1、智浪教育 -普惠英才文库 2007 年浙江省高中数学竞赛 B 卷（参考答案） 4.15 一、 选择题 1.已知集合 2 2 0 ,A x x x x R ， 2 1 0 ,B x x x R ，则 AB （ ） A. 12xx B. 1, or 1 2x x x C. 12xx D. 12xx 解： 2 20xx ( 2 ) ( 1 ) 0 1 2x x x 2 10x | | 1 1, o r 1x x x . 从而可得 AB 12xx 。 应选 。 2. 当 0,4x 时，下面四个函数中最大的是（ ）。 A. sin(cos )x B. sin(sin )x C. cos(sin )x D
2、. cos(cos )x 解：因为 0,4x ，所以 20 sin c o s 12xx 。于是有 c o s(sin ) c o s(c o s )xx ，sin (sin ) sin (co s )xx 。又因为 s i n c o s 2 s i n ( ) 242x x x ，即 co sin2xx ，所以有 s i n ( c o s ) s i n ( s i n ) c o s ( s i n )2x x x 。因此， cos(sin )x 最大。 应选 。 3. 已知椭圆 2 2 14x y上一点到左焦点的距离为 3 ，则点到直线 433x 的距离为（ ） A. 2 B. 2(
3、2 3 3)3 C. 2(4 3 3)3 D. 4 3 33 解： 设左右焦点为 12,FF，则 124AF AF， 123 , 4 3A F A F 。椭圆的离心率为 32ce a 。而 433x 即为右准线，由定义得，到直线 433x 的距离等于4 3 2 ( 4 3 3 )332 。 应选 。 智浪教育 -普惠英才文库 4.设非常值函数 ( ) ( )f x x R 是一个偶函数，它的函数图像 ()y f x 关于直线 22x对称， 则该函数是 （ ） A. 非周期函数 B.周期为 22 的周期函数 C. 周期为 2 的周期函数 D. 周期为 2 的周期函数 解：因为偶函数关于轴对称，而
4、函数图像 ()y f x 关于直线 22x 对称，则 22( ) ( )f x f x ， 即 22( 2 ) ( ( ) ) ( ) ( )22f x f x f x f x 。故该函数是周期为 2 的周期函数。 应选 。 5. 如果23( ) 1 l o g 2 l o g 9 l o g 6 4x xxfx ，则使 ( ) 0fx 的 x 的取值范围为（ ） A. 01x B. 81 3x C. 1 x D. 83 x 解：显然 0x ，且 1x 。 23( ) 1 l o g 2 l o g 9 l o g 6 4x xxfx 1 l o g 2 l o g 3 l o g 4x x
5、x 3g8x x。 要使 ( ) 0fx 。当 1x 时， 3 18x ，即 81 3x ；当 01x时， 3 18x ，此时无解。 由此可得， 使 ( ) 0fx 的 x 的取值范围为 81 3x 。 应选 。 6. 设 2( ) m i n 2 4 , 1 , 5 3f x x x x ，则 max ( )fx （ ） A. B. . D. 解： 作图比较容易得到 max ( ) 2fx 。 应选 。 二、 填空题 7. 已知平面上不共线的四点 O,A,B,C。若 3 2 0OA OB OC ，则 ABBC。 解：因为 32OB OA OC，所以 2 ( )O B O A O C O B
6、。于是有 2AB BC 。因此 智浪教育 -普惠英才文库 2ABBC 。 答案为： 。 8. 已知数列 na ， 1 1a ，前项部分和 nS 满足 1 1 12n n n n n nS S S S S S ，则 na 。 解： 1 1 12n n n n n nS S S S S S 11( 2 ) 0n n n nS S S S 1 2nnSS 2 ( 1 ) 1 2 1nS n n 2(2 1)nSn 。 于是 221 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 8 ( 1 )n n na S S n n n ，（ 1n ）。 答案为： 118( 1) 1n na nn 。 9.方程 11 6 s
7、in c o s 1 6x x x x 的解集合为 。 解： 当 0x 时， 116 8x x，（ 14x 取到等号）。 而 1 6 s i n c o s 8 s i n 2 8x x x ，（ 1 ,4x k k Z取到等号）。于是有 当 0x 时，方程只有一个解 14x 。由于奇函数的性质，可知 14x 是方程的另一解。 故方程的解集合为 11,44。 10.今天是星期天，再过 20072007 天后是星期 。 解： 2 0 0 7 2 0 0 7 2 0 0 7 3 6 6 9112 0 0 7 ( 7 2 8 6 5 ) 7 5 7 5MM 6 6 9 6 6 9127 ( 7 1
8、7 6 ) 7 ( 7 1 )MM 347 1 7 6MM 其中 1 2 3 4, , ,M M M M均为正整数。 因此答案为 星期六。 11. 从至 169 的自然数中任意取出个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有 种。 解：若取出的个数构成递增等比数列 2,aaqaq ，则有 21 1 6 9a aq aq 。由此有2 13q 。当 q 固定时，使三个数 2,aaqaq 为整数的 a 的个数记作 ()Nq。由 2 169aq ，智浪教育 -普惠英才文库 知 ()Nq应是2169q的整数部分。2169(2) 422N ，2169(3) 183N ， (4) 10N ，(5) 6N ,
9、(6) 4N ， (7) 3N , (8) 2N , (9) 2N , (1 0 ) (1 1 ) (1 2 ) (1 3 ) 1N N N N . 因此，取法共有 (1 ) ( 2 ) (1 3 ) 9 1N N N 。 答案为 91 。 12. 整数 x y z，且 2 2 2 4.625x y z ，则 ,xyz 分别为 。 解：方程两边同乘以，得 3 3 32 2 2 3 7x y z 。 因为 x y z，所以要使左边为奇数，只有 321z ，即 3z 。则 332 2 36xy 112 2 9xy 。要使左边为奇数，只有121y ，即 1y 。从而有 128x ，即 2x 。故有
10、2, 1, 3x y z 。 答案为 2, 1, 3 。 三、 解答题 13. 设，为圆周 221xy上的两动点，且满足与圆内一定点 1(0, )2A ，使 2PAQ ，求过和的两条切线的交点 M 的轨迹。 解法一 ：连接 PQ， OM，由圆的切线性质知 OM PQ ，且 PQ 与 OM 交点 E 为 PQ 的中点。 5 分 设 ( , )Mxy ，则 2 22OM x y， 2221OPOE OMxy 。从而得到 E 点的坐标为 2 2 2 2,xyx y x y。 10分 由于 2PAQ ，所以 EA EP 。又 21EP OE ，于是有 221 OE EA，即有 222 2 2 2 2
11、2111 ( ) ( )2xyx y x y x y 15分 化简得 224833x y y 。 智浪教育 -普惠英才文库 上述为以 20,3为圆心， 273为半径的圆周。 20 分 解法二 ： 设，的坐标为 1 1 2 2, , ,x y x y 。由题意知，过，的切线方程分别为 111xx y y 221x x y y 22111xy 221xy 5分 由 PA AQ ，得 1 2 1 211( )( ) 022x x y y 若 和的交点仍记为 ,xy ，由此得到 121211,x x x xyyyy ( 0y ) 10 分 代入 和，得 22 11 1 1xxx y2 2 2 211(
12、 ) 2 1x y x x x y 22 22 1 1xxx y2 2 2 222( ) 2 1x y x x x y 联立上述两式，即得 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) ( ) 2 ( )x y x x y x x x x 15 分 因为 12xx ，所以 22 12( )( ) 2x y x x x ，即12 222xxx xy 。 同理可得 12 222yyy xy 。于是有 221 2 1 2 224x x y y xy 智浪教育 -普惠英才文库 1 2 1 2 2221x x y y xy 再由 式，推出1 2 1 2 1 211( ) 024x x y y y y 。
13、由上可得， 2 2 2 2234yx y x y。 即有 224833x y y 。 上述为以 20,3为圆心， 273 为半径的圆周。 20 分 当 80, 3yx 时，也符合题设所求的轨迹。 14. 设 2 2 2( , , ) s i n ( ) s i n ( ) s i n ( )f x y z x y y z z x ， ,x y z R ，求 ( , , )f x z 的最大值。 解： 2 2 2( , , ) s i n ( ) s i n ( ) s i n ( )f x y z x y y z z x 1 1 c o s 2 ( ) 1 c o s 2 ( ) 1 c o
14、s 2 ( ) 2 x y y z z x 5分 31 ( c o s 2 c o s 2 s i n 2 s i n 2 ) ( c o s 2 c o s 2 s i n 2 s i n 2 ) 22 x y x y y z y z 1 ( c o s 2 c o s 2 s i n 2 s i n 2 )2 z x z x 10分 2231 ( c o s 2 c o s 2 c o s 2 ) ( s i n 2 s i n 2 s i n 2 ) 3 24 x y z x y z 3 3 92 4 4 ， 15 分 当 23,3 3 3x y z 时，上式可以取到等号。故函数 ( , , )f x yz 的最大值是 94 。 20 分 15. 设1 1, 0niii xx ，求证： 221() 1n ijii i j ijxxnx xx 。 智浪教育 -普惠英才文库 证明：因为1 1nii x ，所以有 21 21ni i ji i jx x x。又 0ix ，故有 1ijxx。 10 分 于是有 22 2 211221121()()( 1 ) 22 1.nniji i i ji i j i i jijnni i i ji i i jni i ji i jxxn x n x x xxxn x n x x xx x x 得证。 20 分
