1、- 1 -第 12 炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 ， ，且函数 的值域为 定义域的子集，那yftgxgxft么 通过 的联系而得到自变量 的函数，称 是 的复合函数，记为 yt yygx2、复合函数函数值计算的步骤：求 函数值遵循 “由内到外”的顺序，一层层fx求出函数值。例如：已知 ，计算2,xfg2gf解： 24f2413、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层x层拆解直到求出 的值。例如：已知 ， ，若 ，求xf2gx0gfxx解：令 ，则 解得tf200gtt,t当 ，则0x当 ，则22tf 1综上所述： 1x由上例可得
2、，要想求出 的根，则需要先将 视为整体，先求出0gfxfx的值，再求对应 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：fx4、函数的零点：设 的定义域为 ，若存在 ，使得 ，则称 为fxD0x0fx0x的一个零点fx5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 的方程 根的个数，在解此类问题时，xgfx要分为两层来分析，第一层是解关于 的方程，观察有几个 的值使得等式成立；f f第二层是结合着第一层 的值求出每一个 被几个 对应，将 的个数汇总后即为fxfxx的根的个数 0gfx6、求解复合函数 零点问题的技巧：ygfx- 2 -（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要
3、作出 的图像,fxg（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 的方程 中 解的fx0fx个数，再根据个数与 的图像特点，分配每个函数值 被几个 所对应，从而确定fxix的取值范围，进而决定参数的范围ifx复合函数：二、典型例题例 1：设定义域为 的函数 ，若关于 的方程R1,xfx x由 3 个不同的解 ，则 _20fxbfc123,x2213x思路：先作出 的图像如图：观察可发现对于任意的 ，满足 的 的个数分x 0y0fx别为 2 个（ ）和 3 个（ ） ，已知有 3 个解，从而可得 必为 0,1y0y1的根，而另一根为 或者是负数。所以 ，可解得：fxbfc1ifx，所以123,
4、22135x答案：5 例 2：关于 的方程 的不相同实根的x20个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可将 视为一个整体，即 ，则方程变为 可解得：21x21tx230t或 ，则只需作出 的图像，然后统计与 与 的交点总数即可，t2t 1共有 5 个答案：C例 3：已知函数 ，关于 的方程 （1()|fxxx2()()0fafxb）恰有 6 个不同实数解，则 的取值范围是 ,abRa- 3 -思路：所解方程 可视为 ，故考虑作出2()()0fxafb20fxafb的图像： ， 则 的图像fx,12,01xffx如图，由图像可知，若有 6 个不同实数解，则必有，所以 ，12,0
5、fxfx12,4afxf解得 4a答案：例 4：已知定义在 上的奇函数，当 时， ，则关于 的方R0x12,02xffx程 的实数根个数为（ ）261fxfA. B. C. D. 789思路：已知方程 可解，得 ，只需统计20fxf121,3fxf与 的交点个数即可。由奇1,23yy函数可先做出 的图像， 时，0x2x，则 的图像只需将ff,4的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图,2x像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有 7 个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例 5：若函数 有极值点 ，且 ，则关于 的方程32fxabx
6、c12,x1fxx的不同实根的个数是（ ）230fA3 B4 C 5 D6- 4 -思路： 由极值点可得： 为 的两根，观察 23fxaxb12,x30axb到方程与 结构完全相同，0f所以可得 的两根为2fx，其中 ，若 ，1122,f11fx2x可判断出 是极大值点， 是极小值点。且x，所以 与 有两221ffx1yfxf个交点，而 与 有一个交点，共计 3 个；若，可判断出 是极小值点， 是极大值点。且12x1x2x，所以 与 有两个交点，而 与 有一个ff1yffx2fxf交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点答案：A例 6：已知函数 ，若方程 恰有七个不相同的实24fx20f
7、xbfc根，则实数 的取值范围是（ ）bA. B. C. D. 2,0,1,1,2思路：考虑通过图像变换作出 的图像（如图） ，因为fx最多只能解出 2 个 ，若要出七20fxbfc fx个根，则 ，所以12,1x，解得：fxf,1b答案：B例 7：已知函数 ，若关于 的方程 恰有 4 个不相等的xfe210fxmf实数根，则实数 的取值范围是（ ）mA. B. C. D. 1,2,e1,e1,e,e- 5 -思路： ，分析 的图像以便于作图，,0,xeffx时， ，从而 在 单调递增，0x1xfxef0,1在 单调递减， ，且当 ，所以1,fy正半轴为水平渐近线；当 时， ，所x0x xfx
8、e以 在 单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于f,0的方程 中， ，从而将问fx210fxmf1210,fxfxee题转化为根分布问题，设 ，则 的两根 ，tfx2tm120,tt设 ，则有 ，解得21gtmt2001ge 1,me答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例 8：已知函数 ，则下列关于函数 的零点个数判断21,0logaxf1yfx正确的是（ ）A. 当 时，有 4 个零点；当 时，有 1 个零点0a0aB. 当 时，有 3 个零点；当
9、时，有 2 个零点C. 无论 为何值，均有 2 个零点D. 无论 为何值，均有 4 个零点a思路：所求函数的零点，即方程 的解的个数，先作出 的图像，直线1fxfx为过定点 的一条直线，但需要对 的符号进行分类讨论。当 时，图像1yx0,1a0a如图所示，先拆外层可得 ，而 有两个对应的 ， 也20,fxfx1fxx2f- 6 -有两个对应的 ，共计 4 个；当 时， 的图像如图所示，先拆外层可得 ，x0afx12fx且 只有一个满足的 ，所以共一个零点。结合选项，可判断出 A 正确12fx答案：A例 9：已知函数 ，则方程23221,01,3xfxgx（ 为正实数）的实数根最多有_个0gfx
10、a思路：先通过分析 的性质以便于作图，,fxg 2362fxx，从而 在 单增，在 单减，f20,2 且， 为分段函数，作出每段图01,3 像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取 fx能对应 较多的情况，由 图像可得，当xfx 3,1时，每个 可对应 3 个 。只需判断f中， 能在 取得的值的个数即gxafx,1可，观察 图像可得，当 时，可以有 2 个5,4a，从而能够找到 6 个根，即最多的根的个3,1fx数答案：6 个例 10：已知函数 和 在 的图像如下，给出下列四个命题：yfxygx2,- 7 -（1）方程 有且只有 6 个根0fgx（2）方程 有且只有 3 个根（3）方程
11、有且只有 5 个根fx（4）方程 有且只有 4 个根0g则正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4思路：每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 的总x数。（1）中可得 ，进而 有 2 个对应的 ，123,0,1,2gxgx1gx有 3 个， 有 2 个，总计 7 个， （1）错误；23（2）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个，1,fxfxfxx2f总计 4 个， （2）错误；（3）中可得 ，进而 有 1 个对应的 ，123,0,2ffff有 3 个， 有 1 个，总计 5 个， （3）正确；2fxx（4）中可得： ，进而 有 2 个对应的 ， 有 212,1ggx1gxxg个，共计 4 个， （4）正确则综上所述，正确的命题共有 2 个答案：B
