1、2005 级 线性代数考试试题 院系 _； 学号 _；姓名 _ 一、 单项选择题 （每小题 2分，共 40分）。 1设矩阵6 35 24 1C ,6 5 4 3 2 1B ,4 3 2 1A ，则下列矩阵运算 无 意义的是 【 】 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2 E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【 】 A. A=A-1 B.A=-E C. A=E D.det(A)=1 3.设 A 为 3 阶方阵，且行列式 det(A)=21 ,则 det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.1 4.设 A 为 3 阶方阵
2、，且行列式 det(A)=0，则在 A 的行向量组中【 】 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行 向量都是其它两个行向量的线性组合 5设向量组 321 , aaa 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】 A 133221 , aaaaaa B. 2121 32, aaaa C. 3232 2,2, aaaa D. 3121 , aaaa 6.向量组 (I): )3(,1 maa m 线性无关的充分必要条件是【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存
3、在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 0, 111 mmm akakkk 使 7设 a 为 nm 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 0Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设 ia 、 ib 均为 非 零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 00332211332211 xbxbxb xaxaxa 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 A. 03221 bb aa B. 02121
4、bb aa C. 332211 bababa D. 02131 bb aa 9.方程组axxxxxxxxx32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=2 10. 设 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 1， 2， 3 线性表示的向量组 B. 与 1， 2， 3 等秩的向量组 C. 1 2， 2 3， 3 1 D. 1， 1+ 3， 1+ 2+ 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0，则 【 】 A. 方程组
5、有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 12.n 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的 特征 值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 Rn 的子空间的是 【 】 A. 0|),( 2121 aaaaa n B. 0|),(121 ni in aaaa C. ,2,1,|),( 21 nizaaaa in D. 1|),(121 ni in aaaa 14. F3 的两个子空间 V1=(x1,x2,x3)|2x1-x2+x
6、3=0, V2=(x1,x2,x3)|x1+x3=0, 则子空间 V1 V2 的维数为【 】 A. 二维 B. 一维 C. 三维 D. 零维 15. 设 Mn(R)是 R 上全体 n 阶矩阵的集合，定义 )(,d e t)( RMAAA n ，则 是 Mn(R)到 R 的 【 】 A. 一一映射 B. 满射 C. 一一对应 D. 既不是满射又不是一一对应 15. 令 ),( 321 xxx 是 R3 的任意向量，则 下列 映射 中 是 R3 的线性变换 的是 【 】 A. 0,)( B. )0,2()( 32321 xxxxx C. ),()( 32221 xxxp D. )0,c os,(c
7、 os)( 21 xxw 17.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】 A. 1- 1 01 1 00 0 1 B. 1- 2 2 151 C. 1 0 1- 1D. 2 2 12- 1 21 2- 231 18.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 3- 2 0 1B,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E A 必相似于矩阵【 】 A. 4 1 0 1B. 4- 1 0 1-C. 4 2- 0 0D. 4- 2- 0 1-19.二次型 322121321 22),( xxxxxxxxf 的秩等于【 】 A 0 B.1 C.2 D.3 20.若矩阵8020001a a A 正定 ,则实数 a 的取值范围是【
8、 】 A a 8 B. a 4 C a -4 D -4 a 4 二 、填空题 （每小题 2分，共 20分）。 21设矩阵 ,1 0 0 2,1 0 2 3 1- 1 BA记 TA 为 A 的转置，则 BAT = 。 22设矩阵 5 3 2 1A则行列式 det( TAA )的值为 . 23行列式6 7 2 1 5 9 8 3 4 的值为 . 24若向量组 ), , ( ) , a, t , ( ) , a, , (a 10064321 321 线性相关，则常数 t = . 25.向量组（ 1， 2），（ 3， 4）， （ 4， 6）的秩为 . 26.齐次线性方程组 032 0 321321 x
9、xx xxx 的 基础 解系所含解向量的个数为 27.已知 T, , x )201(1 、 T, , x )54(32 是 3 元非齐次线性方程组 bAx 的两个解向量，则对应齐次线性方程 0Ax 有一个非零解 = . 28.矩阵6- 0 05 4 03 2 1A 的全部特征值为 。 29设是 3 阶实对称矩阵 A 的 一个一重 特征值， T1 ) 3 1, 1, ( 、 T2 ) 12 a, 4, ( 是 A 的属于特征值的特征向量，则实常数 a= . 30. 31222121321 422),( xxxxxxxxxf 的 相伴 矩阵 A= 三 、计算题 （每小题 8分，共 40分） 31
10、计算 行列式2 7 2- 6 2- 2 2 0 0 1 4 3-5 4 3 0 的值。 32设4 6 1-3- 5- 1 3- 4- 1 A 求 A-1。 33求方程组022420763 02 432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解。 34 a 取何值时，方程组axxxxxxx3232121107432 有解？在有解时求出方程组的通解。 35设向量组 321 , aaa 线性无关。试证明：向量组 332123211 , aaaaaa 线性无关。 答题纸 一、单项选择题（本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分） 1._ 2. _ 3. _ 4. _ 5. _
11、 6. _ 7. _ 8. _ 9._ 10._ 11._ 12._ 13._ 14._ 15._ 16._ 17._ 18._ 19. _ 20. _ 二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分 ） 21.22._ 23. _ 24. _ 25. _ 26. _ 27. _ 28. _ 29. _ 30.三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 2005 级 线性代数考试试题 参考答案及评分标准 一、单项选择题（本大题共 20 小题，每小题 2 分，共 40 分） 1.A 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A 7.B 8.C 9.D 10.D 11.B 12.C 13.B
12、 14.B 15.B 16.B 17.C 18.D 19.D 20.D 二、填空题（本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分） 21.1 6 0 2-2 2 22. 1 23. 360 24. 8 25. 2 26. 1 27.(2,4,3)T(或它的非零倍数 ) 28. 1、 4、 -6 29. 4 30.0 0 20 2 1-2 1- 1 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 31. 296 02220 01435430D 1 分 2 9 62- 2 25 4 33 3 分 .96 6 分 32. 解法 1: 1 0 0 4 6 1 0 1 0 3 5 1 0 0 1 3- 4
13、- 1 )|( EA 1 0 1 1 2 00 1 1- 0 1- 00 0 1 3- 4- 1 2 分 1 2 1- 1 0 00 1 1- 0 1- 00 4- 5 3- 0 1 4 分 1 2 1- 1 0 00 1- 1 0 1 03 2 2 0 0 1 5 分 1 2 1-0 1- 1 3 2 2 1A ， 6 分 . 解法 2: det（ A） =-1 1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A 5 分 1 2 1-0 1- 1 3 2 2 A 1- 6 分 27. 1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A 2 分 一个基础解系 : =(-2, 1, 0, 0)T , =(2
14、, 0, -1, 1)T 5 分 通解为 2211 kkx （ 1k 、 2k 是任意常数） 6 分 33 ,200021103021a - - -A 故当且仅当 a=2 时，有解。 当 2a 时，得 xxx xx ( 2 23 23 21 是任意）， 所以 )( 112203是任意常数kkx 6 分 或 ),( 2 21 33231 任意xxx xx 即 ).( 112021是任意常数kkx 6 分 35证一：设有数 321 , xxx 使 ,0332211 xxx 1 分 即 0)()()( 331221121 axxaxxaxx 由 321 , aaa 线性无关，有 0 0 0 312121xxxxxx1 分 该方程组只有零解 0321 xxx 故 321 , 线性无关。 5 分 证二：因 321 , aaa 线性无关， 321 , 用 321 , aaa 线性表出的系数行列式 021- 1 1 11 0 00 1- 11 1 1 故线 性无关。（若只证明 0，不强调 321 , aaa 线性无关这一条件 就得出 321 , 线性无关的结论，扣 2 分）。故命题得证。
