1、安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 1 页 共 18 页柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏 指导老师: 蔡改香摘要 本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对 其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1 引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式
2、，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的 Cauchy 不等式命题 1 设 ，则,(1,2)iabRin（1） 222111()()nniiiabb其中当且仅当 （ 为常数）等号成立.,(,iibka k证明 由 则21)0,niifxbxR2 2111)()0nnniiiaxbx（由于 ,因此上述不等式的判别式大于零，即：R22114()(0nniiia（易得（
3、1）式成立.例 1 设 求证(,2.),iaRn 21212()(+nnaa （证明 由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之 1212)()nnaa （安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 2 页 共 18 页2221 222121 1()+(+)()(1()n nnaaaan （柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到 Minkowski 不等式 定理 1 任意的 个实数 ，有2n1212,nnab （2）1121i iii ab事实上，由（1）得 2221
4、111nnnni iiiiab 11222221111=nnnnnniiiiiiabab这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.定理 2 对任意的非负数 有,1,2iabn 111()()nnpqiiib其中 ，满足 且 .,pqRpq证明 由杨格不等式 ，其中 且 得qaba,0b1pq11 11 111 1()()()()()nnnnnnpq piiiiiiipqnnniiiiibabab 安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 3 页 共 18 页赫尔德不等式中，当 时为柯西施瓦茨不等式，若将 则可导出相2,pqn应的无穷不等式.由定理 2
5、可将定理 1 的幂指数进行扩充定理 3 若对任意的非负实数 ， ， 且 ，则,iab1pq,R1p1111nnnp pi iii b证明 -1=ppiiiaba+qiippqiiiibaa由杨格不等式 111nnnpppqqi iiiiiabbb1 11nnnppqpii iiaa化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式：推论 1 若对任意非负实数 ，有 ，则,iab11,nniib111nnnpqiii下面将上命题 1 进行推广：引理 1 （算术-几何平均值不等式）设 为个 正数，则12,na，11nniia等号成立的充要条件为 .2na引理 2 设 ,作定义：11
6、2,nxyVkR 121,nxxykky （安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 4 页 共 18 页则在 中定义了的加法、数乘、内积作成 上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏VR空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论 2 设 是 组实数，则有,(12,)iixyzn m（2） 111()()nnmiiiiixyzxyz 等号成立的充要条件为 . 2:=:nzz证明 为方便起见，不妨设1,nmxiS1,nmyiS 1,mziS,iixa,iyb ,(2,)iizcn从而由引理 1 有 iixyziizSabc mmiiixyzabcS对上
7、式进行 的累次求和，可得n11()mnmmiixyziiiiz c 即（4）111( )mnnnmmiixyziiixyzSab 由于 111()nminnmiiixxa同理 ，1nib1nmic这样（4）式为 miixyzxyzS 再两边 同时次幂，得 ()mmmiixyzz 故证得（3）式成立.注 1 在命题 1 中，除 ，其余均为 1，且 ，则不,(12,)iiixaybn 2等式（3）就是不等式（1）的推广.推论 3 （将命题 1 推广为无限和不等式）设 且 ，,iixyzRN 1mix安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 5 页 共 18 页， ，则1miy1,mi
8、z 111()()()mmiiiiixyzxyz （证明过程可仿推论 2 的证法并结合引理 2）.3 微积分中的 Cauchy-Schwarz 不等式命题 2 设 在 可积，则(),fxg,ab（5）222()()()bbbaaafxdfxdgx证明 类似命题 1 可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为 在 上可积，则由定积分的性质 均在上 上可积，(),fxg,b2,f,ab对区间 进行 n 等分，分点为 .由定积分的定义，有,ab+,01,ibaxinn1()lim()b iina bafgdfxg221()li()b inafxf221()lim()bina bagdgxn由（1
9、）式知 222()()()bbbaaafxgdfxdgx再由极限的保号性易知（5）式成立.注 2 若对 ，或 成正比，则（5）式等号成立，但,()0xbfx(),fx其逆不真.例如，除有限点外， ，有 ，但(),fxgab()()baafxdgx并不成比例.(),fxg安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 6 页 共 18 页例 2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设 在 上连续，(),fxg,ab有正下界，记 ，求证：()0,()fxg(),12,bnnadfxgd.1lima()nxbdf证明 为了分析 的变化趋势，研究 邻项之间的关系. 1ndndn()bnafxg1122
10、12112()()()()bnnabbnnaanfxfdxgxfdgfd因为 ，平方得 ，即 .0nd21n1nd因为 在 连续，所以存在 ，使得 ,故()fx,ab0Mfx110bbbnnnnnaaaadgfxdgxfdgfxdgxfdM 因为 单调有上界，所以有极限.1nd即 1limax()nbMf在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理 4 设 在 可积，则 Minkowski 不等式(),fxg,ab1112222()()()b bba aafxdfxdgxd安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 7 页
11、 共 18 页证明 由（5）式 222()()bbbaaafxgdfxdgx2baf2 2bbbaaaffdgx1222bbbbaaaafxdfxd21122()()bbaafxgxd因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有 111222()()()b bba aafxgdxfxgx将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有 Holder 不等式定理 5 ， ， 且 ，则(),0fxg1pq,R1p1()()()bbbpqaaafxdfxdgxd证明 11()()()bbbpqaaafgf1 1=()()()()()()1bb bp qaa abpqbaafxfdxgxdfxdgxd
12、pq得证.利用定理 5，将定理 4 的幂指数进行扩充，有安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 8 页 共 18 页111()()()b bbpppa aafxgdxfxgx证明可参考定理 3 的证明，且 p=2 即为定理 4 中的不等式.同样将上命题 2 进行推广.推论 4 设 是闭区间 上为正的 个可积函数，则()1,)ifxn ,abn（6）111()()bbni iiaafxdfxd证明 不妨设 则()(,2),bniiafxdkn 111()()bibnnainiaifxdfxdkk由引理 1 可得 111()()1bbnnnni iiiaafxfxddkk这样就证得
13、不等式（6）成立.注 3 在推论 4 中，取 ，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）.2n注 4 不等式（5）可写成 220bbaafxdfxgdg受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式：设 是闭区间 上的可积函数，则有(),(,12,)ijfxin ,abdet()(0bijafxd即为安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 9 页 共 18 页211212122212 0bbbnaaabbbnaaabb bnn naa afxdfxdfxdffffxdfxdfxd 并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数 使得 .12,m 1()0if推论 5 （将命题
14、 2 再推广）设 0()0,)ni ifxinfxd则（7） 11100()()nnni iifxdfxd（可仿推论 4 并结合反常积分理论即证）.4 维欧氏空间中 Cauchy-Schwarz 不等式n在 维欧氏空间中，对任意的向量 定义内积1212,nnab 定义的长度或范数为 .12,;nab ,命题 3 对任意的向量 有,（8）当且仅当 线性相关时等号才成立.,证明 若 ，则 ， （8）式显然成立.0,0若 ，则令 ，则 ，且2,0222,02,22,当 线性相关时等号显然成立.,反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或 或 ，即0安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业
15、论文第 10 页 共 18 页2,也就是说 线性相关.,根据上述在 维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式n（9）因为 22 22,2, =+所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下例 3 求证 .22121+nnaaa 证明 这里可取 由柯西施瓦茨不等式12,1,n 2 2212 1+,=+n na a 整理即得 22121+nnaa 5 概率空间 中的 Cauchy-Schwarz 不等式,F命题 4 设 为任意随机变量，若 存在，则 也存在，,XY2,XYXY且（10）22Y式中等号成立当且仅当存在常数 ，使得0t（11）1X证明 定义实变量 的二次函数为t222uYtYt因为对一切 ，必然有 ,从而有 ，于是方程 要么无实根，要么t20tX0ut0ut就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而
