1、1抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线 y22px （p0）焦点 F 的弦两端点为 , ,倾斜角为 ,中点)(1yxA)(2B为 C(x0,y0), 分别过 A、B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为 A、B、C.1.求证：焦半径 ；焦半径 ;cos12|px cos1|2pxF ； 弦长| AB |x 1x 2p = ；特别地，当 x1=x2(1| AF | 1| BF | 2p 2sin=90 )时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 2p；AOB 的面积 S OAB.sin2p证明：根据抛物
2、线的定义，| AF | AD |x 1 ，| BF | BC |x 2 ，p2 p2| AB | AF | BF |x 1x 2p如图 2，过 A、B 引 x 轴的垂线 AA1、BB 1，垂足为A1、B 1，那么| RF | AD | FA1 | AF | AF |cos ，| AF | | RF |1 cos p1 cos同理，| BF | | RF |1 cos p1 cos| AB | AF | BF | p1 cos p1 cos.2psin2SOAB SOAF SOBF | OF | y1 | | OF | y1 | (| y1 | y 1 |)12 12 12 p2y 1y2p 2
3、，则 y1、y 2 异号，因此，| y 1 | y 1 | y 1y 2 |CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOA1B1F图 22S OAB | y1y 2 | p4 p4(y1 y2)2 4y1y2 p44m2p2 4p2 p22 1 m2.p22sin2.求证： ； ； .214px21yp1| AF | 1| BF | 2p当 ABx 轴时，有成立；AFB，当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为： .代入抛物线方程：2pykx.化简得：22pk22014kxp方程（1）之二根为 x1，x 2， .1212211224xppAFBx.12122244xpp px
4、3.求证： Rt.FBAC先证明：AMBRt 【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图3，则ADMECM，CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFENM图 3xyCCBAOFKA3| AM | EM |，| EC | AD | BE | BC | CE | | BC | AD | BF | AF | AB |ABE 为等腰三角形，又 M 是 AE 的中点，BMAE，即AMBRt 【证法二】取 AB 的中点 N，连结 MN，则| MN | (| AD | BC |) (| AF | BF |) | AB |，| MN | AN | BN |12 12 12ABM 为直角三角
5、形， AB 为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得 C( ，y 2)、D ( ，y 1)，由此得 M( ， ).p2 p2 p2 y1 y22k AM ，同理y1 y1 y22x1 p2y1 y22y2 12p p p(y1 y2)y2 1 p2 p(y1 f( p2,y1)y2 1 p2 py1kBMpy2k AMkBM 1py1 py2 p2y1y2 p2 p2BMAE，即AMBRt .【证法四】由已知得 C( ，y 2)、D ( ，y 1)，由此得p2 p2M( ， ).p2 y1 y22 (x 1 ， )， (x3 ， )MA p2 y1 y22 MB p2 y2 y12 (x 1
6、)(x2 )MA MB p2 p2 (y1 y2)(y2 y1)4x 1x2 (x1 x2) p2 p24 (y1 y2)24 ( ) p24 p2y2 12p y2 22p p24 y2 1 y2 2 2y1y24 0p22 y1y22 p22 p22CDBRAxyO F图 41 234M4 ，故AMBRt .MA MB 【证法五】由下面证得DFC90 ，连结 FM，则 FMDM .又 ADAF，故ADM AFM，如图 412，同理3423 180 9012AMB Rt .接着证明：DFCRt【证法一】如图 5，由于| AD | AF |，ADRF，故可设AFDADF DFR ，同理，设BF
7、CBCFCFR ，而AFDDFRBFCCFR1802( )180 ，即 90 ，故DFC90【证法二】取 CD 的中点 M，即 M( ， )p2 y1 y22由前知 kAM ， kCF py1 y2 p2 p2 y2p py1k AMk CF， AM CF， 同 理 ， BM DF DFC AMB 90 .【证法三】 (p，y 1)， (p，y 2)，DF CF p 2y 1y20DF CF ，故DFC90 .DF CF 【证法四】由于| RF |2p 2y 1y2| DR | RC |，即 ， 且 DRF FRC 90| DR | RF | RF | RC | DRFFRC图 5CDB(x2
8、，y 2)RA(x1，y 1)xyOF( ，0) p2 CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFM图 6GHD1N1 NMxyO F图 7M1l5DFRRCF，而RCF RFC90DFRRFC90DFC904. CA、CB 是抛物线的切线【证法一】k AM ，AM 的直线方程为 yy 1 (x )py1 py1 y2 12p与抛物线方程 y22px 联立消去 x 得yy 1 ( )，整理得 y22y 1y 0py1y22p y2 12p y2 1可见(2y 1)24 0，y2 1故直线 AM 与抛物线 y22px 相切，同理 BM 也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程
9、y22px，两边对 x 求导， ，(y2) x (2px) x得 2y 2p， ，故抛物线 y22px 在点 A(x1，y 1)处的切线的斜率为 k 切y x y x py | yy 1 .y x py1又 kAM ，k 切 k AM，即 AM 是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM 也是抛物线py1的切线.【证法三】过点 A(x1，y 1)的切线方程为 y1yp(xx 1)，把 M( ， )代入p2 y1 y22左边y 1 px 1 ，y1 y22 y2 1 y1y22 2px1 p22 p22右边p( x 1) px 1，左边右边，可见，过点 A 的切线经过点 M，p2 p22CDB(x2
10、，y 2)RA(x1，y 1)xyOFM图 8D16即 AM 是抛物线的切线，同理 BM 也是抛物线的切线.5. CA、C B 分别是AAB 和BBA 的平分线.【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图9，则ADMECM，有ADBC ，AB BE，DAMAEB BAM，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA .【证法二】由图 9 可知只须证明直线 AB 的倾斜角 是直线 AM 的倾斜角 的 2 倍即可，即 2 . 且 M( ， )p2 y1 y22tan k AB .y2 y1x2 x1y2 y1y2 22py2 12p 2py1 y2tan k AM .y1 y1 y22x
11、1 p2y1 y22y2 12p p p(y1 y2)y2 1 p2 p(y1 f( p2,y1)y2 1 p2 py1tan 2 tan 2tan1 tan2 2py11 (f(p,y1)2 2py1y2 2 p2 2py1y2 2 y1y2 2py1 y2 2 ，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA .6. AC、AF 、y 轴三线共点，BC、BF 、y 轴三线共点【证法一】如图 10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，由以上证明知| AD | AF |，AM 平分DAF，故 AG1也是 DF 边上的中线，G 1 是 DF 的中点.设 AD 与 y 轴交于点 D1，DF 与 y
12、轴相交于点 G2，易知，| DD 1 | | OF |，DD 1OF，CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFENM图 9CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOFM图 10GHD17故DD 1G2FOG 2| DG 2 | FG 2 |，则 G2 也是 DF 的中点.G 1 与 G2 重合（设为点 G），则 AM、DF 、y 轴三线共点，同理 BM、CF、 y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为 yy 1 (x )，py1 y2 12p令 x0 得 AM 与 y 轴交于点 G1(0， )，y12又 DF 的直线方程为 y (x )，令 x0 得 DF 与 y 轴交于
13、点 G2(0， )y1p p2 y12AM、DF 与 y 轴的相交同一点 G(0， )，则 AM、DF、y 轴三线共点，y12同理 BM、CF、 y 轴也三线共点 H由以上证明还可以得四边形 MHFG 是矩形.7. A、O、B三点共线，B、 O、A三点共线.【证法一】如图 11，k OA ，y1x1y1y2 12p 2py1kOC y2 p2 2y2p 2py2p2 2py2 y1y2 2py1k OA kOC，则 A、O、C 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 O ，ADRFBC ， ，| RO | AD | | CO | CA | | BF | A
14、B | | O F | AF | | CB | AB |又| AD | AF | ，| BC | BF |， | RO | AF | | O F | AF | RO | O F |，则 O 与 O 重合，即 C、O、A 三点共线，同理 D、O 、B 三点也共线.【证法三】设 AC 与 x 轴交于点 O ，RFBC， ，| O F | CB | | AF | AB |CDB(x2，y 2)RA(x1，y 1)xyOF图 118| O F | 【见证】| CB | AF | AB | | BF | AF | AF | | BF | 11| AF | 1| BF | p2O 与 O 重合，则即 C、
15、O、A 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法四】 ( ，y 2)， (x 1，y 1)，OC p2 OA y1x 1 y2 y1 y2 0p2 p2 y2 12p py12 y1y2y12p py12 p2y12p ，且都以 O 为端点OC OA A、O、C 三点共线，同理 B、O 、D 三点共线.【推广】过定点 P(m，0) 的直线与抛物线 y22px（p0）相交于点 A、B，过 A、B 两点分别作直线 l：x m 的垂线，垂足分别为 M、N，则 A、O、N 三点共线，B、O、M三点也共线，如下图： OyNMBAP xOyNMB AP x8. 若| AF |：| BF | m：n，
16、点 A 在第一象限， 为直线 AB 的倾斜角. 则 cos ；m nm n【证明】如图 14，过 A、B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 D，C，过 B 作 BEAD于 E，设| AF |mt，| AF |nt ，则| AD | AF |，| BC | BF |，| AE | AD | BC |(mn) t在 RtABE 中，cos BAE | AE | AB | (m n)t(m n)t m nm ncos cos BAE .m nm n【例 6】设经过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线与抛物线相交于两点 A、 B，CDBRAxyOEF图 14l9且| AF |：| BF |3：1，
17、则直线 AB 的倾斜角的大小为 .【答案】60 或 120 .9. 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB 为直径的圆与准线相切; AB为直径的圆与焦点弦 AB 相切.【说明】如图 15，设 E 是 AF 的中点，则 E 的坐标为( ， )，p2 x12 y12则点 E 到 y 轴的距离为 d | AF |p2 x12 12故以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，同理以 BF 为直径的圆与 y 轴相切.【说明】如图 15，设 M 是 AB 的中点，作 MN准线 l 于 N，则| MN | (| AD | BC |) (| AF | BF |) | AB
18、|12 12 12则圆心 M 到 l 的距离| MN | | AB |，12故以 AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点 Q，则 Q 是 MN 的中点.【证明】设 A( ，y 1)，B( ，y 1)，则 C( ，y 2)，y2 12py2 22p p2D( ， y1)，p2图 16xyMAOFA xyCCBAOFKA xyCCBAOFKA10M( ， )，N ( ， )，p2 y1 y22 y2 1 y2 24p y1 y22设 MN 的中点为 Q ，则 Q ( ， ) p2 y2 1 y2 24p2 y1 y22 p2 y2 1 y2 24p2 2p2 y2 1 y2 28p2y1y2 y2 1 y2 28p(y1 y22 )2 2p点 Q 在抛物线 y22px 上，即 Q 是 MN 的中点.
