1、六 逻辑学与理性精神+1 同一律的内容是：在同一思维过程中，一切思想都必须保持同一。例 1 张先生买了块新手表。他把新手表与家中的挂钟对照，发现手表比挂钟慢了三分钟；后来他又把家中的挂钟与电台的标准时对照，发现挂钟比电台标准时一天快了三分钟。张先生由此推断；他的表是准确的。以下哪项是对张先生推断的正确评价？A 张先生的推断是正确的，因为手表比挂钟慢三分钟，挂钟比标准时快三分钟。B 张先生的推断是正确的，因为他的手表是新的。C 张先生的推断是错误的，因为他不应该把手表和挂钟比，应该直接和标准时间比。D 张先生的推断是错误的，因为挂钟比标准时快三分钟，是标准的三分钟；手表比挂钟慢三分钟，是不标准的
2、三分钟。E 张先生的推断既无法断定为正确，也无法断定为错误。2 矛盾律的内容是：两个互相矛盾或互相反对的命题不能同真，必有一假。例 2 甲、乙、丙三位男同学在白马湖边散步。对面走来一位摩登女郎。甲说：她是外语系的。乙说：她不是外语系的。丙说：你们说的都对。请问丙的说法是否有错误？3 排中律的内容是：两个互相矛盾或互相下反对的命题不能同假，必有一真。例 3 甲、乙、丙三位男同学在寝室讨论是否有鬼的问题。甲说：世界上没有鬼。乙说：世界上有鬼。丙说：你们说的都不对。请问丙的说法是否有错误？第二章 命题逻辑一 简单命题和复合命题简单命题就是只能分析为不同的词项、不能分析为其他命题的命题。复合命题则是包
3、含其他命题的命题，它是用联结词和其他命题构成。（1） 春天来了。（2） 如果冬天来了，春天将不再遥远。二 联言命题联言命题是反映若干事物情况同时存在的命题。它是由“并且”这类联接词和两个或两个以上的支命题形成。（3） 毛泽东是思想家，并且毛泽东是政治家。（4） 天下雨，路又滑。联言命题的真值由它的支命题的真值确定。支命题的真值都真时联言命题为真。联言推理的有效式1 合成式 ：pq所以，p 并且 q2 分解式：p 并且 q所以 p三 选言命题选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题。相容选言命题是借助“或者”这类联结词和支命题形成。（5） 小李发烧或是由于感冒，或是由于肺炎。相容选言命题的真值由
4、它的支命题的真值确定。有一个支命题为真时相容选言命题的真值命题为真。相容选言推理的有效形式：否定肯定式：p 或者 q非 p所以 qp 或者 q 或者 r非 p所以 q 或者 r不相容选言命题是由“要么要么”这类联结词和支命题形成的。（6） 要么玉碎，要么瓦全。有一个支命题为真且只有一个支命题为真时不相容选言命题的真值命题为真。不相容选言推理的有效形式1 否定肯定式：要么 p 要么 q非 p所以 q要么 p 要么 q 要么 r非 p，非 q所以 r2 肯定否定式：要么 p 要么 qp所以 非 q要么 p 要么 q 要么 rp所以非 q 非 r四 假言命题假言命题亦称条件命题,表示条件的命题叫前件
5、,表示结果的叫后件。它是有条件的反映某种情况存在的命题。它因条件的不同可分为三种：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题。1 充分条件假言命题及其推理充分条件假言命题是反映一事物情况是另一事物情况充分条件的命题。它的典型联结词是“如果那么” 。（7） 如果我当总理，那么就任命你当财政部长。（8） 人心齐，泰山移。充分条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的充分条件。只有前件真后件假时，它才是假的。充分条件假言推理是根据充分条件假言命题的逻辑性质进行推演的推理。它的有效式是：肯定前件式 否定后件式如果 p 那么 q 如果 p 那么 qP 非 q所以 q 所以 非 p例 4
6、如果我考上了硕士研究生，我请你吃饭。我考上了硕士研究生。所以我请你吃饭。例 5 如果有严重的贪污行为，那就会犯罪。他没有犯罪。所以，他没有严重的贪污行为。下面的两种形式是无效的：否定前件式，肯定后件式。如果 p 那么 q 如果 p 那么 q非 p q所以，非 q 所以 p2 必要条件假言命题及其推理必要条件假言命题是由“只有才”这类联结词连接两个支命题形成的复合命题。（9）只有年满 18 岁才有选举权。必要条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的必要条件。因此只有当它的前件假而后件真时它才是假的。根据必要条件假言命题这一性质，必要条件假言推理的有效式是：否定前件式 肯定后件式只有 p
7、才 q 只有 p 才 q非 p q所以，非 q 所以 p例 6 只有年满 18 岁才有选举权。他没有年满 18 岁。所以他没有选举权。例 7 只有年满 18 岁才有选举权。她有选举权。所以，她年满了 18 岁。下面的两种形式是无效的：肯定前件式，否定后件式。只有 p 才 q 只有 p 才 qp 非 q所以，q 所以 ，非 p3 充分必要条件假言命题及其推理充分必要条件假言命题是由“当且仅当” 这类联结词连接两个支命题形成的复合命题。五 负命题负命题是由否定一个命题而得到的命题。它通过把“并非”这类否定词置于一个命题之前或之后而形成的。其标准形式是“并非 p”。负命题所否定的可以是一简单命题，也
8、可以是复合命题。简单命题的负命题的值与它相反。复合命题的负命题等值于另外一些命题。1“并非（p 并且 q） ”等值于“非 p 或者非 q”。2“并非（p 或者 q） ” 等值于“非 p 且非 q”3“并非（如果 p 那么 q） ” 等值于“p 并且非 q”4“并非（只有 p 才 q） ” 等值于“非 p 且 q”5“ 非非 p” 等值于“p”六 真值联结词 真值形式1 命题形式命题形式是一个具体命题抽出具体内容之后只保留其位置的框架，或者说是由这些位置和联结词所形成的一个结构。一个复合命题的形式是用命题变项 p、q、r取代其中的简单命题，联结词保持不变后而得到的。例 6 的命题形式是：只有 p
9、 才 q命题形式有两种成分：命题变项；联结词（逻辑常项） 。2 真值联结词日常语言的联结词有两个主要问题：一是不精确，二是负载了许多非逻辑的内容。撇开联结词所表达的各支命题在内容、意义上的联系只考虑各支命题的真假关系时日常语言的联结词就成为真值联结词。3 真值形式命题形式中的日常语言联结词用真值联结词替换后所得到的形式叫真值形式。如 pq、 pq、p 、 qp 等。从简单的真值形式可以生成任意有穷长的真值形式。在生成过程中的最后一步所使用的联结词叫做主联结词。（P q）（pr）（qr ）p真值形式不是一个具体内容的命题。它们本身是没有真值的。如果命题变项的真值确定后并且联结词的意义也固定了，它
10、们也就有真值了。真值联结词的意义经解释确定；命题变项的真值可以指派。4 真值联结词意义的解释P q p Pq Pq Pq P q1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 1七 日常语言中复合命题的符号化（写出命题的真值形式）步骤：第一 用不同的命题变项取代不同的原子命题；第二 用相当的真值联结词取代命题联结词；例 7 或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。p 表示甲是罪犯，q 表示乙是罪犯。表示或者。则例 7 可写为 pq例 8 人类假如想要知道自己渺小，无需仰视繁星密布的苍穹，只要看一看在我们之前就存在过、繁荣过、而且已经消失了的古代文化就足
11、够了。p 表示人类想要知道自己渺小，q 表示需仰视繁星密布的苍穹，r 表示看一看在我们之前就存在过、繁荣过、而且已经消失了的古代文化就足够了。则例 8 可写成 pqr八 重言式及其判定方法1 重言式、矛盾式、偶真式D1 一真值形式 A 是重言式，当且仅当，对于 A 中命题变项的任一真值指派，A 恒取值为真。D2 一真值形式 A 是矛盾式，当且仅当，对于 A 中命题变项的任一真值指派，A 恒取值为假。D3 一真值形式 A 是偶真式，当且仅当，对于 A 中命题变项的某些真值指派，A 取值为真。对于 A 中命题变项的另一些真值指派，A 取值为假。2 真值表方法用真值表方法判定一个公式的步骤是：（1）
12、找出该公式中所有不同的命题变项，并竖行列出它们之间所有可能的真值组合。例 9 （pq）pqp q pq （pq）p （pq）pq1 1 1 1 11 0 0 0 10 1 1 0 10 0 1 0 1（2）按照公式的生成次序，由简单到复杂横行列出该公式的所有子公式，直至该公式本身。（3）按照对真值联结词的解释，由命题变项的值逐步计算出各个子公式的值，直至该公式本身的值。若该公式的值恒为真，则它为重言式；若该公式的值恒为假，则它为矛盾式；若该公式的值有时为真，有时为假，则它为偶真式。例 10 pqrp q r q qr pqr1 1 1 0 0 01 1 0 0 0 01 0 1 1 1 11
13、0 0 1 0 00 1 1 0 0 10 1 0 0 0 10 0 1 1 1 10 0 0 1 0 13 归谬赋值法它的基本思路是：一公式 A，假设它为假时，它的子公式或它的命题变项的赋值了出现矛盾则它是重言式。（pq）（rs）（pr）qs01 1 01 1 1 0 00 00 0 0 0 0 1 0九 推理有效性的判定一个推理可以看成一个蕴涵式，前提是前件，结论是后件。如果一个推理转换成一个蕴涵式后，这个蕴涵式是重言式，这个推理就是有效的。因为这个推理形式的代入事例决不会出现前件真而后件假。因此判定一个推理是否有效就转化成为判定一个蕴涵式是否为重言式。例 11 如果某甲是罪犯，则他有作案
14、时间；他没有作案时间；所以他不是罪犯。解：用 p 表示某甲是罪犯；用 q 表示他有作案时间。与例 11 相应的蕴涵式是：（pq）qp 用真值表方法检验它的有效性：p q p q pq （pq）q （pq）qp1 1 0 0 1 0 11 0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 0 10 0 1 1 1 1 1例 12 或者（逻辑学难学 p） ，或者（没有多少学生喜欢它 q） 。如果（数学容易学 r） ，那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学并不容易学。解：与例 12 相应的蕴涵式是：（pq）（rp）（q r ）用归缪赋值法检验它的有效性：（pq）（rp）（q r ）0 10
15、1 1 1 1 0 0 1 0 0 01第三章 词项逻辑把简单命题拆分为主项、谓项、联项和量项，然后根据这些成分之间的关系去进行推理，由此得到的逻辑理论叫词项逻辑。一 直言命题1 直言命题的定义、结构和类型直言命题是反映某个对象具有或不具有某种性质的命题。（9） 所有的政治家都是说谎者。（10）有的天鹅不是白的。直言命题的基本结构是（量项）主项（联项）谓项主项是表示直言命题所述说的对象的哪个词项。如（9）中的政治家， （10）中的天鹅。谓项是表示直言命题所述说的对象所具有的性质的那个词项。如（9）中的说谎者， （10）中的白的。联项是连接直言命题的主项和谓项的词项。 “是”和“不是” 。量项是
16、表示直言命题所刻画的对象的数量或范围的词项。它分为全称（所有） 、特称（有些）和单称。在发分析直言命题的结构时用 S 表示主项，用 a 表示专名和摹状词，用 P 表示谓项。根据所含的联项和量项不同可以把直言命题分为六种类型：全称肯定命题：所有的 S 都是 P全称否定命题：所有的 S 都不是 P特称肯定命题：有些 S 是 P特称否定命题：有些 S 不是 P单称肯定命题：a 是 P单称否定命题：a 不是 P把前四种命题的逻辑常项分别用 A、E、I、O 表示，则它们可写成 SAP、SEP、SIP、SOP。2 直言命题的主谓项关系词项的内涵是该词项所表达的意思，或者说是该词项的对象说具有的特有属性。词
17、项的外延是该词项所表示的那个对象或对象类别。词项逻辑主要处理词项的外延。两个词项外延之间的关系有以下五种，它们可用欧拉图来表示。S P SP SP SP 0 SP0是同一关系 是真包含关系 是真包含于关系 是交叉关系 是全异关系和统称为属种关系，其中外延大的概念叫属概念，外延小的概念叫种概念。（11）青年 科学家 （12）等角三角形 等边三角形（13）大学生 学生 （14）唯物主义者 唯心主义者（11）中青年与科学家是交叉关系。 （12）中等腰三角形与等边三角形是同一关系。 （13）中大学生与学生是真包含于关系。 （14）中唯物主义与唯心主义是全异关系。在词项逻辑中，把任何直言命题的主项和谓项
18、都名词化。那么直言命题的主项和谓项的关系就变成了类与类或者集合与集合的关系。例（13）有些学逻辑的人很聪明。这一命题是要说明“学逻辑的人”所表示的类与“聪明（的人） ”所表示的类的关系。3 直言命题间的对当关系直言命题间的对当关系是指相同素材（即主、谓项相同）的直言命题间的真假关系。（15）所有的大学都是收费的。（16）有些大学是收费的。（15）与（16）之间存在着对当关系。直言命题是对于其主项、谓项之间外延关系的断定，其真假也取决于这种外延关系。A、E 、I、O 之间的真假关系概括为四类：反对关系、矛盾关系、差等关系、下反对关系。A、E 之间的关系为反对关系，它们之间不能同真，但可同假。从“
19、所有的马克思主义者是唯物主义者”是真，就可推出“所有的马克思主义者不是唯物主义者”为假。从“所有的劳动产品是商品”为假，不可推出“所有的劳动产品不是商品”A 与 O；E 与 I 之间是既不能同真也不能同假的关系。把它们叫矛盾关系。从“有些学生来上课了”为真，可推出“所有学生没来上课”为假。A 与 I、E 与 O 的关系是差等关系。全称命题真与之相应的特称命题为真；特称命题假与之相应的全称命题为假；全称命题假与之相应的特称命题真假不定；特称命题真与之相应的全称命题真假不定；I 与 O 之间是下反对关系。它们可以同真，但不能同假。4 直言命题中词项的周延性二 直接推理1 换质法2 换位法3 换质位
20、法4 对当关系推理（1）反对关系推理SAP SEP SEPSAP（2）差等关系推理SAPSIP SEPSOPSIPSAP SOPSEP（3）矛盾关系推理SAP SOP SEPSIP（4）下反对关系推理SOP SIP SIPSOP三 三段论1 三段论的定义、结构、格与式（1）三段论的定义 三段论是由一个共同词项把两个直言命题连接起来，得出一个新的直言命题作为结论的推理。例 14所有的科学都以追求真理为目标。各门社会科学都是科学， 所以，各门社会科学也以追求真理为目标。（2）三段论结构三段论由三个直言命题构成，其中两个是前提，一个是结论。结论的主项是小项(用 S 表示)，含有小项的前提是小前提；结
21、论的谓项是大项(用 P 表示)，含有大项的前提是大前提；两个前提共有的词项叫做中项(用 M 表示)。在例 14 中， “社会科学”是小项， “以追求真理为目标”是大项， “科学”是中项。相应地， “所有科学都以追求真理为目标”是大前提， “各门社会科学都是科学”是小前提， “各门社会科学也以追求真理为目标”是结论。（3）三段论的格。根据中项在前提中的不同位置，三段论分为四个不同的格，可分别表示如图MP PM MP PMSM SM MS MSSP SP SP SP第一格 第二格 第三格 第四格还需要指出的是， 日常思维中所表述的三段论常常是不那么标准的，往往需要做一些调整工作，其方法是：(1)区
22、分结论和大、小前提；(2)按大前提、小前提、结论的顺序，调整三段论中三个直言命题的位置；(3)确定大、小前提和结论的命题类型，并写出它们的标准形式。 例 15在作案现场的不都是作案者。因为有些在作案现场的没有作案动机，而作案者都有作案动机。解析 这个三段论的结论是“在作案现场的不都是作案者” 。 “有些在作案现场的(人)不是作案者”是小前提，其中“在作案现场的(人)”是小项。 “作案者都有作案动机”是大前提，其中“作案者”是大项。 “有作案动机(的人)”是中项。它的形式结构是：PAM，SOM；所以 SOP 第二格。（4）三段论的式。2 三段论的一般规则和特殊规则（1） 三段论的一般规则。一个三
23、段论要成为有效推理，就必须遵守推演规则。推演规则分为一般规则和特殊规则。一般规则是对于三段论的四个格都适用的规则，特殊规则是只适用于三段论的某个格的规则，特殊规则是由一般规则推演、派生出来的。三段论的一般规则有：规则 1 在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项。这条规则实际上是三段论定义中的应有之义。如前所述，三段论由三个直言命题组成，每个直言命题含有两个词项，即主项和谓项，因而共有六个词项。但由于结论的主项和小前提的一个词项相同，结论的谓项与大前提的一个词项相同，两个前提中还有一个共同的中项，因此不同的词项只能有三个。三段论实际上是通过前提所表明的中项(M)分别与大项(P)和小项(S)发生
24、的关系，从而推导出关于小项与大项之间关系的结论。若没有中项，就失去了连接大项和小项的桥梁或媒介，推不出任何确定的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误叫做“四词项错误” ，或称“四概念错误” 。明显犯“四词项错误”的情形很少，例如，人们一般不会仅以“地球是圆的”和“迈阿密海滩是美丽的”这两个命题作前提推出任何结论来。常见的违反这条规则的情形是：在大、小前提中作为中项的语词看起来是同一个，但却表达着两个不同的概念，因而这个三段论事实上含有四个不同的词项，严格说来没有中项，也就没有连接大项和小项的桥梁和媒介，结论的得出就不是必然的。例 16中国人是勤劳勇敢的；懒汉朱八戒是中国人， 所以，懒汉朱八戒是勤
25、劳勇敢的。 在这个推理前提中，作为中项的“中国人” ，在大前提中是指作为一个民族的中国人，而在小前提中是指作为个体的中国人。所以，它在两个前提中实际上表达了两个不同的概念，因而不能起桥梁或媒介作用，不能必然地推导出结论。这个三段论就犯了“四词项错误” 。规则 2 中项在前提中至少要周延一次。如前所述，三段论是凭借中项在前提中的桥梁、媒介作用得出结论的，即大项、小项至少有一个与中项的全部发生关系，另一个与中项的部分或者全部发生关系，这样就能保证大、小项之间有某种关系。否则，大、小项都只与中项的一部分发生关系，这样就有可能大项与中项的这个部分发生关系，而小项则与中项的另一个部分发生关系，结果是大项
26、和小项之间没有确定的关系，得不出必然的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误称为“中项两次不周延” 。例 17有些自然物品具有审美价值， 所有的艺术品都有审美价值。因此，有些自然物品也是艺术品。以下哪个推理与题干中的推理在结构以及所犯的逻辑错误上最为类似?A有些有神论者是佛教徒， 所有的基督教徒都不是佛教徒。因此，有些有神论者不是基督教徒。 B某些牙科医生喜欢烹饪。李进是牙科医生。因此， 李进喜欢烹饪。C。有些南方人爱吃辣椒，所有的南方人都习惯吃大米， 因此，有些习惯吃大米的人爱吃辣椒。D有些进口货是假货， 所有国内组装的 APR 空调机的半成品都是进口货。因此，有些 APR 空调机半成品是假货。
27、E有些研究生也拥有了私人汽车，所有的大款都有私人汽车。因此，有些研究生也是大款。解析 正确答案是 E。因为题干和选项 E 都是三段论第二格，其中的中项(“具有审美价值” ， “拥有私人汽车”)都是肯定命题的谓项，因而都不周延，违反规则，不能必然地得出结论。用欧拉图来表示，使前提为真的欧拉图有可能使结论为假。规则 3 在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。三段论是一种演绎推理，其前提的真要保证结论的真，因此结论所断定的就不能超出前提所断定的。具体就周延问题来说，如果一个词项在前提中不周延，但在结论中周延了，即结论所断定的超出了前提所断定的，结论真就不能由前提真来保证，就有可能出现前提真而结论假
28、的情况，整个推理因此就不是有效的。因此，一个三段论要成为有效的，它的在前提中不周延的词项在结论就不能周延。违反这条规则所犯的逻辑错误叫做“不当周延” ，具体有“小项不当周延”和“大项不当周延”两种形式。例 18 鲁迅在论辩的魂灵一文中，这样揭露了顽固派的诡辩手法：“你说：甲生疮，甲是中国人，就是说中国人生疮了。既然中国人生疮，你是中国人，就是你也生疮了。你既然也生疮，你就和甲一样。而你只说甲生疮，不说你自己，你的话还有什么价值?!” 解析 在诡辩派的论辩中，有两个三段论，一个是：“甲生疮，甲是中国人，所以，(所有)中国人生疮。 ”这里，小项“中国人”在前提中不周延，但在结论中周延了，犯了“小项
29、不当周延”的错误。如果诡辩派狡辩说：我并没有说“所有中国人生疮” ，那么他所说的是“有些中国人生疮” ，上面这个三段论就是正确的。但我们接着看第二个三段论：“(有些)中国人生疮，你是中国人，所以，你也生疮。 ”在这个三段论中，中项“中国人”一次也不周延，犯了“中项两次不周延”的错误。总之，从“你说甲生疮” ，无论如何也推不出“你也生疮”的结论。诡辩派的整个推论是不合逻辑的。例 19所有想出国的人都要学好外语，我又不想出国，所以，我不必学好外语。在这个三段论推理中，大前提是一个肯定命题，因而大项“要学好外语”在大前提中不周延。但结论是一个否定命题，大项“要学好外语”在结论中周延。因此，这个三段论
30、犯了“大项不当周延”的逻辑错误，无效。应当注意的是，规则 3 只是说在前提中不周延的项在结论中不得周延，并没有说在前提中周延的项在结论中也必须周延。既然对前提中周延的项没有提出要求，这就意味着：在前提中周延的项，在结论中可以周延，也可以不周延。这两种情形在逻辑上都是允许的，不会导致任何逻辑错误。这是因为，演绎逻辑允许结论断定得比前提少，但不允许结论断定得比前提多，否则就有可能前提真而结论假，整个推理无效。规则 4 从两个否定前提推不出任何确定的结论。如果两个前提都是否定的，这就意味着大项和小项都与中项发生否定性的联系，这样就不能保证大项和小项由于与中项的同一个部分发生关系而彼此之间发生关系，中
31、项起不到连接大、小项的桥梁作用，大项和小项本身就可能处于各种各样的关系之中，从而得不出确定的结论。例 20所有的基本粒子都不是肉眼能够看见的，所有的昆虫都不是基本粒子，所有的昆虫? 这个三段论得不出任何确定的结论。规则 5 （） 如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定的；（）如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。关于（）如果两个前提中有一个是否定的，根据规则 4，另一个前提必须是肯定的，这就意味着：大项和小项中有一个与中项发生肯定性的联系，另一个与中项发生否定性的联系。于是，与中项发生肯定性联系的那一部分和与中项发生否定性联系的那一部分之间的联系，必定是否定性的，所以结论必须是否定
32、的。关于（） ，既然结论是否定的，大项和小项之间发生否定性联系，并且这种联系是通过中项的媒介作用建立起来的，因此这两个词项中必定有一个与中项发生肯定性关联，另一个与中项发生否定性关联。所以，前提必有一个是否定的。以上五条三段论规则是基本的，并且是足够的，用它们就足以把有效的三段论与无效的三段论区分开来。但为了明确和方便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例如：规则 6 两个特称前提不能得结论。证明：证明这条规则有很多方法，我们这里用反证法，即假设两个特称前提能够得结论，看能否从中推出矛盾或荒谬的结论。若能推出，说明该假设不成立。设两个特称前提能够得结论，根据规则 2，中项在前提中至少周延一
33、次，由于特称命题的主项不周延，肯定命题的谓项不周延，只有否定命题的谓项周延，因此前提中必有一个是否定的。又根据规则 5，前提有一个否定结论必否定，因此结论是否定的，结论的谓项即大项周延，再根据规则 3，在前提中不周延的项在结论中不得周延，因此大项必须在前提中周延，因此另一个前提也必须是否定的。而根据规则 4，两个否定前提不能得结论。这说明“两个特称前提能够得结论 这个假设不成立，所以，两个特称前提不能得结论。规则 7 如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。证明：我们用分情况证明法。两个前提中有一个特称，另一个必为全称。由于没有告诉我们这两个前提究竟是肯定的还是否定的，这说明它们分别有可能是肯
34、定的，也有可能是否定的。于是，这两个前提有四种可能的组合：AI、AO、EI、EO。我们证明，在这四种情况下，如果能够得结论，只能得出特称的结论。AI：这两个前提中只有一个周延的项，根据规则 2，中项在前提中至少周延一次，因此这个周延的项只能做中项，余下大项和小项在前提中不周延，因此根据规则，它们在结论中必须不周延，小项是结论的主项，只有特称命题的主项不周延，因此，结论必须是特称的。AO：这两个前提中有两个周延的项，即全称命题的主项和否定命题的谓项，根据规则 4，前提有一个否定，结论必否定。因此，大项在结论中周延；根据规则，大项在前提中必须周延；又根据规则，中项在前提中至少周延一次。于是，原来两
35、个周延的项一个做大项，一个做中项，余下小项在前提中不周延，因此，小项在结论中必须不周延，结论只能是特称的。EI：其情形与 AO 相同。EO：这两个否定前提不能得结论。证毕。根据三段论的一般规则，还可以证明有关三段论的一些定理定理 一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。证明：用反证法。一个三段论如果结论全称，则结论的主项即小项在结论中周延，根据规则，则小项在前提中必须周延，再假设其中项周延两次，则前提中有三个周延的项，因此两个前提都必须全称，并且有一个前提还必须否定。根据规则，由于前提中有一个否定，结论必须否定，结论的谓项即大项在结论中周延；再根据规则，大项必须在前提中周延。于是，小项、大项和两个中项都必须在前提中周延，前提中四个词项都周延，两个前提必须全都是全称否定命题。而根据规则，两个否定前提不能得结论。因此，一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。（2）三段论的特殊规则。
