1、 http:/ 第 1 页 共 7 页 2004 年普通高等学校招生全国统一考试 (老课程卷：内蒙古、海南、西藏、陕西、广西等地 ) 数学（文史类）（老课程） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 参考公式： 三角函数的和差化积公式 )s in () s in (21c o ss in )s in () s in (21s inc o s )c o s () c o s (21c o sc o s )c o s () c o s (21s ins in 一、选择题 （ 1）设集合 22,
2、1 , ,M x y x y x R y R ， 2, 0 , ,N x y x y x R y R ， 则集合 MN中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （ 2）函数 sin2xy的最小正周期是（ ） A 2 B C 2 D 4 (3) 记函数 13xy 的反函数为 ()y gx ，则 (10)g （ ） A 2 B 2 C 3 D 1 等比数列 na 中， 2 9,a 5 243a ，则 na 的前 4 项和为（ ） A 81 B 120 C 168 D 192 (5) 圆 2240x y x 在点 1, 3P 处的切线方程是（ ） A 3 2 0xy B 3 4 0xy
3、C 3 4 0xy D 3 2 0xy (6) 61xx展开式中的常数项为（ ） A 15 B 15 C 20 D 20 正棱台、圆台的侧面积公式 lccS )(21 台侧 其中 c、 c 分别表 示上、下底面周长， l 表示 斜高或母线长 台体的体积公式 334 RV 球 其中 R 表示球的半径 http:/ 第 2 页 共 7 页 (7) 设复数 z 的幅角的主值为 23 ，虚部为 3 ，则 2z （ ） A 2 2 3i B 2 3 2i C 2 2 3i D 2 3 2i (8) 设双曲线的焦点在 x 轴上，两条渐近线为 12yx ，则双曲线的离心率 e （ ） A 5 B 5 C 5
4、2 D 54 (9) 不等式 1 1 3x 的解集为（ ） A 0,2 B 2,0 2, 4 C 4,0 D 4, 2 0, 2 (10) 正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ） A 2 23 B 2 C 23 D 4 23 (11) 在 ABC 中， 3 , 1 3 , 4A B B C A C ，则边 AC 上的高为（ ） A 2 23 B 233 C 32 D 33 (12) 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有（ ） A 12 种 B 24 种 C 36 种 D 48 种 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，
5、每小题 4 分，共 16 分 . 把答案填在题中横线上 . (13) 函数 )1(log21 xy的定义域是 . (14) 用平面截半径为 R 的球，如果球心到平面的距离为 2R ，那么截得小圆的面积与球 的表面积的比值为 . (15) 函数 )(c o s21s in Rxxxy 的最大值为 . (16) 设 P 为圆 122 yx 上的动点，则点 P 到直线 01043 yx 的距离的最小值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . (17)（本小题满分 12 分） 解方程 .01224 2 xx http:/ 第 3 页 共 7
6、页 (18) （本小题满分 12 分） 已知为锐角，且 2c o s2s in s inc o s2s in,21t a n 求 的值 . (19) （本上题满分 12 分） 设数列 na 是公差不为零的等差数列， Sn是数列 na 的前 n 项和，且 ,9 221 SS 24 4SS ，求数列 na 的通项公式 . 20（本小题满分 12 分） 某村计划建造一个室内面积为 800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧 内墙各保留 1m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少 时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ (21) （本小题满分 12 分）
7、 三棱锥 P ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直， PA=PB=PC=3. (1) 求证 AB BC； (2) 如果 AB=BC= 32 ，求侧面 PBC 与侧面 PAC 所成二面角的大小 . P C A B http:/ 第 4 页 共 7 页 (22)（本小题满分 14 分） 设椭圆 11 22 ymx 的两个焦点是 )0,(1 cF 与 )0)(0,(2 ccF ，且椭圆上存在点 P， 使得直线 PF2与直线 PF2垂直 . （ 1）求实数 m 的取值范围 ； （ 2）设 L 是相应于焦点 F2的准线，直线 PF2与 L相交于点 Q. 若 32| | 22 PFQF， 求直线
8、 PF2的方程 . 2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（老课程）参考答案 1 12 BCBBD AACDC BC 13 21| xx 14 163 15 25 16 1 三、解答题 17本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识 . 满分 12 分 . 解： .012)2(4)2( 2 xx .0)22)(62( xx 22.62 xx （无解） . 所以 .6log2x 18 本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形 的能力 . 满分 12 分 . 解：原式 .2c o sc o ss in2 2c o ss in http:
9、/ 第 5 页 共 7 页 因为 ,02c o s,0s in,21t a n 时 所以 原式 cos2 1 . 因为 为锐角，由52c o s,21ta n 得. 所以 原式 .45 因为 为锐角，由 .52c o s21ta n 得所以 原式 .45 19本小题主要考查等差数列的通项公式，前 n 项和公式等基础知识，根据已知条件列方程 以及运算能力 .满分 12 分 . 解：设等差数列 na 的公差为 d，由 dnnnaSn 2 )1(1 及已知条件得 )2(9)33( 121 dada ， ),2(464 11 dada 由得 12ad ，代入有121 94aa 解得 .94011 aa
10、 或当 ,0,01 da 时 舍去 . 因此 .98,941 da故数列 na 的通项公式 98)1(94 nan ).12(94 n20本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能力 . 满分 12 分 . 解：设矩形 温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 .800ab 蔬菜的种植面积 )2)(4( baS ).2(2808 824 ba abab 所以 ).(64824808 2mabS 当 ).(6 4 8,)(20),(40,2 2mSmbmaba 最大值时即 http:/ 第 6 页 共 7 页 答：当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧
11、边长为 20m 时，蔬菜的种植面积最大，最 大种植面积为 648m2. 21本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以有逻辑思维能力和空间想 象能力 . 满分 12 分 . （ 1）证明：如果，取 AC 中点 D，连结 PD、 BD. 因为 PA=PC，所以 PD AC， 又已知面 PAC面 ABC， 所以 PD面 ABC， D 为垂足 . 因为 PA=PB=PC， 所以 DA=DB=DC，可知 AC 为 ABC 外接圆直径， 因此 AB BC. （ 2）解：因为 AB=BC， D 为 AC 中点，所以 BD AC. 又面 PAC面 ABC， 所以 BD平面 PAC， D 为垂足
12、. 作 BE PC 于 E，连结 DE， 因为 DE 为 BE 在平面 PAC 内的射影， 所以 DE PC， BED 为所求二面角的平面角 . 在 Rt ABC 中， AB=BC= 32 ，所以 BD= 6 . 在 Rt PDC 中， PC=3， DC= 6 ， PD= 3 ， 所以 .23 63 PC DCPDDE 因此，在 Rt BDE 中， 326ta n B E D， 60BED ， 所以侧面 PBC 与侧面 PAC 所成的二面角为 60 . 22本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力 . 满分 14 分 . 解：（ 1）由题设有 .,0 mcm 设点 P 的坐标
13、为（ 00,yx ），由 21 PFPF ，得 10000 cx ycx y ， 化简得 .2020 myx 将与 11 2020 ymx 联立，解得 .1,1 20220 mymmx 由 .1,01,0 220 mmmxm 得P C A B E D http:/ 第 7 页 共 7 页 所以 m 的取值范围是 1m . （ 2）准线 L 的方程为 .1mmx 设点 Q 的坐标为 ),( 11 yx ，则 .11 mmx .1|00122xmmmmxccxPFQF 将mmx 120 代入，化简得 .111| | 2222 mmmmPFQF由题设 32| | 22 PFQF，得 3212 mm ，无解 . 将 mmx 120 代入，化简得 .111| | 2222 mmmmPFQF 由题设 32| | 22 PFQF，得 .3212 mm 解得 m=2. 从而 ,2,22,2300 cyx得到 PF2的方程 ).2)(23( xy
