 越 了 经典几何的测量思维方法，达到 创 新 水 平,Fractal分析,记Hausdorff维数为 s, 则 Koch曲线 s = ln4/ln3英国海岸线 s = 1.2618亚马孙河流域 s = 1.85蚂蚁行走路径 s = 1.2月球“酒海” 月坑 s = 2.3人类的肺 s
22、= 2.17人类的血管 s = 3,Fractal分析,（2） 分形集、分形函数 的 “变化率” 问题 超越了牛顿微积分例如，Weierstrass函数， 处处连续、处处不可导,Fractal分析,众所周知， Weierstrass函数,Fractal分析,Weierstrass 证明： 处处不可导，点点无导数,Fractal分析,当一个质点沿着 Weierstrass曲线运动时，其“变化率”是什么? 又如何表示?,Fractal分析,必须建立分形微积分,“分形微积分” 是分形分析的 重要、核心 课题,Fractal分析,如何建立？,确定一个准则，亦即：定义 分形函数变化率 ( “rate o
23、f change” of a Fractal ) 的 principle ?,Fractal分析,定义变化率的准则,已如前所说， 应满足以下准则：（1）求导运算存在逆运算 积分运算（2）导数的Fourier变换满足 Fourier 变换公式,Fractal分析,（3） 导数满足逼近论中的 正、逆逼近定理（4） 固有方程的解 固有函数与固有值 是所对应的局部紧群的 特征群的特征函数 与特征值,Fractal分析,局部域上的分形空间,在局部域上定义分形空间 将分形函数进行分类 研究其分析性质 建立分形微积分,Fractal分析,“局部域”的严格定义 需要用到很多基础知识。 最特殊的情形，就是 实数
24、直线的二进制表示， 它是特殊的局部域。,我们的思路,要解决的 主要问题,（1） 什么是 分形函数的“导数”（2） 如何建立 分形空间 （3） 怎样反映 分形的动力学行为,上世纪6070年代分形微积分,Gibbs(英国数学家) 定义了 逻辑导数,Fractal分析,其意义是,整体变化率,Fractal分析,我们通过 拟微分算子,Fractal分析,定义一种新“导数”，称为 p -型导数,可以证明，这样定义的 新型导数,Fractal分析,满足所述的 四个准则。,新型导数的物理意义,Fractal分析,运动的整体变化率； 本征方程为 ；,本征函数为 。,新型导数的数学意义,Fractal分析,作为
25、运算，有逆 ；,“可导性”越高，函数越 “光滑”；反之亦然；,亦即，满足正逆逼近定理,新型导数深层次的意义,Fractal分析,可推广到 分布的导数；,固有函数是特征群的元,“可导函数” 居住在Holder型空间 ；,。,P 型导数与分形,的应用,非线性科学,在数学科学 中的应用,非线性科学,调和分析、 空间理论、 函数逼近论、 偏微分方程、 ,在分形分析 中的应用,非线性科学,分形维数与p型导数的关系、 分形空间的研究、 分形偏微分方程、 ,p型导数与 分形分析,非线性科学,在临床医学、生命科学 中的应用,肿瘤边界形状、 人类基因功能、 肝脏移植中 供体与受体,非线性科学,活体肝脏移植的血流
26、动力学的 分形数学模型 建立与应用,非线性科学,辅助性原位部分肝移植,原肝的一部分,移植上去的部分,非线性科学,宇宙间 处处有分形分形是 非线性现象共性中的 核心的部分,非线性科学,非线性科学 核心部分 混沌、 分形、 孤立子,非线性科学,云层、山峦、地壳、 地层、矿藏、海岸线、 河流、树叶、 ,自然界的,人 体中的 神经系统、血管网络 经络（中医学）、 脏器移植、,非线性科学,物理、材料、化学、能源、 天文学、地质学、 生物学、经济学、 社会学、管理学、 股票、期货、,科学领域中,非线性科学,学好数学，用好数学,开辟新思路、建立新概念、 寻求新理论、设计新方法。 成为真正的科学人!,期望,非线性科学,谢 谢 ！,
