1、 - 1 - 构建新数列巧解递推数列竞赛题 递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项 求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。 例 1、数列 na 中， 11a ， nnn aaa 241411611
2、。求 na 。 （ 1981年第 22届 IMO 预选题） 分析 本题的难点是已知递推关系式中的 na241 较难处理，可构建新数列 nb ，令 nn ab 241 ，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。 解：构建新数列 nb ，使 0241 nn ab 则 51b ， nn ab 2412 ，即 2412 nn ba nnn bbb 24 14116124 1 22 1 化简得 221 32 nn bb 32 1 nn bb ，即 32131 nn bb 数列 3nb 是以 2为首项， 21 为公比的等比数列。 - 2 - nnnb 21 22123 即 322 nnb 121122 23
3、 123224 1 nnnnn ba2 证明不等式 这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式 证明不等式。 例 2、设 10a ，12 1 11 nnn aaa Nn ，求证： 22 nna 。 （ 1990年匈牙利数学奥林匹克试题） 分析 利用待证的不等式中含有 及递推关系式中含有 2 11 na 这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列 n ，使 nn tga ，化简递推关系式。 证明：易知 0na ，构建新数列 n ，使 nn tga ， 2,0 n则 2s inc o s111 11 11 12
4、 nnnnnn tgtgtga 2 1 nn tgtg ， 21 nn 又 10a ， 8121 tga ，从而 81 因此，新数列 n 是以 8 为首项， 21 为公比的等比数列。 212821 nnn - 3 - 考虑到当 )2,0( x 时，有 xtgx 。 所以，22 22 nnn tga 注：对型如 21 na ， na1 ，111 nnnn aa aa 都可采用三角代换。 3 证明是整数 这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。 例 3、设数列 na 满足 11a ，nnn aaa12
5、11 )( Nn 求证： Nan 222 1, nNn 。 （中学数学教学参考 2001年第 8期第 53页，高中数学竞赛模拟试题） 分析 直接令222 nn ab，转化为证明 Nbn )1,( nNn 证明：构建新数列 nb ，令 0222 nn ab则 2422 nn ba， 242 12 1 nn ba代入 221 121 nnn aaa整理得 222 1 24 nnn bbb 从而 2 12 12 24 nnn bbb )3(n 于是 22 12 12 122 1 122424 nnnnnn bbbbbb )3( - 4 - 12 2 11 nnn bbb )3(n 由已知， 42b
6、， 243b ，由上式可知， Nb4 ， Nb5 ，依次类推，Nbn )1(n ，即 Nan222 。 例 4、设 r为正整数，定义数列 na 如下： 11a ， 2 )1(2 21 n nnaarnn)( Nn 求证： Nan 。 （ 1992年中国台北数学奥林匹克试题） 分析 把条件变形为 rnn nnaan 21 122 比较 1na 与 na 前的系数及 1na 与 na 的足码，考虑到另一项 为 rn 212 ，等式两边同乘以 1n ，容易想到构新数列 nb ，使 nn annb 1 。 证明：由已知得 rnn nnaan 21 122 121 12121 rnn nannann 构
7、建新数列 nb ， nn annb 1 则 21b ， 121 12 rnn nbb 11 11nk kkn bbbb 121212 3212 rrr n Nbn 11121212 )(2 nkrrrn knknb - 5 - 1122 122122 1221 1212122 nkrrrrrrrrr knCknCknCnn nbn 又 nkrrnknkrrn knkknkb112121 11212 1)1( nk rrrrrrrr knCknCknCn1 22 122122 1221 1212 1111 1n | nb 1nn | nb ，从而 Nan 。 4 解决整除问题 一般通过构建新数列
8、求出通项，再结合数论知识解决，也可 用数学归纳法直接证明。 例 5、设数列 na 满足 11a ， 32a ，对一切 Nn ，有 nnn anana 23 12 ，求所有被 11 整除的 a 的一切 n值。 （ 1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题） 分析 变形递推关系式为 nnnn aanaa 112 2，就容易想到怎样构建新数列了。 解 ：由已知 nnnn aanaa 112 2 构建新数列 ,2nbn nnn aab 11 1n 则 22b ， nnnn bnaanb 11 11 2n !311 221 nbnnbnnnbb nnn 2n nknk knk nnn kbaaaa 122
9、11 !1- 6 - 从而 3114 a ， 4203118 a ， 3670831110 a ，当 11n 时，由于 101 !k k被 11 整除，因而 nkkn kka 11101 !也被 11 整除。 所以，所求 n值为 4n ， 8，及 10n 的一切自然数。 5 证明是完全平方数 这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项 na ，问题也就迎刃而解了。 例 6、设数列 na 和 nb 满足 10a ， 00b ，且 478 36711nnnnnn bab baa ,2,1,0n 求证： na 是完全平方数。 （ 2000年全国高中联赛加试题） 分析 先用代入法消去 nb
10、和 1nb ，得 0614 12 nnn aaa ，如果等式中没有常数项 6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令 aaC nn ，易求得 21a 。 证明：由式得 nb ， 1nb 代入得 0614 12 nnn aaa 化为 021211421 12 nnn aaa构建新数列 nc ， 21nn ac，且 210c， 272136721 0011 baac - 7 - 014 12 nnn ccc 由特征方程 01142 得两根 3471 ， 3472 所以 nnn mmc 2211 当 0n ， 1时，有 21347347212121mmmm解得： 4121 mm则 nnnc 3474134741 nn 22 32413241 则 232324121 nnnn ca因为 nn 3232 为正偶数，所以， na 是完全平方数。 从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。
