1、浙江大学,实用数值计算方法,1,第七章 偏微分方程,7.1 一般介绍7.2 一阶双曲型方程的差分求解法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法7.8 二阶抛物型方程的差分求解法7.9 二阶抛物型方程的线上求解法7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法,浙江大学,实用数值计算方法,2,7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs),自变量数 至少2个,阶数 方程中导数的最高阶数,性态 以一阶方程为例,浙江大
2、学,实用数值计算方法,3,7.1,浙江大学,实用数值计算方法,4,7.1,类型 一阶栓区型方程,流动方程Advection Equation(AE),二阶线性方程,浙江大学,实用数值计算方法,5,7.1,求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)特征线法 Method of Characteristics (MOC)线上求解法 Method of Lines (MOL)有限元素法 Method of Finite Elements (MFE)加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR) 问题 收敛性 Conver
3、gence 当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？ 稳定性 Stability 在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？,浙江大学,实用数值计算方法,6,7.2 一阶双曲型方程的差分求解法,或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子该方程的介折解,求具体解时需要提供2个辅助条件,浙江大学,实用数值计算方法,7,7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of is shown below.,图 7.1 Propagation of the Wave F
4、ront,浙江大学,实用数值计算方法,8,7.2.1 最简单的差分化格式构想,图 7.2,浙江大学,实用数值计算方法,9,7.2.1 以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差 r 由于原方程为线性，故误差的传播关系 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations,浙江大学,实用数值计算方法,10,7.2.1,应为补充解和
5、特殊解之和 补充解系由下式求出,补充解系由两个独立解组成,浙江大学,实用数值计算方法,11,7.2.1 差分方程的解 可用算符运算方法 Operator Calculus 导出 差分算符 Difference Operator,它和微分算符一样，是一种线性算符用于线性二阶差分方程,和微分方程类似，它的补充解可由下式得到,浙江大学,实用数值计算方法,12,7.2.1故补充系由两个独立解组成 （Independent Solutions）,两个独立解为,差分方程的一个独立解（Eigenmode）,浙江大学,实用数值计算方法,13,7.2.1 差分方程独立解的一般形式,用于本题的情况,将独立解代入差
6、分表达式,得到,浙江大学,实用数值计算方法,14,7.2.2 差分格式的改进,Courant Condition,图 7.3,图 7.4,浙江大学,实用数值计算方法,15,7.2.2,Courant 条件的物理意义波形传递系沿x=vt线t节点的选取 当节点取在线上： 当节点取在线外： 当节点取在线内： Lax差分格式也写成以下形式可以看成为以下偏微分方程的FTCS差分式,dissipative term 耗散项Numerical Viscosity 数值黏度,图 7.5,浙江大学,实用数值计算方法,16,7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法Method of Characteristics (
7、MOC),这是原方程的转换方程，它们的解相同。 为原方程的特征线方程,在特征线上，满足 的为解。,浙江大学,实用数值计算方法,17,7.3.1 Method of Characteristics (MOC),图 7.6,浙江大学,实用数值计算方法,18,7.3.1 Method of Characteristics (MOC),图 7.7,浙江大学,实用数值计算方法,19,7.3.1,浙江大学,实用数值计算方法,20,7.4 一阶双曲型方程的线上求解法Method of Lines (MOL),有限差分法：偏微分方程完全离散成为 一组差分方程 用线性代数方程组求解 线上求解法：偏微分方程部分离
8、散成为 一组常微分方程 用常微分方程积分方法求解,浙江大学,实用数值计算方法,21,线上求解法 Method of Lines (MOL),线间距,积分步长,7.4,图 7.8,浙江大学,实用数值计算方法,22,7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法,称为稳态热传导方程，通式为 Dirichlet 问题 Neumann 问题,浙江大学,实用数值计算方法,23,u(xm,y)=f2(y),u(x0,y)=f1(y),Laplace 方程的 Dirichlet 边界条件和 Neumann 边界条件和 Poisson 方程,边界条件也需4个，有3类给定方法 Dirichlet 边 界 条 件 Neuma
9、nn 边 界 条 件 混合 边 界 条 件,7.5,图 7.9,浙江大学,实用数值计算方法,24,7.5.1 Laplace算符的差分表达,用于Laplace算符,浙江大学,实用数值计算方法,25,7.5.1,图 7.10,浙江大学,实用数值计算方法,26,例：Laplace 方程的Dirichlet 边界问题,7.5.1,图 7.11,浙江大学,实用数值计算方法,27,为了提高精度需要加密网络,7.5.1,图 7.12,浙江大学,实用数值计算方法,28,Laplace 方程 Dirichlet边界问题的差分求解,消去法 直接迭代 Liebmann 方法 相继松弛 S.O.R. 方法 交替方向
10、A.D.I.方法,7.5.1,浙江大学,实用数值计算方法,29,7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE),以Laplace 方程的Dirichlet 问题为例根据变分原则VariationalPrinciples等价性定理以上方程的解将使以下泛函为最小。,图 7.13,浙江大学,实用数值计算方法,30,7.6,将D进行剖分，常用的是三角剖分法对任何一个元素用二原线性函数近似在三个顶点上可得到,其中,浙江大学,实用数值计算方法,31,7.6,Ui=Wi,Uk=Wk,Uj=Wj,图 7.14,浙江大学,实用数值计算方法,32,7.6,所以
11、其中既然顶点坐标均为规定，所以并有,浙江大学,实用数值计算方法,33,7.6,使泛函最小的问题，即对近似为对求极值，或因此得到：可解得,n为内部节点数,边界上的W为给定,浙江大学,实用数值计算方法,34,7.6,对于更为一般性的情况需要极小化的泛函将是也可剖分为有限个元素后求解,图 7.15,浙江大学,实用数值计算方法,35,7.8 二阶抛物型方程的差分求解法,动态扩散方程对于一维空间用差商代替微商，可以有各种选择，例如所以有需要另有更方便的方法,浙江大学,实用数值计算方法,36,7.8,显式方法得到或者：则有：,图 7.16,浙江大学,实用数值计算方法,37,7.8,示例：取得到的数值解与以
12、下解析解比较,饱和蒸汽C2H5OH,空气,图 7.17,浙江大学,实用数值计算方法,38,Number of time steps,Analytical SolutionsNumerical Solutions,Analytical versus Numerical SolutionsDiffusion Dynamics r0.25,7.8,图 7.18,浙江大学,实用数值计算方法,39,Number of time steps,Analytical SolutionsNumerical Solutions,Analytical versus Numerical SolutionsDiffusion Dynamics r0.5,7.8,图 7.19,浙江大学,实用数值计算方法,40,7.8,显式法的稳定性分析 所以,浙江大学,实用数值计算方法,41,7.8,因此有,
