1、 南京航空航天大学经济管理学院精品课程群建设组8.1 GM(1,1)模型定义8.1.1 称为灰色微分型方程.定义8.1.2 若灰色微分型方程满足下列条件:1 信息浓度无限大2 序列具有灰微分内涵3 背景值到灰导数成分具有平射关系则称此灰色微分型方程为灰色微分方程.命题8.1.1 方程 为灰色微分方程,其中bkaxkd iii )()( )1()(bkazkx )()( )1()0()1(5.0)(5.0)( )1()1()1( kxkxkz定义8.1.3 称为GM(1,1)模型.符号GM(1,1)的含义如下:G M (1, 1) Grey Model 1阶方程 1个变量bkazkx )()(
2、)1()0(定理8.1.1 设X(0)为非负序列:其中x(0)(k)=0,k=1,2, ,n; X(1)为X(0)的1-AGO序列:其中 ; Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列:其中 ;k=2,3, ,n 若 为参数列,且则灰色微分方程 的最小二乘估计参数列满足)1(5.0)(5.0)( )1()1()1( kxkxkz)(,),2(),1( )0()0()0()0( nxxxX )(,),2(),1( )1()1()1()1( nxxxX nkixkxki,2,1,)()(1)0()1( )(,),3(),2( )1()1()1()1( nzzzZ bkazkx )()( )1()0(Tb
3、aa ),( 1)(1)3(1)2(,)()3()2()1()1()1()0()0()0(nzzzBnxxxYYBBBa TT 1)( 定义8.1.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列, , 则称为灰色微分方程的白化方程,也叫影子方程.YBBBa TT 1)( baxdtdx )1()1(bkazkx )()( )1()0(定理8.1.2 设B,Y, 如定理8.1.1所述,则1 白化方程 的解也称时间响应函数为2 GM(1,1)灰色微分方程 的时间响应序列为3 取x(1)(0)=x(0)(1),则4 还原值abaxdtdx )1(
4、)1(bkazkx )()( )1()0(nkkxkxkxakx ,2,1);()1()1()1( )1()1()1()1()0( nkabeabxkx ak ,2,1;)0()1( )1()1( nkabeabxkx ak ,2,1;)1()1( )0()1( abeabxtx ak )0()( )1()1(定义8.1.5 称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰色作用量.-a反映了 及 的发展态势.一般情况下,系统作用量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用
5、量是从背景值挖 出 的数 , 反映数 变化的关系,其 内涵是灰的.灰色作用量是内涵外 化的具 , 的 ,是 灰色建模 一般输入输出建模( 建模)的分 ,也是 分灰色系统 灰 的 .)1(X )0(X定理8.1.3 GM(1,1)模型化为其中bkazkx )()( )1()0()1()( )1()0( kxkx ab5.01 aa5.01定理8.1.4 设 , ,且为GM(1,1)模型时间响应序列,其中则ab5.01 aa5.01)(,),2(),1( )1()1()1()1( nxxxX abeabxkx ka )1()0()1( )1()()2()0()0( )1()( kaexkx 8.2 GM(1,1)模型 定义8.2.1 设序列x(0)(n)取为时间 的原 ,则称tn为 .定义8.2.2 设序列为其GM(1,1)时间响应的还原值,则1 tn时,称 为模型值.建模的currency1 的是,为“度,fi fl 有分的模度,其是t=n时的模度.此建模数 一般应取为 x(0)(n) 内的一个时序列.)(,),2(),1( )0()0()0()0( nxxxX )(,),2(),1( )0()0()0()0( nxxxX aka eabxekx )1()(1()1( )0()0()( )0( tx)( )0( tx
